带条件风险约束的发电商最优投标模型及计算＊

罗 可,赵志学,童小娇

(1.长沙理工大学计算机通信工程学院,湖南长沙 410076;2.湖南商学院计算机与电子工程学院,湖南长沙 410205)

在电力市场中,发电商投标策略模型和计算方法的研究得到了国内外学者的广泛关注.文献[1]对投标策略的研究进行了比较全面的介绍,按研究方法的不同可分为3类:其一是通过预测下一交易日的市场清除价格来制定投标策略的方法,该方法适合于小型发电商且其投标策略对市场淸除价格基本没有影响的情形;其二是基于博弈论求解市场均衡的方法,该方法在发电商不具备完全的市场信息时缺乏有效的处理手段,导致最终投标策略脱离现实;其三是估计其他竞争对手投标行为的方法,该方法需要对其他竞争对手的投标策略的分布函数进行估计,最终确定自己的投标策略.

通常,期望利润大的投标策略其风险也大.因此,发电商需要对投标策略的风险进行分析和评估,构造兼顾期望利润最大和风险最小两个矛盾目标的折衷投标策略.鉴于此,已有大量的学者将风险分析方法应用于投标策略的研究.文献[2]Markowitz第一次从风险资产的收益率与风险之间的关系出发,用方差来描述风险,讨论了不确定性经济系统中最优资产组合的问题.然而,该模型用方差计量风险有较大的局限性.20世纪90年代Value-at-Risk(VaR)成为风险管理的主要手段.Alexander G和Baptista A[3]提出的以VaR作为风险函数的“均值-VaR”模型.Rockafellar-Uryasev等[4]在2000年分析了VaR方法在实际应用中的缺陷,并提出条件风险(Condition Value-at-Risk:CVaR)作为风险的度量.与VaR比较,CVaR满足风险度量的一致性特点,可运用于一般的随机变量分布;特别是通过引入一个特殊的辅助函数,使CVaR可用凸优化计算,同时得到VaR的值.CVaR作为风险度量的这些优点使其应用日益广泛,许多学者进行了深入的研究[5-13].

本文探讨将CVaR理论应用于电力市场领域.基于电力市场的运营机制和投标方法[14-15],本文构造了一种基于CVaR发电商最优投标策略的新模型,应用第3类方法——估计其他竞争对手投标行为制定投标策略,对对手的投标数据参数采用了蒙特卡洛仿真模拟,提出了求解发电商最优投标策略模型的PSO(Particle Swarm Optimization,PSO)算法,保证了算法的全局收敛性.IEEE多个算例的数值显示本文所提出的模型和算法具有较好的计算效果.

1 CVaR模型简介

记x∈X⊂Rn为决策变量,随机变量y∈Rm的分布为p(◦),通常定义f(x,y)为损失函数.在文献[4]中,Rockafellar-Uryasev定义条件风险CVaRβ(x)为:

其中:β为置信水平,VaRβ(x)为风险值.文献[4]通过构造函数Fβ(x,α)来计算CVaRβ(x),其中:

文献[4]还证明了Fβ(x,α)是关于变量α的连续可微凸函数.因此CVaR为一凸规划问题的最优值.由于式(2)是连续性的,需要对其进行离散化,用的近似值代替它,得到式(4):

2 发电商最优投标模型

假设电力市场包括n家发电商,每一个发电商只有一台发电机组,给定投标函数为:

记(xi,x-i)=((ai,bi),(a-i,b-i)),其中ai,bi为所求发电商的投标参数,a-i,b-i为竞争对手的投标参数,qi为发电量.发电商的成本函数为:

发电商的利润函数为:

其中:λi,qi分别是结点i的价格和发电量,它们分别为发电商投标后综合考虑社会效率最大化或费用最小化确定的价格和电量分配,可由ISO模型求出.假定以第i家发电商为研究对象,其竞争对手服从正态分布.

ISO模型是在考虑社会效益最大化和网络约束的条件下进行最优调度.其模型表达式为:

其中:

d=(d1,d2,…,dj)为用户(网络)的需求,q=(q1,q2,…,ql)为发电商的发电量,B(d)为效用函数,C(x,q)为发电商的总成本函数.h(q,d)为系统运行约束和发电机出力约束,因此定义KKT系统为:

利用式(10)求解出利润函数中的发电电量q,用户需求d和市场清除价λ.

