浅水间断流动数值模拟研究进展

潘存鸿

(浙江省水利河口研究院,浙江 杭州 310020)

涌潮、海啸、水跃、溃坝波、水闸突然开启和突然关闭而形成的间断流、浅水变形后的波浪等浅水间断流动的数值模拟具有较高的学术价值和广阔的实际应用背景,一直是计算水动力学的热点和难点之一。由于间断处存在水位、流速(流量)的突变,非线性效应很强,传统的数值计算方法求解间断问题常常失效。原因在于:传统的线性格式通常不能同时满足抑制虚假振荡和达到足够高精度的要求,要么数值黏性太大,产生过分耗散,计算结果将突变的物理量抹平,不能反映间断特性;要么数值黏性太小,产生虚假的数值振荡,甚至失稳。因此,模拟浅水间断流动时,要求计算格式既具有模拟大梯度流动(间断流动)的能力,又十分稳定。

本文分析了浅水方程基本特性及其求解的困难,介绍了求解间断的主要方法、底坡源项处理方法,以及间断流动条件下的动边界模拟方法。

1 双曲型方程的基本特性及其求解困难

浅水方程属双曲型偏微分方程。大多数双曲型偏微分方程来自物理守恒定律,如质量守恒、动量守恒和能量守恒。因此,双曲型偏微分方程又称为双曲守恒律(hyperbolic conservation laws)。与椭圆形方程相比,双曲型方程在求解上既有优点,又存在困难。优点是信息以有限的速度传播;困难是即使在光滑的初始条件和光滑的边界条件下,在有限的时间内仍有可能产生间断解,即存在间断的“无中生有”特性。

几十年来,人们为准确求解激波(间断)已做了大量的工作。1960年Lax等[1]从数学上证明:守恒型计算方法如果收敛的话,将收敛于方程的弱解。后来,Hou等[2]证明了一个补充结论:若应用非守恒型计算方法得到的解包含激波,那么计算结果是错误的。对于虚假的非物理数值振荡,Godunov[3]严格地证明了:如果采用精度大于一阶的线性计算方法,那么虚假的非物理数值振荡是不可避免的。Godunov的理论表明,即使对于线性问题,也必须应用非线性计算方法。综上所述,为准确求解激波的传播速度,必须应用守恒型计算方法。

数学上求解间断的第1个困难是:在解的间断处由于导数无定义,不满足经典意义上的偏微分方程。为此,引进了弱解的概念。弱解在光滑处满足偏微分方程,在通过间断处满足1组跳跃条件。另一个数学困难是弱解存在非唯一性。存在伪解(非物理解)的原因是:在方程推导过程中某些物理因素如流体的导热性等被忽略了,或做了一些假定,控制方程只是真实模型的近似。这样,必须强加一些附加条件来选择正确的物理解。事实上,许多守恒律系统可以得到这种条件,称之为“熵条件”。

由于有限差分离散依赖于泰勒级数展开的有效性,显然,在间断附近不满足解光滑条件,因此,应用有限差分方法在间断附近不能得到理想的数值结果。为此,Lax和Wendroff提出了差分方程的守恒型计算方法(conservative method or conservation form)。下面以无黏性Burgers方程为例说明之[4]。

式中:u为流速。

式(1)可写成等价的守恒形式:

对式(1)进行差分离散,时间用前差,空间用迎风格式(这里为向后差分),则有

式中:i为空间步;n为时间步。

类似地,对式(3)离散得

对于给定的初始条件(式(2)),式(4)和式(5)得到完全不同的计算结果。由此可见,对于不同形式的双曲型偏微分方程,在光滑解区它们互相等价,当存在间断时将得到不同的数值结果。一般地,只有采用守恒型方程,才可能得到正确的解。

此外,数值求解上还存在另一个困难。式(3)还可写成另一种守恒型形式:

然而,对式(6)应用同样的离散方法,计算结果不同于式(3)的结果。

为避免上述错误的计算结果,必须遵循下述原则:从物理守恒律得到的守恒形式的偏微分方程(如式(3))应是数值离散的控制方程。通过数学变换得到的其他形式的守恒型方程或非守恒型方程可以得到正确的光滑解;当存在间断时,将得到错误的解。

