６／６－ＳＰＳ型Ｓｔｅｗａｒｔ并联机构运动学正解的研究

曹　毅　李保坤　周　辉　张文祥

摘 要：对具有半对称结构的6/6-SPS 型Stewart并联机构的运动学正解进行了研究。建立了一类具有半对称结构的6/6-SPS 型Stewart并联机构运动学正解的数学模型，构造了一个关于该并联机构动平台位置参数及姿态参数的多元多项式方程组。基于该方程组并采用Mathematica符号计算软件编制了基于Mathematica语言的6/6-SPS型Stewart并联机构运动学正解的求解程序，计算结果表明，对于任意给定的该并联机构的结构参数以及六个驱动杆杆长，该类6/6-SPS型Stewart并联机构的运动学正解在复数域内最多有28组解析解。

关键词：Stewart机构；运动学正解；符号计算Mathematica 软件

中图分类号：TP242.2文献标识码：A文章编号：1672-1098(2008)01-0040-05

收稿日期：2007-09-28

资助项目：国家自然科学基金资助项目(50275129)；江南大学博士基金资助项目(207000-21050616)

作者简介：曹毅(1974-)，男，安徽安庆人，副教授，博士，主要研究方向为并联机器人、机械电子工程。

Direct Kinetics Analysis of A Special Class of the

6/6-SPS Stewart Manipulators

CAO Yi1,LI Bao-kun2,ZHOU Hui1,ZHANG Wen-xiang2

(1. School of Mechanical Engineering, Jiangnan University, Wuxi Jiangsu 214122, China; 2. School of Mechanical Engineering, Anhui University of Science and Technology, Huainan Anhui 232001, China)

Abstract: In the paper direct kinematics analysis of a special class of the 6/6-SPS Stewart manipulators is presented. The mathematical algorithm of direct kinematics analysis of Stewart manipulators of 6/6-SPS type with semisymmetrical structure was established. A multivariate polynomial equation set with position parameters and orientation parameters of the parallel manipulators in moving platform was constructed. On the basis of the equation set and symbolic computation software Mathematica, the program for direct kinetics analysis of 6/6-SPS Stewart manipulators was composed. Computation results show that the maximum number of solution to the direct kinematics problem of 6/6-SPS Stewart manipulators is up to 28 in complex domain for any given set of geometric parameters and length of six given links of the manipulator considered in the paper.

Key words:Stewart manipulator;direct kinematics analysis;symbolic computation;software Mathematica

Stewart平台具有承载能力大、刚度好、无积累误差、精度高、系统动态响应快等特点［1］，在飞行模拟器、机器人、新型机床等领域获得广泛应用。机器人运动学正解的研究在机器人机构学的研究中具有重要的地位，特别是对并联机器人机构，并联机器人机构的运动学正解问题一直是并联机器人机构运动学研究的难点和热点之一。国内外诸多学者分别采用数值法、解析法等方法对并联机构的运动学正解问题进行了深入而细致的研究［2-16］。但是，不难发现这些研究大多是针对具有特殊结构形式的并联机器人机构，而对6/6-SPS型Stewart并联机构的运动学正解，文献［7,13,18-19］等进行了研究。

本文对具有半对称结构的6/6-SPS 型Stewart并联机构的运动学正解进行了研究。建立了一类具有半对称结构的6/6-SPS 型Stewart并联机构运动学正解的数学模型，采用该并联机构的结构参数和杆长作为输入变量，构造了一个关于该并联机构动平台位置参数及姿态参数的多元多项式方程组。基于该方程组并采用Mathematica符号计算软件编制了基于Mathematica语言的6/6-SPS型Stewart并联机构运动学正解的求解程序，计算结果表明，对于任意给定的该并联机构的结构参数以及六个驱动杆杆长，该类6/6-SPS型Stewart并联机构的运动学正解在复数域内最多有28组解析解。并联机构运动学正解的研究为该并联机构的工作空间分析、轨迹规划及控制奠定了重要的理论基础。