根据利润函数的期望来求解最大利润,由此可知第i个发电商最优投标模型可以表示为:

由于式(11)中的约束条件φ(xi)≥Vi中设置f(x,y)为利润函数的相反数,可以由式(4)和式(10)得到,由此得出总投标模型为:

3 算法设计

PSO算法是Kennedy和Eberhart博士于1995年提出的一种基于群体智能的进化方法.基本的粒子群模型在一个n维的空间内,m个粒子组成的群体与进化代数t相关的粒子位置及速度构成,表示为=(,,…,…,)=(,…,,…,)式中:j=1,2,…,m,为粒子的编号;i=1,2,…,n,为粒子位置元素的编号;t为进化的代数.因此在t+1代,粒子j的速度更新表达式为:

粒子j位置的更新表达式为:

C1,C2为常数,Rand()为在[0,1]区间均匀分布的随机数.

ISO优化模型是一个典型的二次凸规划问题,可用一般优化算法进行最优值的求解.CVaR模型是一个线性规划问题,可以用PSO算法进行计算,并且具有全局收敛性.

PSO算法随机产生粒子,每个粒子代表发电商待优化参数,从样本数据中选择规定范围内N个粒子Xi,再对每个产生的粒子进行ISO优化调度.根据文献[14]提出的“3σ规则”,对竞争对手的投标进行估计,随机抽取k个点进行模拟,得到k个相应的f和相应的(λi,qi),然后代入CVaR模型求解.在计算粒子适应度之前,需要验证粒子位置变量是否违反约束,以决定是否对粒子适应值进行惩罚.其适应度为:式中:r为惩罚项,c1,c2和c3为正常数.具体的算法步骤为:

Step1 初始化粒子,粒子为2维数组(Swarm[ai,bi]),粒子数为N,最大迭代次数为Tmax,精确度阀值为eps,式(13)中的C1和C2取值为1.496 2.在规定范围内随机产生粒子位置和速度信息.

Step2 对竞争对手的投标参数系数[a-i,b-i]进行蒙特卡洛模拟仿真,取k个yk.

Step4 将每个粒子代入到适应度函数(15)中,求解适应度.若该适应度值好于历史最好值(Pbest),则令当前值作为新的Pbest,在所有的Pbest中选取最优的作为全局最优点(Gbest).

Step5 利用式(13)和式(14)更新粒子的速度和位置.

Step6 判断是否达到迭代终止条件——一个预设的最大迭代次数Tmax(t≥Tmax)和最小精度阀值eps为粒子数),则程序终止,否则t→t+1,返回Step3,进行新一轮的迭代.

4 数值实验

4.1 IEEE4-bus不同V下的效益以及各项结果

首先采用IEEE4-bus系统对所提出的方法进行测试,模拟电力传输网络数据进行计算.图1为4节点2发电机系统的结构图,1,2号节点各有一台发电机;而3,4号节点是负荷节点.表1为发电商技术与经济参数表和ISO负荷需求参数表.

为了简洁,采用直流潮流约束进行计算,通过修改各线路的阻抗和容限来调整发电机的发电量、负荷节点的电量和电价。假定以2号发电商为研究对象,其中C=19,β=95%,引用文献[13]的计算结论,A2的搜索范围为[0.5＊3,10＊3],B2的搜索范围[0.5＊0.025 00,10＊0.025 00],同时假设q,d相等.通过计算,当V=25时,其最优投标系数a2=5.159 8;b2=0.400 1;q1,q2,d1,d2=(0.462 4,4.598 8,2.326 2,2.735 0)MW;这时的市场清除价R=6.999 8美元/(MW◦h),利润为18.129 8美元.

图1 4节点2发电机结构图Fig.1 4 node 2 generator structure chart

表1 发电商的技术和经济参数表和负荷节点参数表Tab.1 Technical and economic parameters table

表2,表3分别为发电商1和2在给定不同的V时所求得的最优投标系数ai,bi、市场清除价λi以及利润Maxπ.从表3的计算结果可以看出,随着V的降低,最优投标系数a2,b2变大,即投标系数增加,被调度的发电量q相应增大,利润的期望值f随之增加,市场清除价也有小幅度增长.当V达到一个特定值以后,最大利润也趋于平衡,最后达到一个稳定的值.

表2 发电商1在不同V下的最优投标系数以及结果Tab.2 The 1st generation company's resultfor a given different V

由于设置f(x,y)为利润函数的相反数,所以VaR,CVaR是一个负数,为了方便,采用-VaR,-CVaR进行说明.如果盲目追求利润而采用较高的报价系数,虽然所得的期望利润会相应的变大,但是-VaR和-CVaR值小于期望值,高报价的相应风险也会增大.此外,还可以看出-CVaR的值一般都小于-VaR值,这是由于CVaR反映的是收益尾部α分位点之后的期望值,也就是考虑了最坏情况中的所有情况,因此-CVaR值小于-VaR值,它比-VaR值更准确地度量了发电商的风险.

