ePSF拟合法与Gaussian拟合法的比较

张志渊，彭青玉，3

(1.暨南大学计算机科学系, 广州 510632；2.广东省高等学校光电信息与传感器技术重点实验室, 广州 510632；3.中国科学院光学天文联合开放实验室, 昆明 650011)

哈勃空间望远镜虽然不受大气的影响，但其成像系统仍存在衍射受限和焦距较短的局限性。通过哈勃空间望远镜得到的图像中的星像在半峰全宽(FWHM—Full Width at Half Maximum)下，其轮廓的直径不到2个像素大小。根据Stone[1]的研究，如果图像是足够采样的，则其中的星像在FWHM下轮廓直径至少需要4个像素大小，否则这样的图像是欠采样的。因此，通过哈勃空间望远镜得到的图像是欠采样的。这种欠采样图像会对星像的位置测量带来系统位置误差的影响(像素相位误差)。

为了解决这个问题，Anderson和King在2000年提出了ePSF拟合法[2]。他们先利用抖动的15幅图像提取ePSF，然后应用ePSF拟合星像的位置和通量。结果表明，对于大视场(WF—Wide Field)照相机图像中的亮星其测量精度为2mas，而对于行星照相机(PC—Planetary Camera)图像中的亮星其测量精度达到了1mas[2]。

对哈勃空间望远镜的WF与PC的几何畸变校正，ePSF提供有力的星像信息支持[3]。正是由于WF与PC的几何畸变得到校正，土星卫星位置的测量精度和准确度才有了明显提高[4]。

然而，Anderson和King却不加说明地把ePSF拟合法应用到了地面CCD图像中星像位置的测量中[5]。而且，他们也没有把ePSF拟合法与经典的定心算法作比较。

对于地面CCD图像的测量，李展等人[6]在对修正矩法、中值法和Gaussian拟合法比较研究的基础上指出，二维Gaussian拟合法是测量精度最好的方法。因此，对ePSF拟合法和二维Gaussian拟合法进行详细的比较。

本文第1部分描述星像轮廓模型；第2部分对ePSF拟合法的一些相关细节进行介绍；第3部分对ePSF拟合法与Gaussian拟合方法的测量精度进行比较；最后一部分是结论。

1 星像轮廓模型

图1 作为代表的一个星像Fig.1 A typical simulated image for star

根据King[7]的研究，星像的大部分通量都被包含在一个核(如图1中标记为“1”的圆域)中，这个核的灰度分布近似于Gaussian分布；星像的一部分通量被包含在光晕(如图1中标记为“3”的环域)中，它的灰度分布近似于负幂函数分布；而且核与光晕之间存在一个灰度分布近似于指数函数分布的过渡区域(如图1中标记为“2”的环域)。具体地，为了更加合理地描述星像轮廓，King把星像轮廓看成是Gaussian、指数函数与Moffat函数的和[7]。

结合King的研究，把星像轮廓模型用以下方程[8]表示：

I(r,R,A,B,C,D)=B·M(r,A)+(1-B)

·[C·G(r,R)+(1-C)·H(r,D,R)].

(1)

其中r为星像周围的点到星像中心的距离；R与大气条件有关，天文上常使用大气视宁度seeing来表征。seeing可用星像的半峰全宽(FWHM)来表示。而且FWHM与R有如下关系：

FWHM≈2.36R.

seeing值越小，表示大气条件越好。G、H和M分别为Gaussian、指数函数和Moffat函数，它们的表达式如下：

它们分别表示模拟星像的核、过渡和光晕区域的灰度分布。(1)式中，A，B，C，D为常数。A影响光晕的灰度变化，体现了灰度从光晕的内环到光晕的外环逐渐减弱的程度。为了得到比较合理的星像轮廓，必须使A>1；B表示光晕所分得的总通量比例；C表示核所分得如图1中标记为“2”的圆域中的通量比例；D使指数函数H(r,D,R)受到不同于Gaussian函数G(r,R)的宁静度影响； 根据实验中通过对A，B，C取不同值得到不同的星像轮廓模型，从而生成不同类型的星像。其中每一个模拟星像都随机加入了泊松噪声，并且对天空背景部分也加入泊松噪声。如图2所示为所生成的一幅典型的模拟图像的一部分。对于模拟图像的像素大小，采用了云南天文台1m望远镜上曾使用过的1k×1kCCD的情况，即24μ×24μ为一个像素大小。在实验中生成了4组图像(分别对应于图7～10)，其中每一组有10幅图像(详见第3部分)。