2 间断模拟方法

浅水间断流动数值模拟首先是间断的准确模拟。在大尺度模型中,间断模拟方法可分为激波装配法和激波捕捉法。用激波装配法模拟间断,认为间断没有厚度,作为微分方程的广义解,间断前、后的流速和水深满足Rankine-Hugoniot条件。该方法的优点是间断处满足熵条件,故可认为得到的解是唯一物理解,但它的缺点是要求流场结构已知,而事实上大多数情况下流场事先未知。另外,在间断形成初期或消失阶段,因边界、地形等因素的变化,常常出现间断“时有时无”的现象,这给“装配”也带来困难。近10年来,随着计算机技术的迅速发展,为激波捕捉法提供了条件。激波捕捉法在间断区和非间断区统一应用同一计算格式,无需对间断区做特别的处理,但要求计算网格较密且计算格式具有模拟大梯度流动的能力。

几十年来,随着计算方法的改进,目前已有很多计算方法能模拟浅水间断流,主要有:①MacCormack格式;②TVD格式;③Godunov型格式;④Boltzmann模型方法:BGK格式和KFVS格式;⑤ENO和WENO格式;⑥间断有限元DG格式;⑦时空守恒元和解元方法。

2.1 MacCormack格式

MacCormack格式耗散低,具有捕获激波的能力,计算简单且具有二阶精度的差分格式,因此其被广泛用来求解欧拉方程。然而,经典的MacCormack格式在激波附近数值解常产生伪振荡[5],因此,应用MacCormack格式求解间断流动时一般需进行改进,在实际计算中引入限制函数,使改进型的MacCormack格式具有 TVD特性(称为 TVDMacCormack(或 MacCormack-TVD) 格 式)。MacCormack格式及其改进型格式已应用于模拟浅水间断流动[6-10]。

2.2 TVD格式

1983年Harten[11]提出了一类高分辨率不振荡的TVD(totalvariation diminishing,总变差缩减)格式。在时刻tn一维差分解的总变差定义为每个空间网格上解的变化的绝对值之和,即

一个格式具有TVD性质的含义是:在没有外力(方程中非齐次项和边界条件)作用的条件下,差分解的总变差不会随时间增大,即 TV(un+1)≤TV(un)。因总变差不会增大,在间断附近不会产生虚假振动,且对间断有高分辨率。理论上已证明TVD格式属保单调格式,即若 tn时的解单调,则tn+1时的解亦单调。

TVD格式最早应用于求解空气动力学中的欧拉方程,以后推广应用到求解浅水间断流动。20世纪80年代后期以来国内开始应用TVD格式求解浅水间断流动[12],90年代以来得到广泛的应用[13-17]。

2.3 Godunov型格式

1959年Godunov在博士论文中提出利用Riemann解求解双曲型方程的格式。Godunov格式的基本思想是将各离散点上的值看做该值在离散点邻域内的平均值,即将离散值看成某台阶函数。于是,在离散点之间构成一系列间断,形成一系列Riemann问题,该间断在经过Δt时段传播以后,各离散点上的值再次使用其邻域内的平均值,并重复进行相同步骤[18]。

在Godunov格式中,应用准确Riemann解求解单元界面的数值通量,由于非线性,需迭代求解。为简化计算,后来发展了许多求Riemann解的近似方法[19-20],如Osher及HLL方法[21],Roe[22]方法等。

自从Godunov格式提出以来,其得到不断改进,van Leer[23]发展了二阶精度Godunov格式。因为Godunov型格式具有模拟大梯度流动和自动捕捉激波的能力,在计算流体力学中得到了广泛应用。1981年,Marshall等[24]首次应用Riemann解求解浅水流动方程。最近10余年来,基于 Riemann解的Godunov型格式求解浅水流动方程的研究成果逐渐增多,从一维发展到二维,成为目前求解浅水大梯度流动最流行的计算方法[25-33]。

2.4 Boltzmann模型方法:BGK格式和KFVS格式

Boltzmann模型方法,特别是在1954年提出的BGK(bhatnagar-gross-krook)Boltzmann模型方法,最早应用于模拟气体流动。20世纪90年代中后期以来,徐昆[34-35]将原来应用在气动中的基于Boltzmann方程的模型方法用于求解浅水方程。后来,Ghidaoui等[36]以及邓家泉[37]进行了推广应用,并证明了BGK格式的解满足熵条件。上述模型因通量计算中没有考虑底坡项的作用,因此计算格式不具有“和谐性”。鉴于重力对水流运动的影响与水流变量如水深、流速的空间梯度同阶,2002年徐昆在分子分布函数中考虑了重力对分子速度变化的影响,得到了和谐的KFVS(kinetic flux vector splitting)模型[38]和BGK模型[39]。潘存鸿等[40]建立了无结构三角形网格下空间二阶精度的二维浅水数值模型,并得到了广泛的应用[41]。

Boltzmann模型方法的出发点是利用Chapman-Enskog展开法,由Boltzmann方程的矩获得宏观的守恒律,如浅水方程,根据宏观守恒律与Boltzmann方程之间的关系,可以将宏观变量的差分方程表示为Boltzmann方程差分模式的矩的形式来求解。