表3 发电商2在不同V下的最优投标系数以及结果Tab.3 The 2st generation company's result for a given different V

图2为4节点2发电机系统效益前沿图,从图2可以看出,两家发电商在不同的V下的最大期望利润都是单调递增一段以后达到平衡.

从以上比较分析可得,不同的V值能直接导致不同的投标系数,调度的发电量,以及市场清除价格和发电商的利润.如果忽略风险因素,会直接影响自己的投标决策,达不到预期利润从而产生损失,所以在制定投标策略时必须考虑相应的风险.同样,求解发电商1的结果,从中可以看到由于输电量的约束导致-V足够小的时候q1只能趋向3.82;其他变量的变化同第2家发电商,当-V变大时,最优投标系数a1,b1变大,被调度的发电量相应增加,利润的期望值也随之增加,市场清除价也有小幅度增大.

通过数值实验统计粒子迭代收敛的动态信息,可以得出粒子位置和速度的演化进程从而可以了解最优解的求解过程.以求解发电商2为例,在V=15时跟踪粒子2的位置和速度变化情况.对于粒子2(x2-(a2,b2)),a2其速度值在前49代中是在0上下振荡的,对应的位置在5.1附近振荡.在这之后,粒子的位置稳定在5.15,而速度稳定在0;b2其速度值在前47代中是在0上下振荡的,对应的位置在0.40附近振荡.在这之后,粒子的位置稳定在0.398 7,而速度稳定在0,这表明所求的结果是全局最优解.

图2 4节点2发电机系统效益前沿图Fig.2 The maximum profit trend graph in different risk factor V

4.2 9节点3发电机系统中不同V下的效益

为了进一步测试该模型,采用IEEE 9-bus系统进行模拟求解.图3为9节点3发电机系统的结构图,其中1,2,3节点各有一个发电机,其余的为负荷节点.表4为线路参数表,表5是发电商技术与经济参数表,表6是ISO负荷需求参数表.

图3 IEEE9节点系统图Fig.3 9node 3 generator structure chart

表4 线路参数Tab.4 Line parameters

表5 发电机的技术和经济参数表Tab.5 Generating technical and economic parameters

表6 负荷节点参数表Tab.6 Load node parameter

表7,表8和表9分别为IEEE9节点系统中发电商1,2,3在给定不同的V时所求得的最优投标系数、市场清除价R以及利润.从计算结果可以看出:随着V的降低,最优投标系数a2,b2,节点电价和利润变化同4节点2机系统变化相同,电量随投标系数变大而增加.从图4可以看出利润变化与4节点2发电机系统变化相同,增长到一定值以后不再随V的变化而变化趋于平衡.

表7 发电商1在不同V下的最优投标系数以及结果Tab.7 The 1st generation company's result for a given different V

表8 发电商2在不同V下的最优投标系数以及结果Tab.8 The 2st generation company's result for a given different V

表9 发电商3在不同V下的最优投标系数及结果Tab.9 The 3st generation company's result for a given different V

图4 9节点3发电机系统效益前言图Fig.4 The maximum profit trend graph in different risk factor V

5 结 论

本文在兼顾利润最大和风险最小这两个冲突目标情况下,构造了一种新的发电商最优投标策略优化模型,提出了基于Monte Carlo仿真和粒子群优化算法2种求解方法,通过数值实验得出了以下结论:

1)风险因子V越小,投标系数随之增大,投标相应增高.

2)风险越大,利润越高.但是并不是无限制的提高,当V达到一定程度时,利润就不再增长达到平衡,趋于一个相对稳定的数值.

3)由于本文模型设置f(x,y)为利润函数的相反数,所以VaR,CVaR为一个负数,那么-CVaR值一般都小于-VaR值.虽然VaR,CVaR都是测量下偏风险,但VaR将注意力集中在一定置信度下的分位点上,而该分位点下面的情况则完全被忽略了,它使发电商忽略了某些极端的情况,而这些情况恰恰是发电商风险管理所必须关注的.而CVaR考虑了最坏情况中的所有情况,它比VaR值更准确地度量了发电商的风险.

4)PSO算法在求解类似该复杂约束非线性的投标模型问题中具有简单易行、能求出全局最优解和快速收敛的优点,并且与初始点选择无关.

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