浅议中学数学解题的直觉思维及培养

孙瑞娟

传统的数学教学的最重要任务是要培养和发展学生的数学能力，其中又以培养和发展学生的逻辑思维能力为重点，以为“言必有理，步步有据”，过分追求形式上的严谨性和完美性，却忽略了实质性的理解。数学问题虽来源于丰富多彩的世界，却与现实中的具体事物有一定的距离，是对具体事物的高度抽象、高度概括，在得到初步结果之前，有一个发现、猜测、验证、创造、一般化的过程，数学直觉在其中起着很重要的作用。数学教师在抓基础知识、基本技能、基本训练的基础上，更要培养和提高学生的分析、解决问题能力以及直觉能力和实践应用能力，从而提高其创新能力。这样，当学生离开校门以后，数学教育作用于其头脑和心智的东西——所领会的数学思想和精神将影响其生活的方方面面。

一、数学直觉思维的含义

什么是数学直觉?田万海老师认为“是对于事物的一种迅速的识别，敏锐而深入的洞察，直接的本质理解和综合的整体判断”，“大体上是指对数学对象中隐含的整体性、次序性、和谐性的领悟，能够越过逻辑推理而做出种种预见的能力”。直觉思维是一种深层次的心理活动，没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作思考的背景。直觉思维可以帮助学生洞察数学本质、猜想数学结论、分析解题思路、简化思维过程、培育数学灵感、发现数学规律等，是高度纯熟的逻辑思维的产物，是数学发现中的关键因素，是逻辑的飞跃和升华。

二、数学直觉思维的主要特点

(1)直接性

“数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动，这种思维活动表现为对认识对象的直接领悟或洞察，这是直觉思维的本质特征。”由于人们在日常生活、工作与学习中经常要解决类似的问题，这些问题的反复出现以及解决它们所用的知识、方法和手段的反复使用，使解决此类问题的知识、方法和手段的联系加强，形成了一个兴奋中心。在遇到问题时，就能凭直觉迅速地辨认、转换及至确认，得出解决问题的方向或途径。直觉思维是一种相对独立的认识方式，虽然只是偶然出现，但它省去了一步一步分析推理的中间环节，采取了跳跃式的形式，是一瞬间的思想火花，是长期积累上的一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化。

例1：5个自然数，它们的和等于它们的积，求这5个自然数。

分析：通常按运算经验，5个自然数的积一般总大于它们的和。要使两者相等就必须缩小积的值，即多用几个较小的数。事实上，1+1+2+2+2=1×1×2×2×2，1+1+1+3+3=1×1×1×3×3，1+1+1+2+5=1×1×1×2×5。

(2)或然性

直觉思维是对问题整体上的把握，不专意于细节的精雕细琢，在形式上表现为筒约性，它的想象因丰富而灵活多样，因为不按常规的逻辑规则，虽然只是偶然出现，它的顿悟性有时超越其逻辑性，直觉判断可能是正确的，也可能是错误的。

例2：3，9，18，27，81按一定规律排列，从中找出多余的一个数，答案可以是3(按是否为合数分类)或81(按是否可以写成不超过10的3个整数之和分类)或3(按数码和是否为9分类)或18(按等比数列分类)……

三、数学直觉思维的培养

直觉不是靠“机遇”，直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识，必要的技能、技巧为基础，对事物能数学地抽象，能洞察事物的本质，有应用数学解决实际问题的意识。因此在教学中，以学生为主体，提供典型有效的背景材料，设置适当的教学情境，以“最近发展区”为定向，在思考的方向、方法及策略上加以适当点拨，促使学生“跳一跳摘果子”，激发求知欲。使他们看到自己在数学方面的长处，看到坚持不懈地努力的效果，增强他们的自信心和意志力，从而培养思维能力。

(1)重视整体分析，提倡块状思维

在解决数学问题时要教会学生从宏观上进行整体分析，摆脱它的外表特征、细节、具体的数字。以免拘泥于细节而失去终极目标。同时应理清关系，把握问题的基本结构、数学方法及基本类型，联想已解决的问题与待解决问题之间的相似之处，摆脱解题常规和思维定势的束缚。对于含有一定内容的一个或几个步骤，如果能用一个表征来代替，压缩成一个组块，就可以节省一个人的短期思维容量，来思考新的步骤，使整个推理环节得到全面的考虑，如定义、定理、法则、性质等。

(2)依靠直觉进行广泛猜想

任樟辉认为，“数学猜想是指依据已知的数学知识和已知事实(包括其他学科的)，对数学未知的量及其关系做出的猜测和判断”。猜想未被证明时就阿以使人感到它的合理性和极大的可能性，是一种科学的假说或假设。作为教师，尽可能阐明问题的来龙去脉，把解题的思维分析过程展示出来。指导猜想的方法：通过不完全归纳法，估算、逼近；由相似类比、归纳；变换条件，特殊化、极端化；逆向或悖向推导，通过观察与经验概括，物理或生物模拟。这些都要结合学生的知识水平和必要的知识准备，切忌生搬硬套。在教学过程中，注意从大处着眼，小处下手，特别是选择题、天空题、判断题等，让学生从中体验解题的乐趣。

例3：若100个连续自然数之和为S100，且13600

分析：这可用13700除以100为平均值，减去50后得出猜测，再用求和公式验算。

(3)强调数形结合，发展几何思维与类几何思维

数学形象直感是数学直觉思维的源泉之一，而数学的形象直感是一种几何直觉或空间观念的表现。许多代数公式具有一定的几何意义，许多三角公式本来就是从几何性质中抽象出来的。许多数学问题，可以事先通过对几何图像的观察，判断其答案的大致轮廓，便于及时纠错，调整思路。

(4)注意培养对于数学美的鉴赏能力

数学美是一种科学美，它体现在具有数学倾向的美的形式、美的内容和美的方法等各个方面，具有简单性、对称性、相似性、和谐性生与奇异性。因此，如果能用简单的观点、简化的方法对问题进行整体处理或实施分解、变换、降位、减元等转化的策略或通过补形造成对称，往往使问题得到解答。也可利用和谐性，将问题通过等价或不等价的转化。通过映射、分解、叠加等手段，使问题的条件和结论在新的协调的形式下相互沟通，构思奇异性，突破常规思维，在解题中能收到意料不到的作用。

(5)养成反思习惯

培养学生对自己的学习过程进行反思的习惯，提高学生的思维自我评价水平，这是提高学习效率、培养数学能力的行之有效的方法。当学生解决问题时，或多或少都会带有一定的“尝试错误”，作为教师，要求学生回顾解题的关键，改进表达方法，提炼其中的基本思想方法，完成再加工，将思维由个别推向一般，使思维的抽象程度不断提高，努力寻求解题的最佳方案，从而提高直觉思维能力。