基于等位移原理的二维能力谱方法

李 宁，翟长海，谢礼立,3

基于等位移原理的二维能力谱方法

李 宁1,2，翟长海1，谢礼立1,3

(1. 哈尔滨工业大学土木工程学院，哈尔滨 150090；2. 天津大学建筑工程学院，天津300072；3. 中国地震局工程力学研究所，哈尔滨 150080)

由于无法考虑地震动的多维性和结构的空间耦合特性，现有的结构性态评估方法多数无法用于偏心结构性态评估．在建立等效二自由度模型(EDDOF)的基础上，提出了基于等位移原理的二维能力谱方法，用弹性峰值反应近似计算结构的目标位移，采用模态Pushover分析(MPA)方法求出体系能力谱，并应用于EDDOF模型，进而得到结构性态反应．通过一个偏心钢框架结构算例验证了二维能力谱方法的正确性．结果表明：基于等位移原理的二维能力谱方法用于偏心结构的性态反应评估，具有计算精度可靠、求解效率高的特点．

等位移；扭转；静力非线性分析；性态评估；模态Pushover

地震中建筑物的损毁是造成人民生命和财产损失的一个重要原因．大量的震害调查表明，扭转效应是造成结构在地震中破坏的关键因素之一．然而，目前能力谱分析方法使用平面二维模型进行分析，无法考虑平扭耦联反应，也就无法对偏心结构的抗震能力进行合理分析．为此，研究者提出了许多性态分析方法[1-3]，用以评估结构在地震中的扭转性态反应．遗憾的是这些方法往往对模型有一定针对性，较难推广．目前，尚欠缺一种简便的、针对偏心结构扭转抗震能力评估的高效分析方法．

能力谱方法可对结构进行静力非线性分析，求出结构抗震能力．在确定结构抗震能力过程中，如何确定目标位移并结束分析过程，是能力谱方法应用中的一个关键问题．目标位移也体现了结构的非线性抗震能力，基于等效单自由度的非弹性反应谱就成为确定目标位移的首选途径[4]．非弹性反应谱方法已有较多研究成果[5-7]，而对于偏心结构的简化多自由度模型[2-3,8]，现有成果还不能直接推广应用．这主要是由于偏心结构的非弹性反应规律十分复杂，有待进一步研究．等位移原理是估计结构非弹性反应中的经典方法，上述非弹性反应谱研究成果，对等位移原理也提供了支持，例如，Chopra等[5]认为，对不同强度折减系数和延性条件下周期大于0.7,s的结构，其非弹性峰值反应与弹性反应比已很接近1．由简化单自由度导出的非弹性反应谱不再适用于平扭耦联模型，本文将等位移原理引入偏心结构的性态评估之中，对其进行简化．

本文是对文献[8]中方法的研究改进，通过将等位移原理引入偏心结构性态抗震评估中，利用等位移的概念对结构非弹性变形进行近似计算，而后利用模态Pushover分析(modal Pushover analysis，MPA)方法求出结构的抗震能力及地震作用下的变形需求．

1 分析方法

这里对分析方法做一简要介绍，详细内容可参考文献[8]．具体操作流程是对结构运动微分方程组进行模态分解和平扭自由度分别解耦，最终化简为依模态的运动微分方程，即

式中：xxc、xcθ、xcθ和cθθ为阻尼矩阵中对应于不同坐标的元素(下标x表示x方向的元素，下标θ表示扭转方向的元素，下标xθ和θx表示x方向和扭转方向的耦联阻尼项)；gu˙˙为地震作用时程，即加速度地震记录；m、I为集中在顶部质心处的质量和转动惯量；kx为模型底端抵抗x方向弯矩的弹簧刚度；kθ为上端抗扭弹簧刚度；e为偏心距．式中相应符号含义如图1所示，并略去了表示模态阶数的角标n．式(1)描述了一个简化二自由度 (equivalent dual degree of freedom，EDDOF) 模型的运动平衡状态．

原偏心结构平动、扭转的能力谱，可由MPA进行求解，即用偏心体系的顶点位移和顶点扭转角可求出谱位移，即

式中：Dxn为与平动x方向、第n阶模态对应的谱位移；urxn为顶点处(r表示roof)、第n阶模态沿x方向的位移反应；Гn为第n阶模态参与系数；φrxn为顶点处、第n阶模态向量x方向的元素数值．

