基于FPGA的混沌脉冲产生技术

王 洵,黄克林,江 聪

(华东交通大学基础科学学院,江西南昌330013)

混沌理论在雷达和通信领域中已成为研究热点[1-3]。单片机、DSP、FPGA等数字器件的出现为混沌信号的产生提供了一种新的途径,使用上述数字器件产生混沌信号时,映射类型、参数或初值的改变只需通过修改代码并重新加载即可,因而实现方法更加简便灵活,且系统性能基本不受外界环境影响。

FPGA可以被看作一种“软件形式的硬件”,用户用硬件描述语言(HDL)编写的程序直接被映射成芯片内部底层基本逻辑单元连接而成的硬件逻辑和运算电路,执行速度大大高于靠指令运行的体制。本文主要研究基于FPGA的混沌信号产生及混沌信号的随机性能。

1 基于FPGA的混沌脉冲产生

离散时间动态系统可用以下状态方程来定义

式中:xn称作状态;f将状态xn映射到下一个状态xn+1,以x0为初值迭代得到序列称为该离散时间动态系统的一条轨迹。

本文在设计基于FPGA的混沌信号产生模块时,选取了应用较广泛的Logistic映射和Tent映射。

Logistic映射关系表达式为

将式(2)与式(1)联立,得到使用Logistic映射生成混沌序列的迭代公式为

式中:参数 μ∞≤μ≤4时映射处于混沌区域。

Tent映射关系表达式为

将式(4)与式(1)联立,得到使用Tent映射生成混沌序列的迭代公式为

混沌映射迭代方程中参与运算的都是浮点数,而Verilog HDL语言只支持整型数变量。为了解决这个问题,本文使用了用定点整型数表示浮点数的方法。

将本文开发的混沌脉冲产生模块下载到FPGA芯片中,得到的混沌脉冲波形如图1所示。输出的混沌脉冲的码元宽度为20 ns,脉冲的高电平为3 V左右。实验结果验证了本文设计的基于FPGA的混沌脉冲产生模块的正确性。

图1 FPGA输出的混沌脉冲波形

2 基于FPGA生成的混沌序列随机性分析

2.1 周期性分析

理想情况下的混沌信号是没有周期的。基于FPGA生成混沌序列时,由于采用的数据字长总是有限的,因而周期长度是有限的[4]。

取Logistic映射参数μ=4,Tent映射参数β=1.99。两种映射生成的混沌序列周期长度对比如表1所示。

表1 Logistic映射和Tent映射生成的混沌序列周期长度对比

从表1可以看出,序列的周期长度是有限的,但在数据字长设置为28位时,Tent序列的周期长度就已达到200万以上的量级。由图[1]还可以看出,周期长度与使用的混沌映射类型和设置的数据字长有关。在相同字长条件下,Tent序列周期长度要远大于Logistic序列的周期长度。对同一类型序列,随着数据字长的增加,周期长度明显增加。

2.2 相关性分析

理想情况下Logistic映射混沌序列具有点函数型的非周期自相关函数,互相关函数为零[5-6]。基于FPGA生成的Logistic映射混沌序列的自相关函数和互相关函数如图2和图3所示。

图2 Logistic映射混沌序列自相关函数

图3 Logistic映射混沌序列互相关函数

由图2和图3可以看出,序列的自相关函数在间隔为0处的函数值近似为0.125,在间隔不为0处的函数值近似为0;互相关函数处近似为0。此结果和理论值符合得较好,说明基于FPGA产生的混沌序列保持了良好的相关性以及对初值的敏感性。

本文,用归一化自相关函数的旁瓣值对0的标准差σac来衡量序列的自相关性,用互相关函数值对0的标准差 σcc来衡量序列的互相关性,σac和 σcc的值越小,表明序列的相关性越好。

以Tent映射混沌序列为例考察数据字长设置不同对混沌序列相关性的影响,计算的序列在不同字长设置下的相关性如表2所示。

以Logistic映射混沌序列为例考察序列长度不同对混沌序列相关性的影响,序列的相关性和序列长度的关系曲线如图4所示。

表2 数据字长对混沌序列相关性的影响

图4 混沌序列相关性和序列长度之间的关系

由图4可以看出,序列长度对σac和 σcc的影响是一致的,当序列长度较短时,相关性随着序列长度的增加明显改善,当序列长度增加到2 000左右以后,这种改善效果变得不再明显。

2.3 平衡性分析

混沌序列的平衡性可以用二值序列中的某一个值的个数占序列长度的百分比来定量表示混沌序列的平衡性[7-8],其理想值为50%。

表3为Logistic映射序列(μ=4)和Tent映射序列(β=1.99)在不同字长条件下一个周期长度上的平衡性。

从表3可以看出,序列具有较好的平衡性,且平衡性随着字长的增加逐渐变好;在字长相同的情况下,Tent映射的平衡性要好于Logistic映射。

表3 字长和平衡性的关系

3 结论

由以上对基于FPGA产生的混沌序列的周期性、相关性和平衡性的分析可以看出:在足够的数据字长设置下,序列能够达到百万量级的周期长度,而且保持了良好的相关性和平衡性,可以较好地逼近客观混沌。这说明,基于FPGA生成混沌信号的方法是可行的。

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