KFVS模型是在BGK模型中不考虑Boltzmann方程碰撞项的简化模型,相应地,KFVS模型没有计及二阶项(即黏性项)的作用。事实上,对于天然河流、海岸等大尺度研究水域,二阶项的作用很小,KFVS模型已足够满足研究精度,且其计算量仅为BGK模型的1/2～1/3[40]。

与传统方法相比,Boltzmann模型方法具有许多优点和长处[42]。如以BGK-Boltzmann方程为基础的数值模型满足熵条件,从而避免出现非物理解[43]。

近几年来,Boltzmann模型方法在浅水间断流动数值模拟中应用日益增多[44-48]。

2.5 ENO和WENO格式

1986年 Harten[49]提出了无振荡格式(nonoscillatory)的概念,接着提出了本质无振荡(essentially non-oscillatory,ENO)格式的方案和方法[50-53]。

为避免高阶有限体方法等线性格式采用固定模板所产生的非物理数值振荡,ENO格式利用牛顿插值多项式的遗传性质,通过逐次计算逼近解函数的牛顿插值多项式的差商来选择对应于最光滑多项式的模板,从而尽可能地避免在所选择的模板中包含间断。ENO格式存在计算量大等缺点[54],为此Lui等[55]对ENO格式进行改进,提出了WENO(weighted ENO)格式。其主要思想是:不是选择其中一种模板,而是利用所谓模板的凸组合。WENO格式弥补了ENO格式的不足,从而得到了更为广泛的应用。

从20世纪90年代后期以来,ENO和WENO格式已广泛应用于浅水间断流的数值模拟[56-62]。

2.6 间断有限元DG(discontinuous Galerkin)格式

间断有限元方法是1973年由Reed等[63]首先提出来的,并应用于求解中子输运方程,但这种方法长期以来一直没有得到很好的研究和应用。直到20世纪80年代后期和90年代,Cockburn和Shu等结合Runge-Kutta方法将间断有限元方法推广到非线性一维守恒律方程和方程组以及高维守恒律方程和方程组,并给出了部分关于收敛性的理论证明,此后这一方法才引起人们的注意,并开始应用于计算流体力学领域[64]。

一般的有限元方法难以合理地处理间断解,因为它的出发点是基函数的统一性。间断有限元方法具备通常有限元方法的弱解特点,它既采用有限元方法的弱解变分形式,又采用单元上的插值逼近,同时允许在时间和空间离散时存在间断。该方法插值基函数的采用与单元分析要求计算单元之间的输运,因而与通常的有限元方法不同,单元之间的连接更加复杂和精细[65]。间断有限元方法不但保持了通常有限元方法的优点,并且还具有以下优点:能够显式求解;容易实现并行算法;具有很好的稳定性,满足l2稳定性和熵相容性[66]。

间断有限元方法的缺点是程序设计比较复杂。但随着计算条件的不断改善,间断有限元方法能够较容易地把求解二维问题的方法推广到三维问题,实现自适应算法和并行算法。近几年来,间断有限元方法已开始应用于浅水间断流的模拟[67-71]和对流扩散方程[72-73]。今后,间断有限元方法与其他方法的结合可能是求解间断解的新的发展方向[74]。

2.7 时空守恒元和解元方法(CE/SE法)

1995年Chang[75]提出一种新的数值方法——时空守恒元和解元方法(简称CE/SE法)。该方法无论从概念上还是从构造方法上都与传统的数值方法有区别,它把时间与空间完全统一同等对待,并从守恒积分型方程出发,通过设立守恒元和解元,使局部和全局都严格保证满足物理意义上的守恒律。另外,该方法把流场变量及其空间导数均作为变量同时求解,这样与传统的差分格式相比,在相同的网格点数的情况下其格式精度可以更高,同时更便于精确地满足边界条件。张增产等[76-77]对该方法进行了改进和优化,使其更有利于离散与求解,同时易于编程。目前,该方法已应用于浅水方程和对流扩散方程的求解[78-79]。

3 底坡源项的处理

浅水流动方程与多方气体流动方程相似,因此,浅水间断类似于气体动力学中的激波。如果不考虑底坡效应和摩阻作用,则无源项的浅水流动方程类似于气体动力学中的欧拉方程,早期的相关工作大多针对齐次浅水流动方程,直接移植气体动力学中成熟的计算方法[20,24,80]。