用基底剪力、扭矩可求出模态谱加速度

式中：Vbn和Tbn分别为基底剪力和扭矩；Mn为第n阶模态质量；Γxn和Γθn分别为沿x轴平动和绕z轴转动的模态参与系数．

图1 EDDOF体系示意Fig.1 Scheme of EDDOF system

2 基于等位移原理的二维能力谱方法

采用MPA方法求出不同模态的能力谱．对原结构施加式(4)所示的侧向荷载模式进行静力非线性分析，可求出结构顶点变形与基底反力关系曲线．

式中：xnφ、nθφ为第n阶模态沿x轴的分量和扭转分量；m和I为对角质量矩阵和转动惯量矩阵．基于模态的多维加载会导出高维能力谱．

分析过程中，由于同时考虑平动和扭转非线性变形，MPA高阶模态迭代确定目标位移时，需同时考虑平动和扭转的延性或强度系数；而进入非线性阶段后，平扭方向的非线性参数一般不同，并存在耦合现象．本研究基于等位移原理，假定结构在地震动作用下的弹性反应与非弹性反应峰值大致相同，以此为近似目标位移进行静力分析，并认为该简化对等效双线性能力曲线引入的误差可以忽略．另外，由于偏心结构的模态复杂性，通过控制位移增量的MPA过程中(高阶模态)，中间某层位移变形可能较大，往往不能简单采用顶层位移为控制变量．弹性谱分析可以快速确定出变形最大层的位置，以此节点为增量控制节点，可使静力非线性分析更具鲁棒性．其他运算过程可参考文献[8]．

需要说明的是，这种方法对于特定地震动输入下的变形需求求解精度好且效率很高，而引入弹性谱分析并没有显著增加运算量．通常结构的性态反应都可以由位移或变形为基本指标导出，本文采用结构顶点位移反应作为性态指标进行验证，求解过程是对各模态分别求解而后叠加．

3 二维能力谱方法的验证

3.1结构模型

图2 2009年E-Defence盲测模型示意(单位：m)Fig.2 Model of E-Defence blind-test in 2009(unit：m)

结构模型采用一个5层足尺钢框架实验模型[9]，如图2所示．柱、梁构件材料分别采用SN400B和BCR295结构钢，楼板为压型钢板上铺混凝土(波高75,mm、厚1.2,mm压型钢板)，翼缘以上混凝土厚80,mm，板中配筋为D10@200．2层楼板～5层楼顶的重量分别为844,kN、824,kN、820,kN、783,kN和 1,451,kN[10]．将各层质心(center of mass，CM)沿长轴方向偏置2.0,m，刚心(center of stiffness，CS)不变，使该结构刚度和质量均呈偏心状态．本文中的分析软件采用加州大学Berkeley分校开发的有限元软件OpenSees[11]，梁柱单元采用塑性铰宏单元进行模拟．通过修改原程序，令其在分析过程中导出刚度和质量矩阵，进而用于模态分析和建立EDDOF模型．所述算法均采用Tcl/Tk脚本语言编程实现．

3.2EDDOF体系参数确定

假定沿x方向作用地震荷载，参考第1节中所述的模态分析步骤，由体系的刚度和质量矩阵进行模态分析得出EDDOF模型参数，如表1所示．其中，非耦合方向的反应(此处为沿y轴的平动反应)可独立分析计算，而与扭转耦合方向的反应(x轴向和绕z轴扭转)需考虑耦合效应影响．本文分析时取前3阶模态，表1中略去了y向振动所对应的第Ⅲ模态数据(以下相同)．

表中Kn、Mn分别为第n模态等效EDDOF模型的刚度矩阵和质量矩阵．对于第1、2模态分别对应的2个子模态的模态质量和模态参与系数如表2所示，其中Φ为模态向量，T为对应周期，Γ为模态参与系数，M为模态参与质量．