图2 一幅典型的模拟图像的一部分Fig.2 A small frame of a simulated image of certain stars

Stetson[8]的研究，一般情况下，0≤B≤1，0≤C≤1，D=0.9。

2 ePSF拟合法

为了解决哈勃空间图像欠采样的问题，美国学者Anderson和King提出了ePSF拟合法的概念。假如一个星像中心位于(xc,yc)，(i,j)是该星像周围的一个像素，它们与ePSF存在如下关系[2]：

Pij=S*+f*×ψE(Δx,Δy).

其中Pij为像素(i,j)的灰度值；S*为天空背景值；f*为星像的通量因子；ψE(Δx,Δy)为点(i-xc,j-yc)的ePSF值。为了拟合星像的位置和通量，Anderson和King构造χ2方程：

其中AP为拟合的像素范围；Wij为像素(i,j)的权重；ψE(i-xc,j-yc)为点(i-xc,j-yc)的ePSF值；g为增益因子。我们发现g对xc、yc和f*求解并没有影响，因此可把χ2简化为：

(2)

在式(2)中，f*是线性化出现的，容易通过最小二乘算法解出：

然而，(xc,yc)通过ψE(i-xc,j-yc)非线性地出现在式(2)中，这样就不能像解f*一样轻松地求出xc、yc。通过定义：

通过反复计算发现两处有误。我们推导的结果是：

y方向完全类似。在上面表达式中，ψij/x、ψij/y为ePSF在点(i-xc,j-yc)上的偏导数值。实验发现采用Lagrange插值的3点公式求解偏导数可以获得足够的精度。

图3所示的流程图描述了ePSF的提取与ePSF拟合星像的过程。Anderson和King[2]中的ePSF拟合法涉及了这样一个过程：对于每一个星像通过平均它的15个不同指向的观测资料解决由于图像的欠采样所引起的像素相位误差。我们的模拟图像是非欠采样的，所以这里的ePSF拟合法没有涉及这个步骤。

图3 ePSF拟合法流程图Fig.3 Flowchart for deriving an ePSF

2.1 ePSF的平滑

根据Anderson和King[2]的研究，为了使提取的ePSF更加准确，需要对格点的ePSF值进行平滑。通过采用他们的模板(A&K模板[2])平滑后，发现效果(如图4)并不是很理想。实验发现，Gaussian模板平滑效果(如图5)更好。因此，采用了Gaussian模板对ePSF进行平滑。

图4 A&K模板平滑后的等高线Fig.4 Smoothed contours with an A&K mask

图5 Gaussian模板平滑后的等高线Fig.5 Smoothed contours with a Gaussian mask

2.2 ePSF对天空背景的拟合

在用方程(2)求解出(xc,yc)和f*的过程中，发现利用类似方法也可拟合天空背景S*。由最小二乘算法解出：

其中qij=1/Pij；ψij=ψE(i-xc,j-yc)；令Wij=1，即把要拟合的像素都等权处理，这样可把星像周围处在天空背景水平的像素考虑在内。由于亮星扩散的范围比较大，所以必须使拟合的范围AP足够大(例如取星像中心25×25个像素，甚至更大范围)，以便在这个范围内包含天空背景区域，即到达天空背景水平。对于星像比较密集的模拟情况，如果拟合的范围较大，可能会把周围的伴星包含在内，从而导致拟合的结果不准确。因此，ePSF拟合天空背景只适合星像比较孤立的情况，而不适合于星像较为密集的情况。

3 实验结果分析

对于给定的一种条件，调用CFITSIO库[9]相应地生成10幅背景图像，并给出了91个中心位置或者通量不同的星像。在每幅背景图像中，采用方程(1)生成了这91个星像。这些星像中最暗的可达到18.41mag，最亮为11.65mag，其中暗星与亮星的数量分布比较均匀(从图6～10可见)。这里的星等(Magnitude)通过下面的公式进行计算：

Magnitude=23.5-2.5×lgf*.

