带电粒子在电磁场中的运动图形赏析

鲍 翔

(扬州大学附属中学东部分校,江苏扬州 225000)

带电粒子在匀强电场和匀强磁场中运动分别要受到电场力和洛伦兹力的作用,电场力会改变粒子的速度大小,而洛伦兹力只能改变速度的方向.由于所受力及初始条件的不同,带电粒子在电磁场中形成不同的图形.这些图形具有和谐、对称、统一的美,同时图形也反映了有关带电粒子在电磁场中运动时的不同特性.研究这些图形,可以直观地得到解题思路和方法,给人以美的享受、美的启迪,能使学生体会到物理学的美.现以例题形式解析在电磁场中几种常见的图形.

1 “扇面”图形

例1.(2006年天津卷)在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内,存在磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里的匀强磁场,如图1所示.一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场,它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出.

(2)若磁场的方向和所在空间范围不变,而磁感应强度的大小变为B′,该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场,但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°,求磁感应强度B′多大?此次粒子在磁场中运动所用时间 t是多少?

图1

图2

解析:由题意分析可知,画出粒子先后两次的运动轨迹,如图2所示,则粒子运动的轨迹形成一“扇面”图形.

2 “心脏”图形

图3

图4

解析:粒子重新回到 O点时其运行轨道如图4所示,形成一个“心脏”图形.由图可知,粒子在 B1中运行时间为

粒子在B2中运行时间为

所以粒子运动的总时间为

3 “拱形”图形

例4.(1998年全国卷 1)如图5所示,在 x轴上方有垂直于xy平面的匀强磁场,磁感应强度为B,在 x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场,场强为 E.一质量为 m,电荷量为-q的粒子从坐标原点O沿y轴正方向射出,射出之后,第3次到达x轴时,它与O的距离为L.求此粒子射出时的速度和运动的总路程.

图5

图6

解析:粒子从O点射入磁场,在洛伦兹力作用下经历半个圆周进入电场,先做匀减速直线运动,速度减小至零后又返回做匀加速直线运动,接着,粒子就以同样的方式继续运动.画出粒子运动轨迹如图6所示,形成“拱形”图形.

设粒子进入电场后沿 y轴负方向做匀减速运动的最大路程y,由动能定理知

所以粒子运动的总路程为

4 “葡萄串”图形

例5.如图7(甲)所示,两块水平放置的平行金属板,板长 L=1.4 m,板间距 d=30 cm.两板间有 B=1.25 T,垂直于纸面向里的匀强磁场.在两极板上加如图7(乙)所示的脉冲电压.在 t=0时,质量 m=2×10-15kg,电荷量q=1×10-10C的正离子,以速度 v0=4×103m/s从两板中间水平射入.试求:粒子在板间做什么运动?画出其运动轨迹.

图7

图8

5 “花瓣形”图形

例6.(2000年天津卷)如图9所示,两个共轴的圆筒形金属电极,外电极接地,其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝 a、b、c和d,外筒的外半径为 r0.在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的匀强磁场,磁感应强度的大小为B.在两极间加上电压,使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场.一质量为m,带电荷量为+q的粒子,从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发,初速为零.如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S,则两电极之间的电压U应是多少(不计粒子重力,整个装置处在真空中)?

图9

图10

解析:带电粒子从S出发,在两筒之间的电场力作用下加速,沿径向穿出 a而进入磁场区,在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动.粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝b.只要穿过了 b,粒子就会在电场力作用下先减速,再反向加速,经b重新进入磁场区.然后,粒子将以同样方式经过 c、d,再经过 a回到S点,如图10所示.

设粒子射入磁场区的速度为v,根据能量守恒,有

设粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的半径为R,由洛伦兹力公式和牛顿定律得

带电粒子在电磁场中运动的图样丰富多彩,此文仅列举一些图样,还有一些其他图样,在此不再一一列举.通过对这些图样的欣赏与分析,既可以陶冶人的审美情操,又可提高人的思维能力.