与气体动力学相比,浅水流动模拟的最大特点是计算中如何考虑床底变化。如前所述,模拟间断流动时控制方程必须采用守恒型方程,二维浅水流动方程x方向动量方程的守恒形式为

式中:u和v分别为x和y方向的流速;g为重力加速度;h为水深;S f x为摩阻项;S b x为底坡源项,S b x;b为床底高程。

与守恒型控制方程不同,非守恒型控制方程中的重力项在守恒型控制方程中被拆成压力项和底坡源项之和,即

式中:z为水位。

因此,求解守恒型非平底浅水方程时,需对压力项和底坡源项做特殊处理,要求控制方程离散后方程左端的压力项与方程右端的底坡源项之和始终满足式(8),使得压力项与底坡源项达到“和谐”,即在静水条件下始终保持流速为零、水位为常数的计算结果[36]。

所谓“和谐”格式,对于与 i单元相邻的所有j单元,若在n时刻满足

20世纪90年代以来,已有学者致力于非平底浅水流动方程和圣维南方程求解的研究,取得了丰硕的成果。大多数处理方法中,保持“和谐”的基本思路是底坡源项的离散形式与压力项相同。

Zhao等[81]、谭维炎等[82]将床底地形概化为阶梯状,假设在计算单元内为平底,从而底坡项为零。为了弥补底坡项为零引起的误差,需将单元界面处的计算通量按照水深进行修正,这种方法适合于地形变化平缓水域的水流模拟。

Bermudez等[83]首先针对一维圣维南方程应用迎风方法处理底坡源项,以后推广到二维情形[84-85],而后 Burguete等[86]、Brufau等[87]和 Guinot等[88]对该方法进行了改进和完善。Jenny等[89]提出了考虑源项的Rankine-Hugoniot-Riemann求解器;Smolarkiewicz等[90]应用 MPDATA(multidimensional positive definite advection transport algorithm)方法处理底坡源项;Greenberg等[91]、Le Veque[92]将浅水方程中的底坡源项处理与水波传播算法相结合;王志力等[93]用特征分解方法处理底坡源项;Hubbart等[94]、Tomas等[95]、Mohammadian等[96]也用不同方法处理了底坡源项。

Zhou等[97]提出了水面梯度法(简称SGM法),该方法在单元界面上用水位代替水深进行数据重构,处理简单,是目前较为流行的底坡源项处理方法[31-32,37]。

潘存鸿等[28-29]、Hui等[98]提出了水位床底法(简称WLTF法),尽管WLTF法和SGM 法的思路、控制方程均不同,但本质相同,因此计算结果也相同。WLTF法在概念上更简单,并能在理论上解释SGM法的误差性质及其大小[98]。事实上,为满足“和谐”条件,除应用SGM法或WLTF法外,还要求方程左端的压力项与方程右端的底坡源项采用同样的方法离散。

对于无结构三角形网格,建立“和谐”格式要比一维或二维四边形网格困难得多,Audusse等[99]建立了以三角形节点为控制体中心的“和谐”格式;潘存鸿等分别应用控制方程变换法[100]和静水压力变换法[40]建立了以三角形单元为控制体的“和谐”格式。近年来,各种“和谐”方法得到了广泛的应用[101-103]。

4 间断流动条件下的动边界模拟

应用浅水数值模型求解实际问题时,常常遇到动边界(即干湿边界)问题,如感潮水域潮汐涨落引起的水陆边界变化、溃坝波和洪水波的漫滩(堤)过程、波浪在滩地上爬高等。一般地,在计算域中动边界范围不大、水流不存在间断的情况下,常用的动边界处理方法大多能满足工程精度要求,但在模拟溃坝波、涌潮以及波浪在浅滩上的传播变形时,由于干底占整个计算域的比例较高,同时波前峰到达时水位、流速变化梯度极大,缓、急流同时存在并相互转化,波前峰间断处也是动边界发生之处。常用的大多数动边界处理方法往往不能准确模拟上述复杂的水流现象,甚至计算失稳。鉴于干底Riemann解具有模拟动边界条件下间断流的能力,近年来,基于近似Riemann解的动边界处理方法已应用于间断流情况下干湿边界的模拟[104-106]。潘存鸿等[107-108]应用准确干底Riemann解模拟溃坝、涌潮等间断流动情况下的动边界问题,在间断捕捉、水量守恒等方面取得了较好的结果。

5 结 语

通过最近10余年国内外学者的努力,一、二维浅水间断流动数值模拟取得了突破性的进展,解决了数学模型中间断模拟、底坡源项处理、间断流动条件下的动边界模拟等关键技术问题,已经达到了较为成熟的应用阶段,宏观问题的三维间断流动数值模拟是浅水间断流动数值模拟下阶段研究的主要方向之一。

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