1 机构运动学反解方程的建立

图1所示是一典型的6/6-SPS型Stewart并联机构的结构示意图，该机构由上下两个相似的半规则的六边形,獴1B2,…,B5B6以及C1C2,…,C5C6，通过六杆相连而成，其中玈代表球面副，P代表移动副。在上平台(动平台) 獴1B2, …, B5B6以及下平台(定平台) C1C2,…,C5C6上分别建立动坐标系O′-x′y′z′和定坐标系O-xyz，其中O′、O分别是上下平台的几何中心。上平台的位置用几何中心O′在定坐标系O-xyz中的坐标(x,y,z)表示，上平台的姿态用三个欧拉角(ⅵ,θ,Ψ)表示。

该机构的结构参数可描述为，上下平台的外接圆半径分别表示为玆璪和R璦，长边C1C2和B4B5所对应的中心角均为β0。设顶点B璱(i=1,2,…,6)在动坐标系O′-x′y′z′中的列矢量表示为BB′璱:(B′﹊x，B′﹊y,B′﹊z)T顶点B璱和C璱在定坐标系O-xyz中的列矢量分别表示为BB′璱:(B′﹊x，B′﹊y,B′﹊z)T和BC′璱:(C′﹊x，C′﹊y,C′﹊z)T。

机构的运动学反解是指当已知机构的输出构件的位置和姿态， 求解机构的主动构件的位置。 当给定该并联机构动平台的位置(玿, y, z)和姿态(ⅵ,θ,Ψ)，此时该并联机构的六个驱动杆杆长矢量l璱(i=1,2,…,6)可以通过下式(1)求得

l璱=B璱-C璱i=1,2,…,6(1)

从而可以求得该类6/6-SPS型Stewart并联机构的运动学反解，式(2)中ρ璱表示第i个驱动杆的杆长。

ρ璱=‖l璱‖=‖B璱-C璱‖i=1,2,…,6

(2)

式(2)即是该类6/6-SPS型Stewart并联机构的运动学反解的解析表达式。

图1 6/6-SPS型Stewart并联机构的结构示意图

2 机构运动学正解的研究

机构的运动学正解是指当已知机构主动构件的位置， 求解机构的输出构件的位置和姿态。 当给定该并联机构的六个驱动杆杆长ρ璱(i=1, 2, …, 6)，此时机构动平台的位置(x, y, z)和姿态(ⅵ,θ,Ψ)理论上可以通过式(2)求得。但式(2)是一个关于该并联机构动平台的位置参数(x,y,z)和姿态参数(ⅵ,θ,Ψ)的三角函数的非线性高耦合的高阶方程的方程组，式(2)很难进行数值求解，并且数值法不仅依赖于其初值的选取，而且其解的收敛性问题尚未得到有效的解决，因此数值法通常很难求得该类并联机构运动学正解的全部解也无法确定解的最大数目。

与之相反的是解析法可以求解出所有的解析解， 但是由于计算量大， 而且其计算复杂， 以前很难真正实施。 符号计算理论的提出及发展为解析法的实施提供了坚实的理论基础， 它既能解决数值问题又能进行公式推导和符号运算， 因此利用解析法来求解并联机器人机构的运动学正解将是一种行之有效的方法。 基于Mathematica符号计算软件的强大符号运算功能， 本文将采用解析法来研究该类6/6-SPS型Stewart并联机构的运动学正解。

2.1 数学模型的建立

由于式(2)很难进行数值求解，因此对于给定的该并联机构的结构参数以及六个驱动杆杆长，该类6/6-SPS型Stewart并联机构的动平台的姿态(ⅵ,θ,Ψ)将无法求解，因此必须另辟蹊径。基于文献［17］提出的结论，刚体在三维空间中的姿态总可以用一个单位正交矩阵来描述。因此，不妨引入一个单位正交矩阵［T］来描述该并联机构动平台的姿态，也即该并联机构动平台相对于定平台的方向余弦。此时机构动平台上的各顶点B璱(i=1,2,…,6)在动坐标系O′-x′y′z′中的坐标B′璱和其在定坐标系O-xyz中的坐标B′璱两者满足下式

