浅谈中国数学发展之进程

刘 品

摘要:中国是人类数学最早的发源地之一。在古代世界四大文明中,中国数学有着光辉的历史,它所持续的繁荣时期也是最为长久的。中国古代在数学方面的许多领域内都取得了辉煌的成就,曾处于世界遥遥领先的地位。本文主要论述中国古代数学的发展史,着重介绍中国古代数学各个时期的发展情况,略带介绍近现代数学的发展。

关键词:中国;古代数学;发展

一、 中国古代数学的起源、发展与衰退

我国数学的早期萌芽与原始社会的形成紧密相连,当时人们的各种实践活动和智力的发展促使了数学的发生。数概念的起源是我国数学起源的开始,可追溯到原始社会。私有制和货物交换的产生,使数与形的概念有了发展。在出土的仰韶文化时期的陶器上面,已刻有表示1、2、3、4的符号,标志文字符号取代结绳记事了。商中期,据《易·系辞》记载:“上古结绳而治,后世圣人易之以书契”。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字,从一到十,百、千、万是专用的记数文字。与此同时,殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期;在周代,又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示8种事物发展为六十四卦,表示64种事物。春秋战国之际,筹算已得到普遍应用。用算筹记数,有纵、横两种方式。表示一个多位数字时,采用十进位值制,各位值的数目从左到右排列,纵横相间,并以空位表示零。这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的,使得这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用。这时期,对于图形也有许多定义与使用,如:半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方,确定平直,人们创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载,夏禹治水时已使用了这些工具。公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法,并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。

《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从9岁开始便要学习数目和记数方法,他们要受礼、乐、射、御、书、数的训练,作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。

战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展,尤其是对于证明和一些命题的争论直接与数学有关,一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。如《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题,例如:圆,“圆,一中同长也”;平,“平,同高也”;方、直、次(相切)、端(点)等等,也给出了数学定义。《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题,强调抽象的数学思想。名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列,墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论,对中国古代数学理论的发展是很有意义的。

秦汉是封建社会的上升时期,经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系在这个时期正式形成,数学方面的书籍陆续出现。如:汉简《算数书》,成书年代于公元前186年。《周髀算经》,西汉末年编撰。在数学方面的主要贡献有两项:(1)提出勾股定理的特例及普遍形式;(2)测太阳高、远的陈子测日法,是后来重差术(勾股测量法)的先驱。此外,还有较复杂的开方问题和分数运算等。还有《九章算术》,是战国、秦、汉数学发展的总结,是经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作,成书大约在东汉初年。全书采用问题集的形式编写,共收集了246个问题及其解法,分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。在代数方面,《方程》章中引入负数概念及正负数加减法法则。它采用按类分章的数学问题集的形式,算式都是从筹算记数法发展起来的;以算术、代数为主,很少涉及图形性质;重视应用,缺乏理论阐述等。《九章算术》中的数学概念在世界数学史上遥遥领先,对世界数学的进展起到了促进作用。

进入魏晋时期,中国数学在理论上有了较大的发展。三国吴人赵爽注《周髀算经》,在《周髀算经》书中补充“勾股圆方图及注”和“日高图及注”,他是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。汉末魏初徐岳撰《九章算术》注,魏末晋初刘徽撰《九章算术》注,继承和发展了战国时期名家和墨家的思想,对数学名词及重要的数学概念给以严格的定义,认为对数学知识必须进行“析理”,才能使数学著作简明严密,利于读者。创造割圆术,利用极限的思想证明圆的面积公式,并首次用理论的方法算得圆周率为157/50和3927/1250。还用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为2:1,解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时,刘徽为彻底解决球的体积指出了正确途径。他们的工作,被认为是中国古代数学理论体系的开端。

而祖冲之父子在刘徽注《九章算术》的基础上,把传统数学大大向前推进了一步。据推测,祖冲之在刘徽割圆术的基础上,算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积,他又用新的方法得到圆周率两个分数值,即约率22/7和密率355/113。祖冲之这一工作,使中国在圆周率计算方面,比西方领先约一千年之久。祖冲之之子总结了刘徽的有关工作,提出“幂势既同则积不容异”,即等高的两立体,若其任意高处的水平截面积相等,则这两立体体积相等。这个公理,解决了刘徽尚未解决的球体积公式。

隋唐时期,隋炀帝好大喜功,大兴土木,客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的《缉古算经》,主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题,反映了这个时期数学的情况。656年国子监设立算学馆,设有算学博士和助教,学生30人,由太史令李淳风等人编纂注释《算经十书》,作为算学馆学生用的课本。李淳风等编纂的《算经十书》,对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的。

从11～14世纪约300年期间,筹算数学达到极盛,中国古代数学空前繁荣,硕果累累。这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作。如贾宪的《黄帝九章算法细草》实现了从开平方、开立方到四次以上的开方,这在认识上是一个飞跃。杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪“增乘开平方法”“增乘开立方法”;根据记录可以确定贾宪已发现二项系数表,创造了增乘开方法。这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响,其中贾宪三角比西方的帕斯卡三角形早提出六百多年。刘益的《议古根源》,得到了增乘开方法推广到数字高次方程(包括系数为负的情形)解法,秦九韶的《数书九章》,是高次方程解法的集大成者,在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程(最高次数为10)的问题。在求根的第二位数时,秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第二位数的试除法,这比西方最早的霍纳方法早五百多年。李冶著有《测圆海镜》和《益古演段》,《测圆海镜》是现存最早的天元术著作。(中国数学史上首次引入符号,用天元(相当于x)作为未知数符号,立出高次方程,并用符号运算来解决,古代称之为天元术。)他也对勾股容圆问题进行了详细研究,得到9个容圆公式,大大丰富了中国古代几何学的内容。杨辉著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》,《杨辉算法》中“田亩比类乘除捷法”卷,介绍了原书中22个二次方程和1个四次方程,是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组,是宋元数学家的一项杰出创造,对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的《四元玉鉴》。朱世杰的四元高次联立方程组表示法是在天元术的基础上发展起来的,他把常数放在中央,四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上,其他各项放在四个象限中。朱世杰的最大贡献是提出四元消元法,这是线性方法组解法的重大发展,比西方同类方法早四百多年。在《算学启蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法,补充了《九章算术》的不足。

