基于分数阶傅里叶变换的多项式相位信号参数估计*

金 翔,张天骐,庞 统,杜晓华

(重庆邮电大学 信号与信息处理重庆市重点实验室，重庆 400065)

多项式相位信号(PPS)是信号处理领域中一个具有重要意义的非平稳信号模型，它在雷达、声纳、语音和通信领域得到了广泛应用。LFM信号是PPS的一个特例，当前LFM信号参数估计方法主要通过二维目标函数结合二维搜索来实现，比如最大似然估计、基于时频分析的参数估计方法、FRFT、匹配傅里叶变换(DCFT)等。由于二维搜索法计算量较大，尤其当估计的精度要求较高时，浪费了大量时间去作对检测无用的变换计算。为了解决这些问题，本文研究了多项式相位信号估计的一种快速算法。

1 基于分数阶傅里叶变换的LFM信号检测与参数估计

信号 x(t)的 FRFT定义为[1]：

式中FRFT的变换核Kp(t,u)为:

其中，n为整数，α称为旋转角度，且 α=pπ/2，p为 FRFT的阶数，Fp[·]为 FRFT的算子符号。

信号x(t)的FRFT是线性变换，它与WVD的关系可解释为时频平面的旋转算子，这一特性决定了FRFT特别适合于处理LFM类信号[7]。如图1所示，一个有限长LFM信号的Wigner分布在时频平面呈现为斜直线的背鳍形分布，因此，若在与该斜直线相垂直的分数阶域上求信号的分数阶Fourier变换，则在该域的某点将出现明显的峰值。而噪声的能量均匀地分布在整个时频平面内，在任何的分数阶Fourier域上均不会出现能量聚集。利用这一特性，可实现LFM信号的检测和参数估计。

设含有噪声的单分量LFM信号表示为:

其中，a0、φ、f0和 μ0分别为信号幅度、初始相位、初始频率和调频斜率，w(t)为加性高斯白噪声(方差为σ2)。则上述的chirp信号检测和估计过程可描述为:

2 延时相关解调技术与FRFT的快速算法

2.1 LFM信号延时相关解调

设含有噪声的单分量LFM信号x(t)为:

其中 A、f0、μ0分别是 LFM信号的幅度、初始频率、调频斜率，w(t)是零均值平稳高斯白噪声，方差为σ2。参考文献[3]证明了LFM信号经延时相关解调后变成一个频率为 f0′=μ0τ的正弦信号和均值为零的噪声信号,且方差为2A2σ2+σ4。

所以可以通过FFT估计该正弦信号频率 f0′,得到LFM信号参数μ0的估计值：

[2]论证了 τ的最佳选择在 τ=0.4T时，且调频斜率的搜索范围为[3]：

其中,N是采样点数，fs是采样率。

2.2 多项式相位信号延时相关解调

本文讨论非线性调频信号在雷达中的应用，只考虑三阶PPS信号的参数估计，信号的模型为：

其中,A为信号幅值,w(t)是零均值平稳高斯白噪声，方差为σ2。一次延时相关解调可以使相位阶数下降一阶，现考虑二次延时相关解调。

参考文献[5]证明了PPS信号经二次延时相关解调后变成一个频率为 f0=6τ2a3/2π的正弦信号淹没在均值为0、方差为 6A6σ2+10A4σ4+4A2σ6+σ8的噪声中,即信号 x(t)经过二次延时相关解调后，接收信号延时相关函数的信噪比RSNRo与原始信号信噪比(RSNRi)的关系为：

通过FFT估计该正弦信号频率f0，就可以得到多项式相位信号参数a3的估计值:

参考文献[5]从正弦信号频率估计的角度，说明了τ取 2T/7 时，3的误差最小。

基于以上分析和PPS信号的性质，PPS(三阶)信号估计可按以下步骤进行:

(1)信号 x(t)通过二次延时相关解调，由式(11)估计出最高阶项系数3；

(2)构造参考函数 xr(t)=exp[j(a1t+a2t2++a3t3)]·exp(-ja3t3)，对xr(t)作FRFT，由式(5)可进行相关参数的估计。

3 仿真实验与结果分析

实验一：设信号的数学模型如下式表示:

采样点数为1 024,采样频率fs=1 000 Hz,初始频率f0=345 Hz，调频斜率k=100,w(t)为高斯白噪声。 当信噪比为-2 dB时，若取分数阶的步长Vp=0.000 1进行FRFT，得到三维图如图2所示,进行能量的最佳搜索。由式(5)可估计出信号为:

用延时相关解调方法得到正弦信号，然后对其作离散傅氏变换，如图3所示,由幅度谱可得到调频斜率k=90.609 4,代入相关参数到式(8)，得到调频斜率k∈(91.980 0,107.238 8)，从而得到分数阶p的搜索范围p∈(1.0597,1.0696)。

由此可以在相应区间进行FRFT，得到其对应模值,如图4所示，其横轴为分数阶p，纵轴为相应的p对应的模值，可以从图中得到p=1.065 0时，模值最大，即此时有最佳能量聚集特性。图5为最佳能量聚集时的分数阶模值图，从图中明显看出能量的聚集性。此时，估计出信号为:

通过比较式(13)和式(14)可以看出两者结果一样，原因是两者旋转角度采用相同的步长,而采用相关解调后分数阶区间缩小到（1.059 7，1.069 6），在相同精度的条件下其计算量与二维搜索法计算量相比是其1/400以下。由于没有在时域附近做FRFT，所以不会出现伪峰干扰。

图6为LFM信号参数的误差分析图，从图中可以看出在信噪比大于-6 dB情况下，可以较为准确地估计出信号参数，由于最终信号各参数的估计值都是基于FRFT检测的，所以此种方法并不影响误差。

实验二：设信号的数学模型如下式所示:

其中采样频率 fs=1 024，采样点 N=1 024，a1=20，a2=100，a3=50，t=2T/7。

x(t)信号相关解调后，输入 SNR范围为-4～6 dB，分别运行200次Monte Carlo实验，图7是采用此方法得到的均方误差随信噪比变化的特性图，从图中可以看出，当信号信噪比大于0 dB时，算法的性能比较稳定。

对于(12)式的信号模型，设 SNR=6 dB,由图 8正弦信号的幅度谱和式(11)可得到a3=50.265 5，再按多项式相位信号估计步骤进行估计，进行FRFT，得到三维图如图9所示。根据公式(5)估计出信号为:

目前对FRFT的计算简便方法的研究已经比较深入，通过分解法可使分数阶计算的量逼近于(NlogN)[1]，由于计算量非常之大，本文提出了先延时相关解调，粗略估计LFM信号调频系数的范围，再进行小范围数值的分数阶变换，大大减小了计算量，变二维谱峰搜索为一维搜索,并且在信噪比大于-6 dB时，取得了较好的效果。同时，引入分数阶傅里叶变换与延时相关解调相结合，对多项式(三项式)相位信号进行检测，在信噪比大于0 dB时取得了较好的效果。

参考文献

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