特殊方法在直流电路问题中的应用

何天瑜

在直流电路问题中，同学们常因电路看起来复杂而感到无从下手；或在电路具有某种对称性时，又不知对称条件该如何运用。有时题目要求对电路问题作快速、定性分析或近似处理，在采用等效代换或一些特殊方法时，又常因忽视了适用条件而出现错误，这些均涉及直流电路问题中特殊方法的应用。下面我们结合实例逐一进行讨论。

一、极限法

这种方法常用于对动态变化的直流电路的分析。

例如图1所示电路，当可变电阻R变大时，AB间的电压U与流过R的电流I的变化情况是（）

A. U增大 B. U减小 C. I增大

D. I减小 E. I不变

解这是一道需快速、准确回答的定性分析题，常用如下几种方法：

1. 计算法

本题R、R、E、r不变，可解出I 随R的变化，从而再解出U。

I=

I=I=•

=

U=IR=

显然，随着R增大，I减小，U增大，正确答案为A和D。这种方法的特点是准确，但是步骤多，不够快捷。对于只要定性回答的问题，还可以用更加简单的方法。

2. 理想设定法

可先假设电源内阻r=0，此时E=U一定，于是，各量变化的关系为

R↑→R↑→I↓→U↓→U↑→I↑→I↓

同样可以得出与计算法相同的结果。然而，这种方法相当于给原题附加了限制条件，是否影响了对结果判断的正确性，还需进一步讨论。

3. 极限法

这是此类问题常采用的方法。设想R变化到两种极限情况，即短路和断路情况。

当R短路时，R=0，I=I=，U=0

当R断路时，R→∞，I=0，U=E

于是得出R变大时，I减小，U增大的结论。显然，极限法能较快地得到结果。但是，应该看到，极限法的运用是有条件的，它只适用于I和U随R的变化呈单调变化的情况。

二、等电位点的断路或短路法

当电路具有某种对称结构时，常能找出等电位点，采用断路或短路处理，不会对原来电路产生任何影响，由此可以简化电路的计算。

例用12段电阻均为r的导线连接成立方框网络，如图2所示。在某一个边线ad的两端加数值为U的恒定电压，求最远对边fg上的电流？

解如果不用特殊方法简化，本题必须采用基尔霍夫方程法，未知数很多，解起来也很繁杂。稍加分析，可以看出此电路中b、e以及c、h为两组等电位点，也就是说b与e以及c与h分别相对于a及d具有完全相同的地位，必然是等电位。将等电位b、e以及c、h短接，等效电路如图3所示。由于简化后的串并联关系很清楚，很容易计算出电路总电阻为r，总电流I=，而流过fg支路的电流为。

按上述方法，还可以依次采用短路法计算出立方框某一面对角点，如a、h两点间的等效电阻R；立方框两对角间，如a、g两点间的等效电阻R。将简化方法，等效电路及等效电阻列表如下：

三、电流分布法与叠加原理

设电流I从网络A端流入，B端流出。应用电流分流和网络中任意两点间不同路径等电压的关系，建立的网络中各电阻的电流为未知量的线性代数方程组，解出各电流与I的比例关系，然后选取A到B的某一路径计算出A、B间的电压U，再由R=算得R。

例1图4所示表示一个无穷方格电阻丝网络的一部分，其中每一小段电阻丝的电阻均为r，求相邻两结点A、B之间的等效电阻RAB 。

解设电流I从A流入，向四面八方流到无穷远处，根据对称性，有电流由A点流到B点。假设电流I经过无限长时间稳定后再由四面八方汇集到B点后流出，根据对称性，同样有电流经A点流到B点。这样，AB段的电流便由两个叠加而成，这样U=0.5I•r=I•R，即R=0.5r。

例2电阻丝网络如图5（a）所示，每一小段的电阻均为r，求AB间的等效电阻R 。

解图5（b）中，电流I从A流入，O流出，I′=。又因对称性，B、E等势，故BDE中无电流，I′在C点分流，由并联电流分流规律可得I′=I′=。

图5（c）中，电流从O流入，B流出。利用对称性得I″=，I″=I。

上述两种电流分布叠加，构成如图5（d）所示网络，电流I从A流入，从B流出，则

I=I′+I″=I，I=I′+I″=，U=I•r+I•2r=I•r

即R==r。

四、切割法

许多文献都涉及关于无限网络的计算问题，例如无限延伸的梯形网络，处理方法与讨论的角度常有不同，下面对一种常用的切割法加以讨论。

例如图6所示的电路网络，每个阻值为R的电阻组成向一端无限延伸的梯形网络。求端口AB间的等效电阻。

解一般的思路是先设想网络为有限长，例如节数n有限时，设法找到R的通项公式，然后取n→∞的极限找到解。这样做看似容易，实际比较复杂。为了找到更为简单的方法，显然应从梯形网络的无限延伸特征入手。试在图中的C、D两点作假想切割，这一切割并非把电路切断，而是将其分成两部分来观察。于是无限梯形电路的端口等效电阻R=R将可以被看作R与R电阻的并联R与两个R的串联，即

R=2R+R=2R+

根据无限长电路的特征，截去一节的端口电阻R应与未截时的端口电阻R相差无几，即有R=R

于是有R=R=2R+=2R+，很容易地得出R=R=（1±）R

舍去不合理的负值解，得到R=（1+）R

可见，采用切割法，再利用无限电路的特征，很容易地应用串并联关系找到问题的解。这种做法绕开了求R通项公式，只使用了简单的数学运算就达到了目的，起到了非常好的效果。