在宋元时期,中国古代计算技术出现改革。从宋元明的历史文献中可看到,实用算术书目数量远比唐代为多,改革的主要内容仍是乘除法。与算法改革的同时,穿珠算盘在北宋可能已出现。元代完成了珠算的算法和口诀。

从十四世纪中叶明王朝建立到明末的1582年,中国传统数学的发展出现了停滞的现象,甚至在走向衰落,数学除珠算外出现全面衰弱的局面。在这期间,中国数学非但没有充分发展,连古代数学成就都难以为继,几近失传。明代珠算普及,出现了许多珠算读本,及至程大位的《直指算法统宗》[1592]问世,珠算理论已成系统,标志着从筹算到珠算转变的完成。但由于珠算流行,筹算几乎绝迹,建立在筹算基础上的古代数学也逐渐失传,使中国的数学出现长期停滞。还有许多其他原因,使中国数学开始落后于西方。

二、 中国近现代数学及西方数学对中国数学的影响

中国近现代数学开始于清末民初的留学活动。留学生们回国后成为著名数学家和数学教育家,为中国近现代数学发展作出重要贡献,推动了各地大学数学教育发展。北京大学1912年成立时建立数学系,到1932年,各地已有32所大学设立了数学系或数理系。1930年,熊庆来在清华大学首创数学研究部,开始招收研究生,陈省身、吴大任成为国内最早的数学研究生。上世纪30年代出国学习数学的还有江泽涵、陈省身、华罗庚等人,他们都成为中国现代数学发展的骨干力量。同时,外国数学家也有来华讲学的。1936年,《中国数学会学报》和《数学杂志》相继问世,这些标志着中国现代数学研究的进一步发展。在分析学方面、数论与代数方面、几何与拓扑学方面、概率论与数理统计方面取得了许多成果。新中国成立后,数学研究取得长足进步。上世纪50年代初期出版了华罗庚的《堆栈素数论》、苏步青的《射影曲线概论》、陈建功的《直角函数级数的和》和李俨的《中算史论丛》5集等专著。除了在数论、代数、几何、拓扑、函数论、概率论与数理统计、数学史等学科继续取得新成果外,还在微分方程、计算技术、运筹学、数理逻辑与数学基础等分支有所突破,有许多论著达到世界先进水平,同时培养和成长起一大批优秀数学家。1973年,陈景润在《中国科学》上发表《大偶数表示为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》的论文,在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就。此外,中国数学家在函数论、马尔可夫过程、概率应用、运筹学、优选法等方面也有一定创见。中国的近代数学,受外国影响很大。1582年,意大利传教士利玛窦来到中国,先后与徐光启翻译了《几何原本》前六卷、《测量法义》一卷,与李之藻编译《圜容较义》和《同文算指》。1629年,在徐光启主持下,编译《崇祯历书》137卷。《崇祯历书》主要是介绍欧洲天文学家第谷的地心学说。作为这一学说的数学基础,希腊的几何学、纳皮尔算筹、伽利略比例规等计算工具,也同时被介绍进来。在传入的数学中,影响最大的是《几何原本》。《几何原本》是中国第一部数学翻译著作,绝大部分数学名词都是首创,其中许多至今仍在沿用。它成为明清两代数学家必读的数学书,对他们的研究工作颇有影响。三角学也在这时被介绍到中国,如《大测》《割圆八线表》和《测量全义》。随后在1646年,波兰传教士穆尼阁来华,跟随他学习西方科学的有薛凤祚、方中通等。薛凤祚据其所学,编成《历学会通》,想把中法西法融会贯通起来。1840年鸦片战争以后,西方近代数学开始大量传入中国。首先是英人在上海设立墨海书馆,介绍西方数学。第二次鸦片战争后,曾国藩、李鸿章等官僚集团开展“洋务运动”,也主张介绍和学习西方数学,组织翻译了一批近代数学著作,促进了西方数学在我国推广与应用。戊戌变法以后,各地兴办新法学校,组织翻译的近代数学著作便成为主要教科书。在翻译西方数学著作的同时,中国学者也进行一些研究,写出一些著作,如:李善兰的《尖锥变法解》《考数根法》,夏弯翔的《洞方术图解》《致曲术》《致曲图解》等等,都是会通中西学术思想的研究成果。

由于输入的近代数学需要一个消化吸收的过程,加上清末统治者十分腐败,在太平天国运动的冲击下,在帝国主义列强的掠夺下,焦头烂额,无暇顾及数学研究,所以,直到1919年五四运动以后,中国近代数学的研究才真正开始。

参考文献:

[1]李迪.中国数学史简编[M].沈阳:辽宁人民出版社,1984.

[2]钱宝琮.中国数学史[M].北京:北京科学出版社,1966.

(曲阜师范大学运筹与管理学院)