在相同条件下的一组模拟图像中，计算每一个星像在这一组图像中的位置相对于理论位置的标准差，这些标准差反映了采用算法的精度。

3.1 拟合天空背景对ePSF拟合法的影响

对于同一条件下的10幅模拟图像，分别采用没有拟合天空背景的ePSF模型和拟合了天空背景的ePSF模型拟合其中的星像，并对这两种模型的精度进行分析。实验结果表明，是否拟合天空背景对星像位置的测量精度基本没有影响(如图6)。图6中横轴为星像的星等，纵轴代表以像素为单位的标准差。

图6 没有拟合天空背景的ePSF模型与拟合了天空背景的ePSF模型的精度比较.(a)在x方向的标准差比较；(b)在y方向的标准差比较Fig.6 Precisions for fitting ePSF with and without sky-background fitting.(a) standard deviations in the x direction;(b) standard deviations in the y direction

3.2 ePSF拟合法与Gaussian拟合法比较

在同一种条件下的10幅模拟图像中，分别应用ePSF拟合法和Gaussian拟合法对其中的星像进行拟合，得到这些星像的位置。然后，计算同一个星像的ePSF拟合的位置和Gaussian拟合的位置相对于理论位置的平均偏差和标准差。平均偏差通过平均10幅图像中所有星像的位置相对于其理论位置的偏差得到。

限于篇幅，本文只列出了4种情况下的ePSF拟合法与Gaussian拟合法的测量精度的比较(如图7～10)。实验发现，由Gaussian拟合法得到的星像位置相对于理论位置的平均偏差在0.005～0.01个像素之间波动，而ePSF拟合法的平均偏差在0.007～0.01个像素之间波动。在图7～10中，横轴为星像的星等，纵轴代表以像素为单位的标准差。

由图7～10可见，两种算法在x方向和y方向的结果较为一致：算法的标准差随着星等的增加都呈现上升的趋势，大部分情况下标准差在0.01个像素以内，说明这两种算法对亮星的拟合结果都较为理想；对于暗星则有不同程度的波动，在图7和图10中标准差在0.01～0.07个像素之间变化，而在图8和图9中相对要大点，分别在0.01～0.08与0.01～0.09个像素之间变化。从图10可见，在天空背景较大、宁静度较差的情况下，Gaussian拟合法在方向上测量精度稍高于ePSF拟合法，其中的原因有待深入研究。总的来说，这两种算法几乎是等精度的。只是对个别的暗星，这两种算法的测量精度偏离较大点。

图7 天空背景值为50，大气宁静度为1(arcsec)，A=1.2，B=0.4，C=0.6.

图8 天空背景值为50，大气宁静度为1.4(arcsec)，A=1.2，B=0.4，C=0.6.

图9 天空背景值为80，大气宁静度为1(arcsec)，A=1.5，B=0.5，C=0.7.

图10 天空背景值为80，大气宁静度为1.4(arcsec)，A=1.5，B=0.5，C=0.7.

4 结 论

本文首先介绍了星像轮廓模型，并对模拟星像生成的细节作了必要说明。然后，描述了ePSF拟合法的一些相关细节：ePSF的平滑和天空背景的拟合。最后，用ePSF拟合法和Gaussian拟合法拟合模拟星像，对它们拟合的精度进行比较。初步的实验结果表明，Gaussian拟合法与ePSF拟合法对星像的位置测量几乎是等精度的。对于天空背景较大、宁静度较差的情况，Gaussian拟合法在方向上测量精度稍高于ePSF拟合法，其原因有待深入研究。当然，这只是统计意义上的，并非指个别点的情况。

致谢:感谢暨南大学计算机系张庆丰、孟小华和李展老师在论文实验中提出的建设性意见和提供的帮助。

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[8] Stetson P B, Lindsey E D, Dennis R C. FUTURE DEVELOPMENT OF THE DAOPHOT CROWDED-FIELD PHOTOMETRY PACKAGE[J]. PASP ,1990, 8:289-304.

[9] CFITSIO, http://heasarc.gsfc.nasa.gov.