中西数学中有关无穷思想的比较与分析

郝连明

(吉林师范大学 数学学院，吉林 四平 136000)

1 中国古代数学中的无穷思想

中国古代无穷思想最早可以追溯到先秦时期，这一时期正是百家争鸣，思想交流极其活跃的时期.从各学派的著作中，我们就可以找到对无穷的理解与思辨.就无穷思想而言，理解最深的当属名家和墨家，“其书五车”的惠施与“诡辞数万”的公孙龙对无穷问题做了深入的研究.在《庄子·天下》中有详细记载，“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一”， 意思是大到没有外面，称之谓无穷大，小到没有里面，称之谓无穷小.“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截不完，意思是无穷小作为一个数量会永远存在.这些都是名家的主要思想.在《墨经》中我们也可以找到关于无穷思想的记载，“穷，或有前不容尺也”， 用尺来度量路程,如果量到前面只剩不到一尺的余地，那么这路程是‘有穷’的.如果继续量前面总是长于一尺，那么这路程是‘无穷’的.这些都体现了墨家关于无穷问题的思考，正如英国学者李约瑟所认为的“从中国哲学的萌芽时代起，……连续概念和无限分割概念也已为名家——惠施的朋友们——清楚地表达出来了.”[1]不过这些对无穷的思考并不是基于数学运算的层面，而是中国早期对无穷思想的一系列探索，应该看作是哲学层面的思考.

从中国数学史上看，无穷思想第一次应用在数学上并有显著成果的当属刘徽，这位数学奇才将无穷思想用于数学的计算和证明，获得了许多创造性的成果.特别是他在“割圆术”和“刘徽原理”方面显示了对无穷思想的应用.在“割圆术”中他认为《九章算术》中“合径率一而外周率三也”，极不严格.于是从圆内接正六边形开始割圆，同时又明确指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”[2].正六边形的面积随边数不断增加而增加，但不会超过圆的面积.如果进行无限次分解，最后多边形面积与圆的面积完全相等，这与“一尺之棰”的无穷思想是截然相反的，但是这种不同的理解并没有引起数学家们的重视.可见，中国古代是一种实用的极限思想，这种极限思想在实用中取得成果后就被大家所接受了，至于是否严密就没有多少人去关注了.刘徽还以此重新计算，得出π=3.14.在南北朝时期，祖冲之父子又进一步应用无穷思想将π值精确到3.1415926与3.1415927之间，而且祖暅在开立圆术提出了一条重要原理“祖暅原理”，也就是西方的卡瓦列里原理.这一原理实际上也是无穷小分量思想的应用.在刘徽、祖冲之父子之后中国数学虽有很大发展，但是在无穷思想方面却没有进步.纵观中国数学史，从形式逻辑方面应用无穷思想的数学家实属凤毛麟角，这与西方数学中无穷的发展形成了鲜明的对比.

2 西方数学中的无穷思想

在公元前5世纪，古希腊人毕达哥拉斯(Pythagoras)认为事物的本质是由数构成的，也就是“万物皆数”.而这里所说的数是指整数或者是整数之比，称之为可公度量.然而无理数(无限不循环小数)的发现使人们意识到不可公度量的存在，这一发现直接导致了以整数为基础的宇宙模型的破产.数学史的学者通常称之为有关无穷的第一次数学危机.为了解决这一危机，柏拉图转向以几何为基础来建立宇宙模型.亚里士多德、欧多克斯通过给出比例，即两个比相等的定义巧妙地绕开这一问题，而真正解决这一问题则是在19世纪现代实数理论建立之后.

在中世纪被打破，文艺复兴到来，特别是资产阶级革命席卷整个欧洲的时候，无穷再一次焕发了青春.当时直接涉及无穷的主要有两类问题，一类是“求积问题”主要包括曲边图形的面积，曲面包围图形的体积、物体的重心以及液体的压力等问题的计算；另一类是“微分问题”，这类问题包括曲线上任一点的切线、变量的极值以及物体运动的速度等问题的计算[3].这两类问题为后来微积分的诞生以及关于无穷小问题的争论埋下伏笔.