B﹊x

B﹊y

B﹊z=［T］B′﹊x

B′﹊y

B′﹊z+O′(i=1,2,…,6)(3)

式中：В跿］为［u v u×v］=u1v1u2v3-u3v2

u2v2u3v1-u1v3

u3v3u1v2-u2v1

O′为｛x y z｝T

由于矩阵［T］是一单位正交矩阵，故满足如下约束

∑3i=1u2璱=1

∑3i=1v2璱=1

∑3i=1u2璱v2璱=1(4)

值得指出的是，上述数学模型的建立为该类6/6-SPS型Stewart并联机构运动学正解的求解奠定了重要的基础。

2.2 机构运动学正解的研究

对于任意给定的该并联机构的结构参数玆璦、R璪、β0以及六个驱动杆杆长ρ璱(i=1,2,…,6)， 联立式(2)、式(3)、式(4)即可求得该并联机构的动平台在三维空间中的位置(x,y,z)及其方向余弦矩阵［T］

f0i=‖TB′璱+O′-C璱‖2-ρ2璱=0

(i=1,2,…,6)

f07=∑3i=1u2璱-1=0

f08=∑3i=1v2璱-1=0

f09=∑3i=1u璱v璱=0(5)

式(5)是一个包含9个变元［x,y,z;u1,u2,u3,v1,v2,v3］的多项式方程组，从而该类6/6-SPS 型Stewart并联机构的运动学正解问题也相应地转化为一个多元多项式方程组的求解问题。

基于上述数学模型，利用著名的Mathematica符号计算软件的强大符号运算功能编制了基于Mathematica语言的该类6/6-SPS型Stewart并联机构运动学正解的求解程序，限于篇幅，具体求解程序在此未做进一步的阐述，具体可查阅文献［18-19］。 研究结果表明， 对于任意给定的该类并联机构的结构参数玆璦、R璪、β0以及六个驱动杆杆长ρ璱(i=1,2,…,6)，该类6/6-SPS型Stewart并联机构的运动学正解［x,y,z;u1,u2,u3,v1,v2,v3］在复数域内最多有28组解析解，这也是到目前为止首次在复数域内研究该类Stewart并联机构运动学正解并确定了解析解的最大数目。

如上所述， 对每一组该并联机构的运动学正解［x, y, z; u1, u2, u3, v1, v2, v3］，根据下式(6)即可求得该并联机构的动平台在三维空间中的姿态(ⅵ,θ，Ψ)

θ=A玹an 2(u23+v23,u1v2-u2v1)

ⅵ=A玹an 2(u3v1-u1v3,u2v3-u3v2)

Ψ=A玹an 2(v3,-u3)(6)

式(6)中，獳玹an 2(x,y)是双变量反正切函数。值得指出的是，对于任一给定的该并联机构动平台的姿态(ⅵ,θ，Ψ)，此时必定存在唯一的一个单位正交矩阵［T］，也即唯一的一组［u1,u2,u3,v1,v2,v3］与之相对应；同理，对于任一给定的单位正交矩阵［T］，由式(6)也可确定唯一的一组(ⅵ,θ，Ψ)与之相对应。基于(ⅵ,θ，Ψ)与［T］二者之间的“一一映射”关系，因此也可用［T］来表示该并联机构动平台的姿态。综上所述，对于任意给定的该并联机构的结构参数R璦、R璪、β0以及六个驱动杆杆长ρ璱(i=1,2,…,6)，该类6/6-SPS型Stewart并联机构的运动学正解［x,y,z;ⅵ,θ，Ψ］在复数域内最多有28组解析解。

