关于“竖直上抛运动”的两个证明

赵亚兵

摘要：本文从竖直上抛运动问题的两种解决方法——整体法和分阶段法出发，探讨了整体法和分阶段法的关系，即二者是统一的，并且前者是后者的概括和提高；竖直上抛运动的上升和下降阶段具有对称性。

关键词：竖直上抛运动；整体法；分阶段法

中图分类号：G633.7 文献标识码：A文章编号：1003-6148(2009)5(S)-0074-2

分阶段法和整体法是解决竖直上抛运动的常用方法，运动阶段的对称性是典型的运动特征［1］ 。在教学中发现学生对整体法的认识和接受比分阶段法要难，对特殊位置的对称性容易理解，但对整个运动阶段的对称性存在质疑，为此笔者整理出关于以上问题的两个证明。

1 整体法和分阶段法二者是统一的，并且前者是后者的概括和提高 ［2］

1.1 整体法

物体以一定的初速度沿竖直方向向上抛出，在忽略空气阻力的情况下所做的运动叫竖直上抛运动。由于整个过程所受外力（重力）恒定，故加速度恒定，物体做匀变速直线运动。选抛出点为坐标原点，竖直向上的方向为正方向，并取抛出时刻为计时起点，则a=-g(负号表示方向与设定的正方向相反，即竖直向下),基本运动规律满足：v=v_O-gt；x=v_Ot-12gt2

其中t是从抛出物体开始计时的时间，x是物体在所建立的坐标系中的坐标，或物体对抛出点（坐标原点）的位移。以上规律对竖直上抛运动的整个过程都适用，并由此不难得出相应的特征量，即上升时间t上=v_Og，上升的最大高度h﹎ax=v_O22g，落回抛出点的速度v=-v_O。

1.2 分阶段法

竖直上抛运动的物体在上升过程中，速度越来越小，加速度方向跟速度方向相反。当速度减小到零时，物体上升达到最大高度，然后物体从这个高度自由下落，速度越来越大，加速度方向跟速度方向相同。不难把整个过程分为上升和下降两个阶段来分析：

上升阶段（取竖直向上方向为正方向）：

v1=v_O-gt1，x1=v_Ot1-12gt21；

下降阶段（取竖直向下方向为正方向）：

v2=gt2，x2=12gt22。

其中t1是从抛出物体开始上升到最大高度前某一位置的时间，t2是从最大高度下落到某一位置的时间，x1是物体上升阶段在所建立的坐标系（以抛出点为坐标原点，竖直向上的方向为正方向）中的坐标，x2是物体下降阶段在所建立的坐标系（以最高点为坐标原点，竖直向下的方向为正方向）中的坐标(如图1所示)。

1.3 整体法与分阶段法二者关系的证明

统一选抛出点为坐标原点，竖直向上的方向为正方向，并取抛出时刻为计时起点，分别通过整体法和分阶段法求出物体经最高点落在P点时的位移x ，如图1所示。

整体法：x=v_Ot-12gt2

分阶段法：

上升阶段：到最高点时，h﹎ax=v202g，t=v_Og

下降阶段：t＞v_Og,且存在t=v_Og+t2，由上图得到，x=h﹎ax-x2=v202g-12gt22，代入t2=t-v_Og得，x=v_Ot-12gt2，与整体法的公式一致，关系得证。

这说明整体法的确是分阶段法的概括和提高，并且有助于学生深入理解匀变速直线运动，增强对数学表达规律的分析能力。

2 竖直上抛运动的上升和下降阶段具有对称性

2.1 特殊位置的对称性

结合对整个竖直上抛运动的认识，不难得出以下特征量：

（1）上升到最大高度的距离和从最大高度处落回抛出点的距离相等，即

h上=h下=h﹎ax=v202g。

（2）落回抛出点的速度v=-v_O；

（3）上升到最大高度处所用时间t上和从最大高度处落回原抛出点所用时间t下相等，即

t上=t下=v_Og；

分析了特殊位置的对称性后，可以在前面两种方法的基础上证明上升和下降整个阶段都存在对称性。

2.2 上升和下降阶段具有对称性的证明

如图2所示，在距抛出点之上相同位置x处，设上升阶段通过此位置速度为v1 ，历时T，下降阶段通过此位置速度为v2,从抛出点出发经最高点通过此位置历时T′，根据整体法规律：x=v_Ot-12at2，可以看作是关于时间t的一元二次方程，由求根公式解得T=v_O-v20-2gxg，T′=v_O+v20-2gxg，

由于x≤v202g，所以v20-2gx≥0，T、T′均存在。

根据分阶段法规律：v1=v_O-gt1，v2=gt2，并且t1=T，t2=T′-v_Og，代入T、T′整理，

v1=v_O-gT=v_O-gv_O-v20-2gxg

=v20-2gx；

v2=g(T′-v_Og)=g(v_O+v20-2gxg-v_Og)

=v20-2gx；

可得，v1=v2，考虑到方向显然有v1=-v2，因为该位置处上升和下降阶段加速度始终相同，根据加速度定义式a=v_t-v_Ot，不难看出v1-v_Ot=v-v2t′(t为物体从抛出点上升到此位置所需时间，t′为从此位置降落到抛出点所用时间），因为v=-v_O，v1=-v2，所以v1-v_O=v-v2，那么就可以得到t=t′。由于位置x是抛出点之上任意位置，便可证明整个运动阶段都有此关系，于是竖直上抛运动的上升和下降阶段的确具有对称性就不难解释了。

参考文献：

［1］龙义芳.竖直上抛运动的特征及应用［J］.中学理科.2000，(7):27.

［2］缪钟英，罗启慧.力学问题讨论［M］.北京：人民教育出版社,2003 :98.

(栏目编辑张正严)