在列方程、解方程和解决问题中学习方程

朱春雷

教学内容:苏教版小学数学教科书(六上)第1页的例1和“练一练”,“练习一”的第1～5题。

教学目标

1.使学生在解决实际问题的过程中,理解并掌握形如ax±b=c方程的解法,会列上述方程解决两步计算的实际问题。

2.使学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中,经历将现实问题抽象为方程的过程,进一步体会方程的思想方法及价值。

3.使学生在积极参与数学活动的过程中,养成独立思考、主动与他人合作交流、自觉检验等习惯。

教学重点:理解并掌握形如ax±b=c方程的解法,会列方程解决两步计算的实际问题。

教学难点:如何指导学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中,将现实问题抽象为方程。

教学过程

课前谈话导入:同学们,经调查,我们班大部分同学的年龄是12岁(虚岁),也可以通过推理推算出来,7岁入学,在学校学了五年,正好是12岁。老师今年是39岁,师在黑板上板书39和12。下面请同学比较一下老师和你的年龄,并用一句话把比较的结果说出来,注意启发引导学生说出:“老师的年龄比我年龄的3倍还多3岁”,“老师的年龄比我年龄的4倍少9岁”。两种说法都可以。接着问,明年呢?“老师的年龄比我年龄的3倍还多1岁”。

【设计意图】通过学生熟悉的年龄话题引入,并训练学生对两数大小比较,为新课分析数量关系作理解铺垫。把抽象的数量关系分析生活化,利于学生进入学习情境。

一、在现实问题情境中分析数量关系,列出方程,探索解方程的方法——教学例1

(一)在情境中分析数量关系,提出问题

1.师谈话进入情境:孙悟空跟随师父历尽千辛万苦从西天取来大量经书,藏在古城西安的大雁塔中。大雁塔和小雁塔是著名的古代建筑。(出示大雁塔和小雁塔的图片)这节课,我们先来研究一个与这两处建筑高度有关的数学问题。(出示例1的一部分“西安大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22米”,暂不出示所求的问题)

2.师让生读出这段文字并提问:谁比谁少22米?让学生明白“大雁塔高度和小雁塔高度的2倍比,少22米,可以把小雁塔高度的2倍看做一个整体。”

师进一步启发:这句话清楚地说明了大雁塔和小雁塔高度之间的关系,请同学们用数量关系式表示出大雁塔和小雁塔高度之间的相等关系。

出示学生可能想到的等量关系式:①小雁塔的高度×2-22=大雁塔的高度;②小雁塔的高度×2=大雁塔的高度+22;③小雁塔的高度×2-大雁塔的高度=22。

3.引导学生观察第一个等量关系式。师:经测量小雁塔高度是43米,你能利用这个关系式口答出大雁塔的高度吗?学生口答,师板书:2×43-22=64(米)。

【设计意图】运用数量关系直接求出高度,体会顺向思维。既感受数量关系的价值,又为下面的逆向思维作出对比准备,更重要的是让学生在下面列方程时也要像这样顺向思维进行思考。

4.师:如果知道大雁塔的高度是64米,你能提出什么问题?

生:小雁塔的高度是多少米?(出示“大雁塔高度是64米”和“小雁塔高度是多少米?”把例1补充完整。)

【设计意图】在清楚数量关系的基础上,学生已经把问题迁移到需要用逆向思维考虑解决的问题上。让学生自己提出问题,突出解决问题是学生自己的学习需求,也为他们探索解答作出心理准备。

(二)根据等量关系布列方程,同时唤起有关方程的旧知

1.生观察第一个等量关系式,师提问:在这个等量关系式中,这时哪个数量是已知的?哪个数量是我们去求的?

追问:让你求小雁塔的高度怎么办呢?我们可以用什么方法来解决这个问题?

生:可以列方程解答。如果学生列出正确的算式进行解答,师给予肯定,再引导学生用方程的方法解决问题。

师明确方法,并提示课题:这样的问题可以列方程来解答。今天我们继续学习列方程解决实际问题。(板书课题:列方程解决实际问题)

2.师谈话:我们在五年级已经学过列方程解决简单的实际问题,结合今天我们学习的内容,谁来说一说列方程解决实际问题一般要经过哪几个步骤?

生能大概说出“写设句、列方程、解方程和检验等即可。

3.让学生先自主尝试设未知数,并根据第一个等量关系式列出方程。

解:设小雁塔高x 米。

2x-22=64

【设计意图】经历由现实问题抽象为方程的过程。在建构数学模型的过程中,先由情境抽象成数量关系式,再根据数量关系式列出方程,实现了学生在逐步抽象的过程中学习数学的方法,体现了数学的简洁性和学习数学的必要性。

(三)自主探索解方程的方法,体会转化的思想

提问:这样的方程,你以前解过没有?运用以前学过的知识,你能解出这个方程吗?

交流中明确:首先要应用等式的性质将方程两边同时加上22,使方程变形为2x=?,即把用两步计算的方程转化为一步计算,变新知为旧知,再用以前学过的方法继续求解。

要求学生接着例题呈现的第一步继续解出这个方程。学生完成后,组织交流解方程的完整过程,核对求出的解,并提示学生进行检验,最后让学生写出答句。

【设计意图】让学生在自主探索方程解法的过程中,体会运用转化策略,把两步转化成一步、复杂转化成简单、新知转化成旧知。

(四)思考其他方法,感受解法的多样化

1.提问:还可以怎样列方程?