3 计算实例

为验证上述理论结果的正确性，本文将首先研究一具体的6/6-SPS型Stewart并联机构的运动学反解，再以该并联机构的结构参数和运动学反解为输入变量来求解该并联机构的运动学正解。 该并联机构的结构参数分别为： 机构动平台的外接圆半径獴璪=6 cm， 定平台的外接圆半径獴璦=8 cm，中心角β0=90°。

限于篇幅，本文只给出该并联机构运动学正、反解的一个实例，在此实例中，该并联机构动平台的位置、姿态分别为(玿,y,z)=(0 cm,0 cm,16 cm)、(ⅵ,θ，Ψ)=(0°,0°,0°)，此时机构的运动学反解即驱动杆杆长ρ璱(i=1,2,…,6)可由式(2)计算，其结果为16.518 cm，即六个杆长是相等的。

基于Mathematica符号计算软件并以该并联机构的结构参数玆璦、R璪、β0以及六个驱动杆杆长ρ璱(i=1,2,…,6)为输入变量，该并联机构的运动学正解［x,y,z;u1,u2,u3,v1,v2,v3］(［x,y,z;ⅵ,θ，Ψ］)可由式(5)、式(6)联立求解而得。计算结果表明，对于给定的该并联机构的结构参数R璦、R璪、β0以及六个驱动杆杆长ρ璱(i=1,2,…,6)，该类6/6-SPS型Stewart并联机构的运动学正解［x,y,z;u1,u2,u3,v1,v2,v3］在复数域内确实存在28组解析解，限于篇幅，本文只给出其中的实数解，如表1所示。表1 6/6-SPS型Stewart并联机构的运动学正解

正

解玐玒玓/cm玼1u2u3v1v2v3ⅵ咋圈藩/(°)实

例00161.000001.000000009.472 23-1.000 0000-1.000 001800007.349 5712.217 51.000 0000-0.268 140.963 38-90105.55490-6.364 9-3.674 812.217 50.048 90-0.549 1-0.834 3-0.549 120.682 97-0.481 730.00105.554-30.06.364 91-3.674 812.217 50.048 900.549 120.834 310.549 120.682 97-0.481 7150.00105.554-1500-9.146 98.465 48-1.000 00000.578 26-0.815 9-90125.329-90-7.921 54.573 468.465 480.183 70-0.683 4-0.706 6-0.683 41-0.605 430.407 92150.00125.32930.07.921 464.573 468.465 480.183 700.683 410.706 550.683 41-0.605 430.407 9230.00125.32915000-161.000 00001000000-9.472 2-1.000 0000-1.000 001800007.349 57-12.2181.000 0000-0.268 14-0.963 490105.554-90-6.364 9-3.674 8-12.2180.048 90-0.54910.834 31-0.549 120.682 970.481 69-150.00105.5541506.364 9-3.675-12.2180.048 900.549 12-0.834 30.549 120.682 970.481 69-30.0105.55430.00-9.147-8.465 5-1.000 00000.578 260.815 8590125.32990-7.921 54.573 46-8.465 50.183 70-0.683 40.706 55-0.683 41-0.605 43-0.407 9-30.00125.329-1507.921 464.573 46-8.465 50.183 700.683 41-0.706 60.683 41-0.605 43-0.407 9-150.00125.329-30.0

4 结论

本文对具有半对称结构的6/6-SPS 型Stewart并联机构的运动学正解进行了研究。建立了一类具有半对称结构的6/6-SPS 型Stewart并联机构运动学正解的数学模型，采用该并联机构的结构参数和杆长作为输入变量，构造了一个关于该并联机构动平台位置参数及姿态参数的多元多项式方程组。 基于该方程组并采用Mathematica符号计算软件编制了基于Mathematica语言的6/6-SPS型Stewart并联机构运动学正解的求解程序， 研究结果表明， 对于任意给定的该并联机构的结构参数以及六个驱动杆杆长， 该类6/6-SPS型Stewart并联机构的运动学正解在复数域内最多有28组解析解。

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(责任编辑：李 丽)