维尔斯特拉斯逼近定理的两个推广

赵 琳

（山西建筑职业技术学院,山西太原 030006）

维尔斯特拉斯逼近定理的两个推广

赵 琳

（山西建筑职业技术学院,山西太原 030006）

文章对维尔斯特拉斯（W eierstrass）逼近定理作了两方面的推广,一方面通过做三角函数变换,证明了闭区间上的连续函数可以用关于Sink t,Coskt的三角函数多项式逼近;另一方面,给出了二维B-模拟多项式的定义,证明了定义在闭区域上的连续函数,可以用二维B-模拟多项式一致地逼近.

维尔斯特拉斯逼近定理;伯恩斯坦多项式;推广

维尔斯特拉斯（Weierstrass）逼近定理:设[a,b]为有界闭区间,f（x）在[a,b]上连续,则∀ε＞0,存在多项式p（x）,使得 ∀x∈[a,b],有|f（x）-p（x）|＜ε.

该定理有许多证明方法,伯恩斯坦（Serge Bernstein）用概率方法给出了简单而又巧妙的证明,表明定理中的多项式p（x）可以取为伯恩斯坦多项式

证明 由傅里叶（Fourier）级数展开公式[1]及引理1易得,在此略.

定理1 设f（t）是[-π,π]上的连续偶函数,则∀ε＞0,存在形如

[1] 华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].第2版.北京:高等教育出版社,1990

[2] 魏宗舒.概率论与数理统计[M].第1版.北京:高等教育出版社,1983

Two Extensions of Weierstrass Approximation Theorem

Zhao L in
（Shanxi A rchitectural Technical College,Taiyuan 030006,China）

In this paper,two new generalized conclusions of the Weierstrass app roximation theo rem have been put forw ard and p roved.On the one hand,by the trigonometric alternating,it has been proved that the continuous functions on any closed finite interval can be uniformly approximated by finite trigonometric series in.On the other hand,by defining two dimension B-analogues polynomials,it has been showed that a continuous function of two variables on the unit square can be uniformly approximated with B-analogues polynomials.

Weierstrass app roximation theorem;Bernstein polynomial

【责任编辑:王映苗】

1672-2027（2010）01-0058-03

O 174.41

A

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2009-12-28

赵 琳（1973-）,女,山西芮城人,山西建筑职业技术学院讲师,主要从事偏微分方程的研究.