整式运算中的数学思想

王尧兴

学习数学不仅要学习基础知识，更重要的是学习数学思想.因为数学思想是数学的灵魂，它在指导数学学习和研究中，有着十分重要的作用.下面总结整式运算中的数学思想方法.

1． 化归思想

所谓化归思想就是指在求解数学问题时按照化难为易、化繁为简、化未知为已知等转化原则，使问题得以解决的思想方法．

例1若a-b=-3，c+d=2，则（b+c）-（a-d）的值为（）.

A.-1 B.-5C. 5D. 1

此题所给的代数式中含有四个字母，只有两个条件，因而不能求出这四个字母的具体值，这就需要将所求值的式子（b+c）-（a-d）进行变形，化为含有a-b和c+d的形式．

解：（b+c）-（a-d）

=b+c-a+d

=-（a-b）+（c+d）

=-（-3）+2=5.

2． 分类讨论思想

当被研究的问题包含多种情况，不能一概而论时，就要按照可能出现的各种情况进行分类讨论，从而得出各种情况下的结论，这种处理问题的思想方法即为分类讨论思想．

例2已知M=2a2+3a+5，N=2a2-2a+5，试比较M与N的大小．

可利用作差法进行比较．

解：M-N=（2a2+3a+5）-（2a2-2a+5）=2a2+3a+5-2a2+2a-5=5a.

所以，当a>0时，M>N；当a=0时，M=N；当a<0时，M

3． 数形结合思想

数形结合是研究数学问题的有效途径和重要策略，数字能描述图形的概况，图形能增强数字的直观性.

例3如图1，甲、乙两个零件截面的面积哪一个较大？大多少？把结果填入下面的横线上.

截面甲的面积是；截面乙的面积是；

甲、乙两个截面面积的差是 （）-（）=；

结论是.

利用图形可得，截面甲的面积是圆的面积减去长方形的面积；截面乙的面积也是圆的面积减去里面的长方形的面积.两个截面面积的差就是两个多项式的差，若差大于零，则被减数较大，若差小于零，则减数较大.

解：截面甲的面积是 πr2-2ab.

截面乙的面积是 πr2-1.5ab.

甲、乙两个截面面积的差是

（πr2-2ab）-（πr2-1.5ab）=-0.5ab.

结论：截面乙的面积较大.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文