试论数学建模竞赛与数学模型方法

吝维军

[摘要] 数学提供给人类的不仅仅是现成的知识和工具,更重要的是提供给人类的思想和方法。本文论述了数学建模竞赛与数学模型方法的关系。 数学建模竞赛是数学模型方法应用的平台,数学模型方法的恰当应用推动数学建模竞赛的有序展开。

[关键词] 数学 数学建模竞赛 数学模型方法 学生

数学提供给人类的不仅仅是现成的知识和工具,更重要的是提供给人类的思想和方法。在数学方法中,从宏观层面上看具有典型数学特征、影响和作用最大的是公理化方法和数学模型方法以及随机思想方法。

“数学模型方法”(Mathematical Model Method)简称MM方法,它不仅是处理数学理论问题的一种经典方法,而且也是处理科技领域中各种实际问题的一般数学方法。

一般认为,模型是指所研究对象或者事物的有关性质的一种模拟物。同一研究对象,为了不同的目的,可以有许多不同的模型。每个模型的特征由构造模型的目的决定。模型可以分成形象模型和抽象模型。形象模型包括直观模型、物理模型等,抽象模型包括思维模型、符号模型、数学模型等。数学模型乃是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系,采用形式化数学语言,概括地或近似地表述出来的一种数学结构。

数学模型方法,它是根据研究的目的将研究的某种事物系统,采用数学形式化语言把该系统的特征和数量关系,抽象出数学模型,通过对数学模型的研究,使实际问题得以解决的一种数学方法。

一、数学建模竞赛是数学模型方法应用的平台

1.建模竞赛的宗旨体现着数学模型方法的应用

数学模型方法作为解决实际问题的一种模式, 它突出地表现了原始问题的数学加工过程及数学模型的选择、分析过程,模型的求解、再分析、再求解的迭代过程。

数学建模竞赛的是将实际问题作为赛题, 这些问题没有现成的求解公式和方法, 学生们必须根据题意, 提出合理的假设, 综合利用自己所学的数学理论和方法,综合分析、建立数学模型, 然后设计出计算方法并利用计算机将问题进行求解。

由于赛题都是从工程技术及管理工作中提炼出来的具体课题(有些经过适当的简化和剪裁, 以适应竞赛者的数学水平和计算量),参赛中首先从量和型多个侧面去考察实际问题,尽可能通过抽象、简化,确定出主要的参量、参数,应用与各学科有关的定律、原理建立起它们之间的某种关系,即将具体问题数学化(模型的建立),其次利用所学的各种数学知识、借助各种资源(文献、网络、计算机等)求解问题,最后分析结果的正确性、合理性,若有必要再次修正并求解模型。

数学建模竞赛是对实际问题的求解,它完整地表现了学数学和用数学的关系,是数学模型方法的具体运用。

2.建模竞赛的方式使数学模型方法的应用成为可能

数模竞赛方式是开放式的,参赛者在三天之内可以借助于任何资源,不仅可以查阅任何书籍, 期刊资料, 而且可以使用各种计算机。近年来,计算机技术的飞速发展促进了人们运算能力的迅速提高,改进了人们观察问题的方式和方法,许多原来无法实现的模型化方法如今已变得切实可行。

数学建模竞赛的赛题来源于实际,有的用数学模型来量化表示较为困难,竞赛过程中可利用计算机模拟,根据实际问题特性,按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行状况,并依据大量模拟结果对系统或过程进行定量分析。反过来,若数学模型在某种意义下描述了对象内在特性的数量关系,已得到了解析形式的解,推广而利用计算机模拟则完全模仿对象的实际演变过程,验证解的正确性

模型的求解很多的情况下涉及到大量的计算,以至于模型的求解很难实现。众所周知,计算机以其飞快的计算速度, 惊人的准确性使过去由于计算量太大, 无法进行数学计算的问题具有解决的可能。Mthematica、Matlab、Lingo等专用软件包的出现,使得用数学方法处理各种复杂变量的能力大大提高。竞赛试题的求解体现的这些软件包的综合应用。

二、数学模型方法的应用推动了数学建模竞赛的有序展开

1.数学建模课程的开设普及了数学模型方法的应用

数学建模竞赛活动的开展有其鲜明的时代背景,是对我们传统教学(只重视知识的传授)的一个冲击,适应了新形式下培养应用型人才的需求。在高等学校理工科人才的培养中,完全有必要把培养学生运用数学建模解决实际问题的意识, 学习和掌握数学建模的方法和技能作为提高大学生综合素质的一项重要内容。 为实现这一目标, 各高校相继开设了数学实验和数学建模等课程,较为系统地介绍数学模型方法,围绕着具体的实例从模型的准备、模型的假设、模型的构成、模型的求解、模型的分析讲解并实践数学模型方法。

数学建模课程的开设,丰富和完善了数学模型方法的内容。课程的开设从早期的具体模型的讲解逐步过渡到建模方法的归类、提炼,将常用的数学模型概括为:初等模型、代数模型、微积分模型、数值分析法建模、常微分方程模型、差分方程模型、优化模型、随机数学模型等,这些系统的建模方法极大地丰富了数学模型方法的内容。

数学建模等课程的开设,使广大同学在大学其间接受较为系统的数学模型方法的训练,为学生掌握这一解决应用问题的方法提供了平台,进而普及并推广了数学模型方法。

2.数学模型方法的完善提升了数学建模竞赛的层次

我们知道,实数系的时间的模型,微积分是物体运动的数学模型方法,欧氏几何是关于直觉空间形体(刚体运动下图形结构不变的形体)关系分析的数学模型方法,自然数1,2,3…是用以描述离散数量的数学模型方法.

计算机的广泛应用和科学技术的数学化趋势,使得数学模型方法已经非常广泛地应用于自然科学、工程技术科学与社会科学的一切领域中。例如,经济科学、军事科学、交通运输等管理科学领域.都无例外地应用着数学模型方法.近几年的竞赛试题《中国人口增长预测(2007年试题)》,《数码相机定位(2008年试题)》,《乘公交,看奥运(2007年试题)》等是很好的说明。

随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透,一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。当用数学方法研究这些领域中的定量关系时,数学建模就成为首要的、关键的步骤。在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度的模型的余地相当大,为数学建模竞赛试题的选择提供了广阔的新天地。

参考文献:

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