勾股定理在生活中的应用

崔艳峰

勾股定理源于生活,贴近现实.它不但揭示了直角三角形三边之间的数量关系,把数与形结合起来,而且可以解决许多与实际生活紧密联系的问题.现举例说明.

一､测量问题

例1 老师要求同学们测量学校旗杆的高度.小明发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1 m.当他把绳子的下端拉开5 m后,发现绳子下端刚好接触地面.你能帮小明求出旗杆的高度吗?

分析: 根据题意,可以把旗杆与地面看成一个直角三角形的直角边,绳子当做斜边.先设出绳子的长,然后利用勾股定理列出方程求解.

解:如图1,设绳子AB长为x m,则旗杆的高度AC为(x - 1) m.在Rt△ABC中,由勾股定理,得

AC2 + BC2 = AB2,即(x - 1)2 + 52 = x2.

解得x = 13,则x - 1 = 12.故旗杆的高度为12 m.

说明: 测量某些建筑物的高度时,常利用勾股定理列方程求解.

二､地毯花费问题

例2 如图2,如果在高为3 m､斜坡长为5 m的楼梯表面铺地毯,则至少需要多少米长的地毯?若楼梯宽2 m,每平方米地毯需要30元,那么购置地毯至少需要花费多少钱?

分析: 楼梯水平方向的长度和为AC,竖直方向的长度和为BC,要求地毯的长度,只需利用勾股定理先求出AC,再求AC + BC即可.

解:在Rt△ABC中,AC2 + BC2 = AB2,所以AC2 = AB2 - BC2 = 52 - 32 = 16 = 42.

所以AC = 4 m.故地毯长度至少为AC + BC = 4 + 3 = 7(m).

所以地毯总面积为7 × 2 = 14(m2),花费至少为30 × 14 = 420(元).

说明: 解决本题的关键是构建数学模型,即直角三角形,并且借助勾股定理求出AC的长.

三､台风预测问题

例3 据气象台预报,一个由南向北移动的台风,其中心在A市南偏东45°方向,且离A市 400 km的B地登陆.已知在距台风中心260 km的范围内都会受到台风侵袭,那么A市会不会受到此次台风的侵袭?为什么?

分析: 本题提供了较多的文字信息,需要在阅读的基础上提炼出有用的信息.要想知道A市是否会受到台风的侵袭,关键是看当台风到达A市的正东方向时(这时台风最接近A市),A市是否在台风的侵袭范围内.

解:如图3,过点A作AC⊥BC,垂足为C,则AB = 400 km,∠CAB = ∠CBA = 45°,△ABC是等腰直角三角形.

由勾股定理,得AC2 + BC2 = AB2,即2AC2 = AB2,所以AC == = 200≈282.8(km),AC > 260 km.

故A市不会受到此次台风的侵袭.

说明: 这类“影响范围”的问题,常常要作有关直线的垂线,从“最短距离”处进行判断.

四､航海问题

例4 一艘轮船A以16海里 / 时的速度离开港口O向西南方向航行,另一艘轮船B同时以12海里 / 时的速度离开港口O向东南方向航行,则1.5 h后两轮船相距多远?

分析: 根据题意画出图形,得知两轮船航线的夹角为90°.分别求出两轮船航行1.5 h的路程,再根据勾股定理求出两轮船的距离.

解:如图4,东南方向即南偏东45°,西南方向即南偏西45°,故两轮船航行的方向OA､OB的夹角为直角,OA = 16 × 1.5 = 24(海里),OB = 12 ×1.5 = 18(海里).

连接AB,在Rt△AOB中,由勾股定理得AB2 = OA2 + OB2 = 242 + 182 = 900,所以AB = 30海里.

所以1.5 h后两轮船相距30海里.

说明: 解决此问题的关键是画出正确的图形,并利用方位角的概念发现特殊角.然后找出直角三角形,应用勾股定理来解题.L

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