学生列出方程后,要求他们在小组内交流各自列出的方程,并说说列方程的根据,以及可以怎样解列出的方程。如果学生不能列出其他方程,师不能作硬性要求。

2.引导小结:刚才我们通过列方程解决了一个实际问题。你能说说列方程解决问题的大致步骤吗?其中哪些环节很重要?

引导学生关注:⑴要根据题目中的信息寻找等量关系,而且一般要找出最容易发现的等量关系;⑵分清等量关系中的已知量和未知量,用字母表示未知量并列方程;⑶解出方程后要及时进行检验。(师板书:找等量关系;用字母表示未知数并列方程;解方程,检验。)

【设计意图】通过解法的多样化,使学生明白可以根据自己学习实际和思维习惯分析数量关系,列方程解决问题,同时训练学生思维,拓展学生解决问题的思路。

二、自主尝试列方程解决实际问题,注意比较例题,进一步形成解决问题模式——自主合作学习“练一练”

“杭州湾大桥是目前世界上最长的跨海大桥,全长大约36千米,比香港青马大桥的16倍还长0.8千米。香港青马大桥全长大约多少千米?”

谈话:我们已经初步掌握列方程解决稍复杂的实际问题的方法和步骤,下面就请同学们试着解决一个实际问题。做“练一练”。

1.先让学生读题,并设想解决这一问题的方法和步骤,然后让学生独立完成。

2.小组合作交流。交流前要出示交流顺序提示:⑴说说找出了怎样的等量关系;⑵根据等量关系列出了怎样的方程;⑶是怎样解列出的方程的;⑷对求出的解有没有检验。

3.最后让学生核对自己的答案,检查自己的解题过程。

针对学生不同的思路和方法(包括用算术方法),教师在提出主导意见的基础上要予以肯定。

4.启发思考:这个问题与例1有什么相同的地方?有什么不同的地方?提炼出列方程解决稍复杂的实际问题的基本思路和解形如ax±b=c方程的一般方法。

【设计意图】让学生在独自解决问题的过程中学会解决问题,在探究中学会合作。

三、运用方程策略独立解决实际问题,牢固形成解决问题模式(建构牢固的数学模型)——做“练习一”的第1～5题

谈话:在列方程解决问题的过程中,有两个方面要引起我们重视,一个是寻找等量关系,能用含有字母的式子表示具体数量;另一个就是解方程。下面我们就对这两个方面进行进一步的学习和训练。

1.做“练习一”第1题

“解方程。4x+20=56 1.8+7x=3.9 5x-8.3=10.7”

先让学生说说解这些方程时,第一步要怎样做,依据是什么,然后让学生独立完成。交流反馈时,要在关注结果是否正确的同时,了解学生是否进行了检验。(三个同学到黑板上板演,其他同学选做一题。)

2.做“练习一”第2题

“在括号里填上含有字母的式子。

(1)张村果园有桃树x棵,梨树比桃树的3倍多15棵。梨树有()棵。

(2)王叔叔在鱼池里放养鲫鱼x尾,放养的鳊鱼比鲫鱼的4倍少80尾。放养鳊鱼()尾。

学生独立完成后,再要求学生说说写出的每个含有字母的式子分别表示哪个数量,是怎样想到写这样的式子的?(把题目中的多、少改成少、多让学生再表示)

3.做“练习一”第3题

“猎豹是世界上跑得最快的动物,时速能达到110千米,比猫最快时速的2倍还多20千米。猫的最快时速是多少千米?”

谈话:同学们,我们既能准确地找到等量关系,又能正确解方程,那么我们就具备了解决实际问题的能力了。就请同学们独立解决一个问题。

学生独立完成后,指名说说自己的思考过程,进一步突出要根据题中数量之间的相等关系列方程。

4.课堂作业:做“练习一”的第4题和第5题。

“北京故宫占地大约72公顷,比天安门广场的2倍少8公顷。天安门广场大约占地多少公顷?”

“世界上最小的鸟是蜂鸟,最大的鸟是鸵鸟。一个鸵鸟蛋长17.8厘米,比一只蜂鸟体长的3倍还多1厘米。这只蜂鸟体长多少厘米?”

【设计意图】在巩固训练和应用策略阶段采用先部分后整体的练习步骤,进一步深化认识,并在体验中达到知识和技能的内化。

四、总结列方程解决问题的思路、方法,体会方程的思想和价值——学生拓展设计

1.学生拓展设计

师:请同学们回到课前,我们师生关于年龄的对话中,看39岁和12岁,你能设计一个用今天所学的策略和方法解答的实际问题吗?

师要多听学生的发言,考虑学生所说数量之间的关系以及提出问题的贴切性并作出评价和概括。

2.今天这节课我们学习了什么内容?你有哪些收获?还有没有疑惑的地方?教师同时总结,方程是我们解决问题很重要的一个策略,正确地运用方程,能帮助我们解决很多实际问题,尤其是用算术方法不容易解决的一些问题。我相信同学们经过今天的学习,对方程会有更深的认识,并在以后的学习和运用中进一步学好和用好方程。

【设计意图】在照应课前学习和学生拓展运用的基础上,充分体会方程的思想和价值,把学生的认识进一步提升,对方程有较为全面的理解和掌握。