表1 EDDOF体系属性Tab.1 Properties of EDDOF system

表2 EDDOF体系的模态信息Tab.2 Modal information of EDDOF system

由表2可以看出，Ⅰ2表示第Ⅰ模态中模态参与系数为1的子模态(对平动反应起支配作用，模态参与质量为1.0)；Ⅰ1为第Ⅰ模态中，对平动反应几乎没有贡献的振动模式(模态参与质量为0.001,4，模态参与系数为0.002)；同理，Ⅱ1、Ⅱ2分别为第Ⅱ模态导出的子模态．即由第Ⅰ模态的子模态Ⅰ2产生的反应，与EDDOF的平动反应一致；而由第Ⅱ模态的子模态Ⅱ1产生的反应，与EDDOF的扭转反应一致．分析表明，子模态周期(1.092,s和0.623,s)与原体系第Ⅰ、Ⅱ模态分别对应．这说明，EDDOF的振动特性以及子模态特性与原结构第Ⅰ、Ⅱ模态各自对应，符合结构动力学中的模态分析理论．同理，更高阶模态也可以用相同方法分析．

3.3与时程分析结果的对比

对5层钢框架模型进行弹性反应谱分析，阻尼比为0.02，所得第Ⅰ模态顶点x方向最大位移为0.79,m，第Ⅱ模态顶点x方向最大位移为0.14,m．将该位移作为体系第Ⅰ、Ⅱ模态的目标位移，对模型进行MPA分析，计算出体系的顶点位移(扭转角)-基底反力(扭矩)曲线，并简化为等效双线性模型，作为EDDOF的恢复力骨架曲线，如图3和图4所示(Sa为谱加速度，Sd为谱位移)．推覆曲线中可见明显的非线性退化和强化现象，该简化模型可以合理地模拟体系的非线性反应．

图3 第Ⅰ模态对应的力-变形关系曲线Fig.3 Curves of force-deformation relationship for modeⅠof EDDOF

图4 第Ⅱ模态对应的力-变形关系曲线Fig.4 Curves of force-deformation relationship for modeⅡof EDDOF

对原型结构和EDDOF体系分别施加峰值调整为5,m/s2,的TAK090地震动(1995 Kobe地震，JR Takatori Station台站)，进行动力时程反应分析，时程反应结果如图5所示．

从图5可以看出，两者的时程反应总体吻合较好，峰值反应基本一致．在体系进入弹塑性反应阶段后，其误差仍在可接受范围之内．由EDDOF给出的结果为前二阶模态的组合结果，若考虑对滞回曲线采用更高精度的滞回规则后，可进一步提高体系非弹性位移反应的估计精度．

此外，在等位移原理应用的过程中，高阶模态的结构反应常保持为弹性，故仅需对前几阶模态(对空间结构一般为前1～6阶)采用本文分析方法即可．

图5 原型结构和EDDOF的非弹性反应对比(TAK090，5.m/s2)Fig.5 Comparison of inelastic response between prototype and EDDOF system(TAK090，5.m/s2)

4 结 语

本文通过将等位移原理概念引入偏心结构的能力谱方法中，提出了基于等位移原理的二维能力谱方法，简化了确定多维能力谱中非弹性反应峰值的计算步骤，无需迭代，提高了计算效率．对一个5层钢框架结构模型进行分析的结果表明：本文方法可以较好地反映水平偏心结构进入非弹性状态时的变形需求，精度可靠、效率高，可作为水平偏心结构抗震性态的分析工具．

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Two-Dimensional Capacity Spectrum Method Based on Equal-Displacement Rule

LI Ning1,2，ZHAI Chang-hai1，XIE Li-li1,3
(1. School of Civil Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150090，China；2. School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；3. Institute of Engineering Mechanics，China Earthquake Administration，Harbin 150080，China)

Most of the existing simplified performance evaluation methods cannot be applied to asymmetric structures evaluation，as they have not taken into account the multi-dimensional ground motions or the spatial coupled effect of the structures. With establishment of the equivalent dual degree of freedom (EDDOF) model，an equal-displacement rulebased two-dimensional capacity spectrum method has been proposed. The target displacement was approximated by the maximum elastic responses according to the equal-displacement rule. The capacity spectra of the system were calculated with modal Pushover analysis (MPA) procedure and applied to EDDOF model，and the performance of the structures was obtained. An asymmetric steel frame has been used to verify the two-dimensional capacity spectrum method，whose results show that the two-dimensional capacity spectrum method based on equal-displacement rule can evaluate the seismic performanceof asymmetric structures with precision，reliability，and efficiency.

equal-displacement；rotation；nonlinear static analysis；performance evaluation；modal Pushover

TU311.4

A

0493-2137(2010)01-0021-05

2009-03-16；

2009-06-05.

国家自然科学基金重大研究计划培育项目(90815014；90715021).

李 宁（1981— ），男，博士研究生.

李 宁，nealleehit@126.com.