浅析相对无偏估计在测量平差中的应用

高强 靳丽

1 概述

在间接平差中我们利用线性随机模型,将观测值通过未知参数的线性方程组间接表示。

其中,aij为已知的非随机参数;λi为一个观测得的随机变量的理论平均值;xi为未知参数。用矩阵符号写出这一参数模型:

假定这一模型给出我们的观测值集合的适当表示,用随机变量和误差,把参数模型写为随机模型。

L为随机变量,误差为:

若A矩阵满秩,则对于X,我们可以确立唯一的期望。对于任何被选定的A-1可以得到一个无偏估值。当重复无限多次,它作为极限平均值给出期望。这同经典表示完全一致。凡这种估值均可叫作绝对无偏估计。那么,绝对无偏估计值是否严格的形成,这就要求我们使用以绝对单位制操作工具进行全部测量。实际上我们不得不接受较适中的办法,承认只有在实际参数系统中分析每一种观测才有意义。所以,相对无偏估值似乎是自然的。

2 相对无偏估值

2.1 提出相对无偏估计的原因

在经典平差中,我们这样处理问题,例如:在已知测站P观测了三个目标A,B和C的方向,那么通常把一个目标的方向(A)当作零方向,而把其他两个目标的平均值取作最后的结果。这种表示法对第一方向(A)就给出零方差,而其他两个方向(BC)包括了来自第一个方向(A)的方差。在这里方差是作为一个绝对无偏估值给出。但是,所有三个方向是完全等价的,把所有三个方向都看作是未知数是更自然的。这里得到一个不为满秩的矩阵A,如果适当极小化,这个矩阵对于所有三个方向给出相同的方差。

2.2 相对无偏估值

定义1:当 A不为满秩时,利用 A的广义逆来估计参数X,就叫作相对无偏估值。

定义2:对于一个任意的矩阵 A,我们定义逆阵 A-1:

对于一个任意的矩阵A,它的逆阵的完全集:

其中,A-1为A的任何一个逆;M,N均为可以加于A-1的实际空间之任何矩阵。对于任何的 M,N可以得到满足式(6)的逆阵。

3 实例

我们提出的方法将用数值模型进一步加以解释,如下观测方程(非相容的):

3.1 方法一

为了估计一个无偏的估值,可以用A的任何广义逆阵,取 A中上方四个元素所成矩阵的凯莱逆阵再附加两个零简单的得到。

满足 AA-1A=A,故参数的无偏估值=A-1L。

按最小二乘原理,误差ε的方差最小:

3.2 方法二

取A中下方四个元素所成矩阵的凯莱逆阵再附加两个零简单的得到。

满足AA-1A=A,故参数的无偏估值

3.3 方法三

按最小二乘原理,误差ε的方差最小:

取A的最小二乘最小范数逆:

若比较三个无偏解,现在无法决定哪一种方法更为可取。我们只能说第一个解给出的方差大,最后一个解给出的方差小。

3.4 方法四

无偏估值的全集:

我们可以选择N的任何有限值,对于无偏观测值的任何集合,X的极限值将是相同的。

4 结语

在测量平差中,当观测量完全等价时,采用相对无偏估计能正确得到其最或然似值。

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