为了解决这一系列问题包括笛卡尔(Descartes)、费马(Pierre de Fermat)在内的一批数学家对无穷小问题进行了大量的研究，但是这些工作明显缺乏一般性.后来牛顿(Newton)和莱布尼茨(Leibniz，G.W.von)在总结前人的基础上，分别从不同方向创立了微积分.当人们享受着微积分在实践上的巨大作用时，关于无穷小量的研究，对于无穷小是0还是非0的问题，引起了数学上的一次争论.数学史者们称之为第二次有关无穷的数学危机.对于这个问题18世纪几乎每一位数学家都进行了努力，在19世纪现代实数理论建立之后，魏尔斯特拉斯(Weierstrass，K.L.W)终于把柯西(Cauchy，A.-L)的极限论补充完整，诞生了ε-δ准则，完成了从无穷小分析到极限理论的演变，为微积分找到了逻辑基础.

19世纪下半叶，康托尔(Cantor)创立了集合论，这是一个难以直观理解和掌握的理论，特别是((阿列夫，aleph-null)的应用令外尔( Weyl，H)称之为“雾上之雾”，正如M·克莱因(Kline，M.)所说“这些思想远比前人曾经引进过的想法更革命，要它不遭到反对那倒是一个奇迹” .这其中以克罗内克(Kronecker)最为坚决，直到死也没有停止对康托尔的抨击.随着超限数理论在分析中的应用，特别是在测度论和拓扑学方面取得了一些成果，使广大数学家认识到集合论的意义，因此，希尔伯特(Hilbert,David)说，“没有人能把我们从Cantor为我们创造的乐园中开出去”[4].然而罗素(Russell,B.A.W.)的悖论又使人们陷入对无穷的思考.1921年，弗兰克尔(Fraenkel)改进了策梅洛(Zermelo)的公理系统，形成了ZF公理系统，再加上正则公理和选择公理而形成了ZFC公理系统.这样大致解决了集合论悖论.数学史上称为有关无穷的第三次数学危机.同时这次危机也促使数学家们对数学进行深刻思考，形成了逻辑主义，直觉主义，形式主义三大学派，并进行了一场大辩论.

回顾这三次危机，实质上都是对无穷问题的探讨，不仅如此，在其他历史时期数学家们也没有停止对无穷问题的探索，阿基米德(Archimedes)用“穷竭法”求锥体体积，开普勒(Johannes Kepler)用“同维无穷小法”求曲面酒桶的体积，笛卡尔用“重根法”求切线等等，可以说有关无穷问题的探索贯穿了整个西方数学史，以至于外尔曾说“数学是无限的科学”.从中我们也可以发现西方数学家、哲学家对无穷的追求，并不局限在解决实际问题上，他们更加注重无穷理论在逻辑上的严密性，从最开始对无穷有一个宏观上的分析到后来定量的研究，使人们增大了对无穷的操作能力，同时也体现了西方数学家对确定性的追求.这也与中国数学家形成了鲜明的对比.

3 东西方数学无穷观的比较

从上面对中西数学无穷思想发展历史的简述中我们可以很明显的感觉到，中西数学中对无穷的关注程度是不同的，从数学文化史的角度分析可以认为造成这种结果主要有两方面的原因，一是中西数学在整个民族文化价值观中的地位不同.二是社会精英人才对数学的关注程度不同.

(1)中华民族发源于长江、黄河流域，处在一个相对封闭的地区，智慧、勤劳的中华民族较早的应用数学解决社会生活中的问题，形成了具有独特概念、方法、运演规则、体系建构的筹算数学.而且筹算被列为六艺之中(礼、乐、射、御、书、数)，也就是说在中国文化的传统中数学只是一种“技艺”.隋唐宋三代都在国子监设立算学，培养专门的数学人才，并且经考试数学合格就可以做一些地位较低的官吏[5].宋代朱熹也曾指出：“古人志道据德而游于艺，然九数虽为最末事，若而今行经界，则算法亦是有用.”由此可见仅作为一种工具性质的学问来看，中国古代对筹算给予了一定的重视.正因为筹算是一种解决生产、生活中实际问题的工具，所以它将会沿着更简便、更实用的道路发展，最终向实用性更强的珠算发展.也正是因为此，中国的数学书籍都是以解决实际问题为主，《九章算术》就是很好的例子.中国的筹算经过千百年的发展取得了巨大的成果，可是这种以解决问题为重心的实用数学无论怎样发展都只是在技艺应用的层面，远没有上升到社会文化传统的理性观念和意识层面，不会被主流的儒家文化传统所接受，这也就难怪北齐颜之推的《颜氏家训》中说“算术亦是六艺要事，自古儒士论天道、定律历者皆学通之，然可以兼明，不可以专业”.

