浅论数学悖论的积极意义

王新爱

摘 要： 数学悖论是指在当前的数学学科理论体系下由一些“正确”的事实或“可接受”的约定出发，经过严密正确的逻辑推理得到的矛盾的数学结论。它既具有极强的思辨品格，又具有浓厚的幽默色彩，对基础数学的发展起着重要的作用。本文通过揭示数学悖论的认识根源、思维特色，挖掘出数学悖论的积极意义，进而激发学生对数学探索的情趣。

关键词： 数学悖论 认识根源 思维特色 积极意义

数学常被视为严格、和谐、精确的学科，纵观数学发展史，数学发展从来不是完全直线式的，它的体系不是永远和谐的，而常常出现悖论。悖论（paradox）来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。这个词的意义比较丰富，是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则，推出了两个互相矛盾的结论。数学悖论在数学理论中的发展是一件严重的事，因为它直接导致了人们对相应理论的怀疑，对数学可靠性的动摇，甚至导致“数学危机”。它有三种主要形式：1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）；2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）；3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。

一、数学史中三个著名的悖论产生、消除及其历史意义

数学史上曾出现过三次关于数学悖论的提出和化解过程。一是“希帕索斯悖论”与第一次数学危机的化解。公元前五世纪，当人们对数的认识仅限于有理数范围时，古希腊的著名数学家和哲学家毕达哥拉斯提出了“万物皆数”的著名论断，其数学体现就是“一切现象均可表示为整数或整数之比”。此后该学派的成员希帕索斯提出了一个新问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少？他发现这一长度既不能用整数表示，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。“希帕索斯悖论”导致了数学史上第一个无理数的诞生，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论。“希帕索斯悖论”的消除是通过否定产生这一矛盾的前提“宇宙的一切现象都能归结为整数或整数之比”而完成的，它使希腊人从依靠直觉、经验转向依靠证明，不仅扩大了数域，而且带来了公理化方法数学学科向前发展。二是“贝克莱悖论”与第二次数学危机的化解。在十七世纪，微积分这一锐利无比的数学工具被牛顿、莱布尼兹各自独立发现，许许多多数学疑难问题便迎刃而解。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因此，从微积分诞生时就遭到了一些学者的反对与攻击，其中最猛烈的是英国大主教贝克莱。这一问题的提出在当时的数学界又引起新的大辩论，由此导致了第二次数学危机的产生。此后经过达朗贝尔、柯西、欧拉、康托尔等数学家历经100多年的不懈努力，重建微积分学基础，才结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的基本解决。在“贝克莱悖论”消除的过程中，数学家不是把“无穷小量”概念中所蕴含的朴素的辩证法因素连同其逻辑上的混乱一起抛掉，而是创立了一种更加自洽、更为严密的数学理论——极限理论作为微积分学的基础使微积分方法趋于完善，令人信服。三是“罗素悖论”与第三次数学危机的化解。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的。这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。这一悖论就像在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。1908年，策梅罗等建立了第一个公理化集合论体系——ZF系统，在很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。

数学史上由于“悖论”而导致的三次危机与解决过程中，尽管各种数学悖论产生的历史背景不同，表现形式各异，但它们都是某一数学理论原有体系中蕴藏着（逻辑）矛盾的反应。数学家在设法消除这些已被发现的矛盾的进程中更新了数学观念、完善了思维方法、推动了数学理论的发展，在更高的层次上实现了新的和谐统一与完善。因此数学悖论是促使数学理论不断追求和谐、不断趋于完善的一种重要的推动力，是给数学的发展带来新的生机和希望的火种，它对数学的发展具有积极的作用。故而广大数学工作者不应害怕、回避数学悖论，相反，应重视、研究数学悖论，充分使它发挥积极作用，不断地促使数学理论向更高更深的层次发展和完善。

二、数学悖论的思维特色

通过以上数学史中著名的三个数学悖论，以及其它数学悖论的研究和学习，我们对数学悖论的思维特色有以下三点认识。

首先，悖论是人们对客观事物的认识。希帕索斯悖论来源于对直角三角形的认识；贝克莱悖论是人们对有限和无限、存在和非存在两种对立概念认识的深化；罗素悖论是人们对集合集合内部矛盾的认识。因此，悖论决不是脱离客观实际的凭空想象，也不是客观事物的规律性在人脑中简单地移植，而是由主客体多次反复作用，认识达到高一级阶段主客体作用的结果。当人们试图以原有的理论和方法及逻辑去解释一些新的现象和规律时，就产生了认识和客体之间的冲突，反映到人的主观思维上，打乱了旧的思维层次，而新的思维不能同原有的知识合乎逻辑地联系起来，这样就产生了悖论。

其次，悖论常产生于某一学科新旧理论的结合部，反映了人们的思维从两个对立范围向辩证统一过渡。这无疑是思维方法的进步和飞跃。人们的思维也从抽象统一向具体统一升华，不再把有限和无限，存在和非存在看成非此即彼的两个对立概念，而用极限理论完成了有限到无限的跨越，用无穷小量完成了存在到非存在的跨越，从而使它们辩证地统一起来，进而上升为辩证的思维方式。

