略论数学思想方法学习的几个问题

王兴国

关于数学思想方法,数学家和数学教育工作着有诸多论述。通常,大家从“数学思想”和“数学方法”两个角度对数学思想方法加以阐述,认为数学思想是对数学对象的本质认识,是对具体的数学概念、命题、规律、方法等的认识过程中提炼概括的基本观点和根本想法,对数学活动具有普遍的指导意义,是数学活动的指导思想;数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等。数学思想和数学方法有紧密的联系性。通常,在强调数学活动的指导思想时称数学思想,在强调具体操作过程时称数学方法。查阅中国期刊网,从1980年～2008年的全部期刊中,以“数学思想方法”为关键词进行精确匹配查询,共有5529条记录,它们阐述了数学思想方法概念的界定、数学思想方法的分类、数学思想方法的意义、数学思想方法的基本特征及其目标设置、数学思想方法教学的原则和教学基本途径等,而少有涉及其学习的问题。本文尝试从心理学的角度对数学思想方法学习的几个问题进行论述。

一、数学思想方法学习的心理过程

数学教学内容始终反映着两条线,即具体数学知识和数学思想方法。数学教材的每一章节乃至每一道题,都体现着这两条线的有机结合,没有脱离数学具体知识的数学思想方法,也没有不包含数学思想方法的具体数学知识。数学思想方法并不像一般的数学知识一样编排在某一章、某一节,而往往隐含在具体数学内容里,分散地体现在具体知识的发生、应用过程中。正是这种隐蔽性、分散性,决定了数学思想方法学习有着不同于一般数学知识学习的心理过程。心理过程,是指人的心理活动发生、发展的过程。在数学思想方法学习活动中,学生经历了什么样的心理过程是一个亟待解决的问题。

文献将数学思想方法的学习过程分为三个阶段:潜意识阶段、明朗化阶段、深刻化阶段。那么,数学思想方法学习的心理过程如何呢?下面结合文献提出的数学思想方法的学习过程予以分析。

在数学思想方法学习的潜意识阶段,学生往往只注意了数学学习中以外显的形式直接写在教材中的知识的学习,注意了知识的增长,而未曾注意到联结这些知识点的观点以及由此出发产生的解决问题的方法与策略,即使有所察觉,也是处于“朦朦胧胧”、“似有所悟”的境界。例如,学生学习用换元法解方程时,只是注意设未知数、换元、解换元后的方程等解题步骤,并把换元法当作解题步骤来模仿、记忆,而未能体会出换元思想是数学中常用的思想方法。在这一阶段,学生只是通过观察,把某一数学思想方法的操作作为解题步骤进行模仿、记忆,这事实上是对数学材料、数学活动中隐含的数学思想方法的“程序性知识”——“怎么办”的知识的运用进行的模仿。在此,我们容易知道,学生数学思想方法的获得首先是从获得“模糊的程序性知识”开始的,学生经历的心理过程是:模仿。

在学生接触过较多的数学问题之后,数学思想方法的学习从潜意识阶段逐渐过渡到明朗期,学生对数学思想方法的认识已经明朗,开始理解数学活动中所使用的探索方法与策略,也会概括、总结出来。例如,学生在方程问题、不等式问题、函数问题等某一类或几类问题的解决中,多次通过使用整式换元、根式换元、指数式换元、对数式换元、三角换元等换元技巧,从中获得了对换元法的一些初步认识,起先还只是伴随着具体问题的一些操作步骤,渐渐地体会到这些结合具体情境的产生式(换元过程)在结构上存在某些一致性(这是一种归纳),并在特定的问题情境中尝试换元技巧,检验、体会到其中的一致性,从而概括、总结出:换元法就是在解决数学问题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化。在这一阶段,学生对所学的数学思想方法形成了一定的理解,并初步形成了一个概念。相应地,数学思想方法的“程序性知识”变得清晰起来,并开始向“陈述性知识”转化,同时获得了一些“过程性知识”。学生经历的心理过程是:归纳、检验、概括。当然,这一阶段需要教师有目的地对数学思想方法进行教学,而且必须采用“化隐为显”的原则进行教学,因为一般的数学知识本身已经比较抽象难学,那么隐含在其背后的数学思想方法更是让学生难以自动发现并概括出来。

数学思想方法学习的深刻化阶段,是指深入理解与实际运用思想方法的阶段,即学生能依据题意,恰当运用某种思想方法进行探索,以求得问题的解决。这一阶段,既是进一步学习数学思想方法的阶段,也是实际运用数学思想方法的阶段。在这一阶段,随着学生把习得的数学思想方法运用到更广泛的不同类的问题解决中,建立了丰富的某种数学思想方法的表象,形成了对它更深刻的理解。此时,学生已经知道了什么条件下使用该思想方法,掌握了该思想方法更多的技巧、手段,具体的操作步骤被进一步地抽象、概括、升华,形成了该思想方法的图式,此时该数学思想方法被纳入学生的认知结构中,并可以以其为上位知识来进行下位知识的学习,以其为指导解决数学问题。如,对于换元法,通过在更广泛的不同类的问题解决中的运用,学生掌握了整式换元、根式换元、指数式换元、对数式换元、三角换元等换元技巧;知道它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用;明确使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取;知道换元的实质是转化,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.....,所有这些,使得原来初步概括出来的“换元法”精致化,并一同形成一个“换元法图式”,纳入学生的认知结构中,并在实际情境中,主动运用“换元法”解决问题。在这一阶段,数学思想方法的“程序性知识”转化为“陈述性知识”,既而又转化为“程序性知识”,“过程性知识”也丰富起来。学生经历的心理过程是:并入(即把所学的数学思想方法同认知结构中有关的起固定作用的观念联系起来,从而纳入认知结构)、分离(把思想方法从认知结构中分化出来运用于实际)。

通过以上分析可知,数学思想方法学习经历的是先过程后对象再过程的认知顺序,其心理过程为:模仿、归纳、检验、概括、并入(认知结构)、分离。

数学思想方法学习的这一心理过程,反映了学习者数学思想方法学习心理水平的发展,但在不同阶段,由于学习者的一般数学知识水平不同、元认知水平不同,所以决定了这一心理过程不是直线式地提高或发展的,而是一个分水平的、动态的、非线性的、反反复复的过程性发展。

二、数学思想方法学习的认知基础和心理机制

Ausubel曾经指出,从教育心理学最基本的原理看,“影响学习最重要的因素是学生已经知道了什么”。学习新知识以前,头脑里一定要具备与之有关的准备知识,并且这些知识形成的认知结构被调动起来,使其与新知识建立联系,否则就不会产生理解。按心理学的观点,理解知识最基本的机制是同化和顺应。同化是指个体将新的信息纳入到他已有的图式(认知结构)的过程,就像消化系统将营养物质吸收一样;顺应是指个体调节自己的已有图式(认知结构),以适应新的环境的过程。当个体接触新的环境信息时,首先会用已有的图式(认知结构)去同化它,如果成功,则丰富了相应图式的内涵,并得到暂时的平衡,如果已有的图式不能同化,个体便会作出顺应,直至达到认知上新的平衡。所以,数学思想方法的学习应该以该思想方法一定的认知结构为基础,这个基础就是与该思想方法有密切联系的知识、方法的图式以及图式之间内在联系的认知;而且数学思想方法学习的心理机制,就是以这些图式以及图式之间内在联系的认知为基础,通过对该思想方法进行同化和顺应,使原有的认知结构得以不断地重组、更新,从而促成数学思想方法的学习螺旋式的发展。