古希腊文明发源于地中海沿岸一块贫瘠的土地上，但幸运的是它处在众多文明的环绕之中，智慧的古希腊人将这些文明成果整理、吸收、运用，最终创造出了人类历史上伟大的文明成果.从“万物皆数”的毕达哥拉斯开始，古希腊的数学就走上与其它民族截然不同的道路.《几何原本》是从公理、公设及概念出发展开理性论证，运演过程明确地表现为逻辑三段论式的形式，这在中国古代数学中是极少出现的.可见，古希腊文化中数学并不是简单的工具应用，数学在古希腊上升到一种理性认知的高度，通过数学去认识、解释世界.齐民友先生告诉我们，西方数学是一种理性精神.深入追究我们可以看到在西方文化中，数学在古希腊是一种理性的信仰，在中世纪的基督教是一种宗教的情感，在现代的西方文明中数学是一种超越方法意义之上的理性精神.著名的数学史学者M·克莱因认为：“在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性精神.正是这种精神，激发、促进、鼓舞和驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵.”[6]

这样中西民族在对待数学上就产生了不同的看法，在中国古代数学是作为一门工具，用来解决生活中的问题，也将遵循实用的原则.而在西方文化中将数学看成了信仰，一种理性精神，是形而上的事情.所以与西方文明相比，中国古代明显缺乏对筹算在精神层面的思考，自然也不会达到西方对数学的重视程度.

(2)在中西古代社会中，社会精英对数学关注的程度是不同的.数学作为一种文化理性，作为一种解释世界的形式，数学吸引了整个民族中最优秀的人才，从而就为古希腊乃至西方数学的发展创造了良好的人才基础，然而在中国古代，筹算并没有上升为理性，不在社会意识层面，而仅仅处在技艺层面，是形而下的器物实用技艺，这样一来筹算自然不会吸引到这样的精英份子.

儒家思想占据中国古代社会意识的主导地位，在汉代“独尊儒术”后受到历代君王的推崇，于是这也就成为仕大夫阶层所追求的目标，显然此时伦理道德成为社会的主流思想，在这种思想指导下，人们只会去关注三纲五常、四书五经，而不会去在意“割圆术”.而在西方社会从古希腊时数学开始成为一种理性精神，就一直成为社会最精英人群所追求的对象，正如克莱因所指出:“为什么希腊人爱好并强调数学的抽象概念呢?我们不能回答这个问题,但应指出,早期希腊数学家是哲学家,而哲学家普遍地对希腊数学的发展有决定性的影响.哲学家喜欢搞观念,并在许多领域里显出他们搞抽象的典型作风.希腊哲学家对于真理、善良、慈爱和智慧就是这样来思考的”[7].可见，在西方数学与哲学是密不可分的，也是一种智慧的象征，大概就是这个原因，柏拉图才说“不懂几何者禁入”.

通过对中西数学的对比我们可以发现，数学在两个民族价值观念中地位不同，社会精英人才对数学的关注也不同，这样一来对数学中无穷的问题乃至对整个数学的关注自然也会产生不同的效果，所以出现上述无穷思想的不同发展状况也就不足为奇了.

参考文献：

[1]李约瑟.中国科学技术史 [M].第3卷.《中国科学技术史》翻译小组,译.北京:科学出版社,1978.316-317.

[2]白尚恕.中国数学史大系 [M].第3卷.北京:北京师范大学出版社,1998.88.

[3]周述岐.数学中无穷的历史[J].自然辩证法研究,1988(2):12.

[4]M·克莱因.古今数学思想 [M].第4册.上海:上海科学技术出版社,2002:70-72.

[5]孙宏安.中国古代数学思想[M].大连:大连理工大学出版社,2008:263.

[6]M·克莱因.西方文化中的数学[M].张祖贵,译.北京:九章出版社,1996:8-9.

[7]M·克莱因.古今数学思想[M].第1册.上海:上海科学技术出版社,2002:50.