再次，悖论是新颖独到、创造性的思维活动，它既没有有效的方法和确定的规则可以直接利用，又没有人类以总结的科学理论为依据，显示了思维的智力品质的独创性。同时，我们还看到悖论形成的思维过程，不是循规蹈矩、人云亦云，而是独立思考，对旧的思维过程的批判和自我认识，显示了思维活动的批判性。

三、数学悖论在数学教学中的教育意义

数学悖论不仅存在于一些基础的重要的数学理论中，而且在我们身边、生活中不短缺。教师如果能够结合学校数学课程，把我们在生活中见到的数学悖论加以合理地处理，它们就可以成为数学课堂教学中的“本原性问题”。下面举两个例子予以说明。

例1：假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇。其中一扇后面有一辆车，其余两扇后面则是山羊。你选择了一扇门，假设是1号门，然后知道门后面有什么的主持人开启了另一扇后面有山羊的门，假设是3号门。然后他问你：“你想选择2号门吗？”那么，改变你的选择对你来说是一种优势吗？

这个问题源自美国电视娱乐节目“让我们做个交易”（Lets Make a Deal），后来被冠以节目主持人的名字“蒙提·霍尔悖论”。莎凡是吉尼斯世界纪录中智商最高的人，她对这一问题的解答是应该换，因为换了之后有2／3的概率赢得汽车，不换的话概率只有1／3。她的这一解答引来了大量读者信件，认为这个答案太荒唐了。有人说，如果这个解答代表了美国人的智力，那美国就没希望了。因为直觉告诉人们，既然参赛者是从三扇门中任选一扇，那么选中汽车的概率就是1／3，换另一扇门的话概率仍然是1／3。实际上，从数学上说，莎凡是对的。参赛者做出第一次选择时，会出现两种可能性：选到了山羊，或是选到了汽车。因为有两扇门背后都是山羊，所以参赛者选到山羊的概率是2／3；相应地，选到汽车的概率是1／3。此时，主持人打开了一扇背后是山羊的门，我们假设参赛者决定更改选择。那么，假如参赛者一开始选的是山羊（2／3的可能性），那么他就会换到汽车；假如参赛者一开始选的是汽车（1／3的可能性），他就会换到山羊。也就是说，参赛者更改自己的选择便会有2／3的概率获得汽车。教师从数学概率的视角讨论这个问题，可以帮助学生深刻认识到概率才是“生活的真正指南”，直觉固然重要，但并不像看上去那样可靠。

例2：譬如说，有两个互不相识的的人坐同一架飞机。二人对话：甲：“这么说，你是从波士顿来的啰！我的老朋友露茜·琼斯是那儿的律师。”乙：“这个世界是多么小啊！她是我妻子最好的朋友！这是不大可能的巧合吗？”

统计学家已经证明并非如此。很多人在碰到一位陌生人，尤其是在远离家乡的地方碰到一个生人，而发现他与自己有一个共同的朋友时，他们都会感到非常惊讶。在麻省理工学院，由伊西尔领导的一组社会科学家对这个“小世界悖论”作了研究。他们发现，如果在美国任选两个人，平均每个人认识大约1000个人。这时，这两个人彼此认识的概率大约是1/100000，而他们有一个共同的朋友的概率却急剧升高到1/100。而他们可由一连串熟人居间联系（如上面例举的二人）的概率实际上高于百分之九十九。换言之，如果布朗和史密斯是在美国任意选出的两个人，上面的结论就表示：一个认识布朗的人，几乎肯定认识一个史密斯熟识的人。通过这个例子的学习，可以帮助学生清楚地认识到两个陌生人在离家很远的地方相遇而有着共同的熟人就不足为怪了。这种关系网络还可解释很多其他不寻常的统计学现象，例如流言蜚语和耸人听闻的消息不胫而走，一条可靠的情报也在料想不到的短时间里就为很多人知道了。

由此可见，教师研究一些悖论，教一点悖论是很有必要的事。数学少不了悖论，数学公理系统没有悖论就不是完备的，我们不是去容忍悖论而是去消除悖论，在消除悖论的过程中提高认知水平。数学教学中常常因为悖论的思考复杂性而弃置不用，笔者相信悖论的使用不仅不会增加难度，反而会使问题更富趣味性和研究性，更有利于激发学生对数学学习的兴趣；有利于向学生介绍重要的数学思路；有利于开发丰富多彩的数学学习活动；有利于帮助学生洞察数学问题的解题过程；有利于培养学生辩证的、开创性的、批判性的思维方式；有利于提高学生对现代数学所具有的美妙、多样，甚至幽默性质的鉴赏力。从这个意义上说，没有悖论的数学学习是危险的，没有悖论思想的数学教学是苍白的。数学家同时也是悖论大师，悖论不是目的，以悖论为手段学会创新才是目标。

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