量子群的Grbner-Shirshov基与Ringel-Hall代数

任艳花，阿不都卡德

（新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830046）

任艳花，阿不都卡德

（新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830046）

用Ringel-Hall代数构造了A3型量子群正部分的一个Gröbner-Shirshov基，这种方法将为有限维代数表示论给出一个新的应用空间．

Ringel-Hall代数；不可分解模；同构类；Gröbner-Shirshov基；合成

0 引言

交换代数的Gröbner基理论是由Buchberger在文献[1]中介绍的，此理论提供了交换代数约化问题的一个解决方法，给出了交换环给定理想的生成元集合的一种算法，使得人们可以用此算法来决定对于由理想给出的关系不可约的元素．在文献[2]中，Bergman通过钻石引理将Gröbner基理论推广到结合代数上．

李代数的Gröbner基理论是由Shirshov在文献[3]中发展的，该理论的主要内容是合成引理，它刻画了给定理想元素的首项．在文献[4]中，Bokut注意到Shirshov的方法对结合代数也适用．因此，Shirshov关于李代数及其包络代数的Gröbner基理论称为Gröbner-Shirshov基理论．

在文献[5]中，Bocut和Malcolmson发展了量子包络代数或者所谓的量子群的Gröbner-Shirshov基理论，并且具体地构造了An型量子群（q8≠1)的基．Gröbner-Shirshov基是很有价值的，因为如果定义关系的集合是有限的（或者更一般地说，对任意给定单项式，只有有限多个元素的首项小于它），则对于任何一个多项式φ，我们可以通过只检查首项的有限序列来判定φ是否属于定义关系生成的理想．

在文献[6]中，为了构造量子群的PBW基，Ringel用Auslander-Reiten理论构造了Ringel-Hall代数的一个生成序列和这些生成元的一些拟交换关系．为了建立量子群的Gröbner-Shirshov基理论和有限维代数的表示理论之间的联系，本文用Ringel构造的关系和量子群与Ringel-Hall代数间的经典同构来给出A3型量子群的正部分的一个Gröbner-Shirshov基．

1 预备知识

文献[5]和[7]给出了一些关于量子群的Gröbner-Shirshov基理论和Ringel-Hall代数的基本概念．设k是一个域，X是由一些字母组成的非空集合，其指标集为正整数集，〈X〉是由X生成的半群，k〈 X〉是由X生成的自由代数．为了确定每个元素f∈k〈 X〉的首项，我们选取一个自由代数k〈 X〉的单项式的序．一个元素f∈k〈 X〉称为首一元素，如果f的首项系数为1∈k．设f和g是k〈 X〉中的两个首一元素，其首项分别为如果存在使得且的长度大于b的长度，则我们说对f，g有交叉合成，并写成如果存在使得则我们说对f，g有包含合成，并记为其首项设S是k〈 X〉中的一些关系的集合（假设S由首一元素组成），(S)表示由S在k〈 X〉中生成的理想．设上的同余关系如下：当且仅当，其中αi∈k，如果对于任意的有定义就有则我们说S对合成封闭．在这种情况下，我们说合成(f， g)ω对S是平凡的．如果S对合成不封闭，则我们需要纳入所有对S非平凡的合成得到Sc，即所谓的S的完备化．如果（即对合成是封闭的），则我们说S是完备的．如果S是完备的，则Shirshov的引理指出，任意首一元素f∈(S)有可约的首项其中．商代数（作为k上的向量空间）的线性基可由〈X〉中的不可约单项式的集合得到[3]，这时集合S称为理想(S)的一个Gröbner-Shirshov基，或者说它是商代数k的一个Gröbner-Shirshov基．如果对任意不再是Gröbner-Shirshov基，称S是一个极小的Gröbner-Shirshov基．

文献[8]和[9]给出了量子群的定义．设Q(v)是变量v在有理数域Q上的一个函数域，A = (aij)是所有元素全为整数的可对称化n × n阶Cartan矩阵且存在对角线上元素di是非零正整数的对角矩阵D，使DA是对称矩阵．设q是k的非零元，对每个i均有量子群Uq(A)是自由Q(v)代数，其生成元是且满足下面的关系：

2 A3型量子群的正部分的Gröbner-Shirshov基

我们选取A3的定向如图1，对应的Cartan矩阵是

[1] Buchberger B．An algorithm for finding a basis for the residue class ring of a zero-dimensional ideal[D]．Ph.D. Thesis, University of Innsbruck，1965.

[2] Bergman G M．The diamond lemma for ring theory[J]．Adv.Math.，1978，29：178―218．

[3] Shirshov A I．Some algorithmic problems for Liealgebra s[J]．Siberian Math. J.，1962，3：292―296．

[4] Bokut L A．Imbeddings into simple associative algebras[J]．Algebra and Logic，1976，15：117―142．

[5] Bokut L A，Malcolmson P．Gröebner-Shirshov basis for quantum enveloping algebras[J]．Israel J. Math，1996，96：97―113．

[6] Ringel C M．PBW-bases of quantum groups[J]．J.reine angew. Math.，1996，470：51―88．

[7] Ringel C M．Hall algebras and quantum groups[J]．Invent. math.，1990，101：583―592．

[8] Drinfel’d V G．Hopf algebras and the quantum Yang-Baxter equation[J]．Doklady Akademii Nauk SSSR，1985，283(5)：1060―1064．

[9] Jimbo M．A q-difference analogue of U(G) and the Yang-Baxter equation[J]．Letters in Mathematical Physics，1985(1)：63―69．

[10] Rosso M．Finite dimensional representations of the quantum analogue of the enveloping algebra of a complex simple Lie algebra[J]．Comm.Math.Phys.，1988，117：581―593．

Gröbner-Shirshov Basis of Quantum Groups and Ringel-Hall Algebra

REN Yan-hua, Abudukadir

(College of Mathematics and System Sciences, Xinjiang University, Urumqi Xinjiang 830046, China)

In this paper we will construct A Gröbner-Shirshov basis for the positive part of quantum group of type A3is contrasted by applying Ringel-Hall algebra. This approach will provide a new application for the representation theory of finite algebra.

Ringel-hall algebra; indecomposable module; isomorphism classes; Gröbner-Shirshov basis; composition

O152.6

A

1006-5261(2010)02-0008-03

2010-01-25

任艳花（1971—），女，山西汾阳人，硕士研究生．

〔责任编辑 张继金〕