汤母的拼图

林　革

汤姆是个爱动脑筋的人，他擅长数学解题自在情理之中。不过，要是跟他的邻居玛丽比起来，恐怕还要稍逊一筹，因为玛丽的思维更为敏捷和全面，甚至还会延伸思考，让人不得不服，至少汤姆是这么认为的。你要是不相信，那就看看前两天发生在汤姆身上“拼图”事件的经过吧！

那一天，汤姆在阳台上翻阅一本名叫《令人意想不到》的趣味数学书，看到这样一个问题：你能用1～10这10个自然数组成5个不同的乘法算式，并使5个算式相加之和为121吗？并请思考和总结这道题令人意想不到的地方。汤姆来了兴致，放下书开始躺在摇椅上动起了脑筋，只一会儿，汤姆就蹦了起来，在草稿纸上写出了一个算式：1×6+2×10+3×9+4×7+5×8＝121。

得到答案后，汤姆非常开心，便躺在摇椅上伸起了懒腰，心想这个趣味算题没多少难度嘛！可转念一想问题后面的那番话，他又觉得问题并没有结束，是不是还有什么玄机呢？汤姆开始思考刚才得到的算式，当他扫描到计算结果时，突然发现，121是个特殊的数，它是１１的平方，而11的平方表示的是边长为１１的正方形面积。类似考虑的话，前面的5个乘法算式表示的是5个长方形的面积，那么这个等式的几何意义就是：用这5个长方形可以拼成边长为11的正方形。接下来的问题是：怎么拼图呢?兴奋不已的汤姆立即动手试验，果然很快就拼出了这样的正方形（如图1）。

汤姆非常得意，于是兴冲冲来到玛丽家要露一手。可当他眉飞色舞准备炫耀时，玛丽却显得有些不以为然：“这个问题我也见过，我得出的算式与你不同，是：1×9+2×8+3×6+4×7+5×10=121，而且我早已想到了拼图的事，瞧，这是我拼成的正方形!”（如图2）面对玛丽不假思索给出的另一种答案和拼图，汤姆目瞪口呆。玛丽又说：“我经过思考，确认了仍然用这10个数组成5个乘法算式，相加之和还可以等于169，当然也能用这5个长方形拼成一个边长为13的正方形。你不妨试试。” 汤姆一时被难住了，于是他回到家中反复琢磨，终于得出了正确的结果。想知道汤姆的解答思路吗?还是让汤姆告诉你吧：

事实上，因为前提条件不变，所以我们只要把169与121进行比较，可知需要在121的基础上变化，使之结果再增加169－121＝48即可。有了这个大致的范围，容易想到先把上面玛丽写的算式中的第一个乘式中的9与第二个乘式中的2交换，则这两个积的结果就增加了（1×2+9×8）－（1×9+2×8）＝74-25＝49，这比预计的48还多1，因此可以考虑变化后面的两个乘式，使得到的结果比原先结果少1。不难看出，3×６+4×７表示的是６个3和７个4，只要调换６和７，那么得到的3×７+4×６表示的是７个3和６个4，刚好减少1，因此可以写出符合要求的算式为：1×2+9×8+3×7+4×6+5×10=2+72+21+24+50＝169。有了这个结果，再参考上面的两个图形，就不难拼出所求的正方形了（如图３）。