从一道判断题说起

陈国新

2005年，广东省佛山市南海区小学五年级数学期末考试卷中有一道判断题，引起老师之间的争论。题目是这样的：相邻两个自然数是互质数()。

如果是以前，自然数从1开始，例如(1，2)＝1；(2，3)＝1(9，10)＝1，用辗转相除法或辗转相减法也可以证明其正确性。但现在0也是自然数，要判断起来，的确有一定的难度。

而一些老师认为它是错误的，大致的观点是互质数不应该考虑0。笔者认为，的确，小学阶段研究整除时，一般不考虑0，这在教材中也有相应的说明。但既然题目中涉及有0，我们还是从它的定义来判断，不能因为0的特殊性就武断地认为它是错误的。要判断0和1是不是互质数，就要看它们的最大公约数是不是1？

大家容易知道：1的约数只有1。但0的约数到底有多少，还要从整除、倍数和约数的概念人手。因为0÷1=0，所以0是1的倍数，1是0的约数。同样，0÷2=0，所以0是2的倍数，2是0的约数。0÷3=0，所以0是3的倍数，3是0的约数。……0÷n=O，(n≠0)所以0是n的倍数，n是0的约数。也就是说，0的约数有无穷多个，1，2，3，4，……都是0的约数。这些结论在《简明数论》中也有，与小学教材所说的并没有矛盾。即0和1的公约数只有1，所以0和1是互质数。经过上述的论证，原命题是正确的。

我最近在函授本科学习期间，正好学习《简明数论》，授课的老师正好是一位数论博士。我趁机请教了他，他认同了我的观点。但他同时指出，“自然数”这个概念已经过时了，在数论学术界中几乎没有人再用它。可是，我们的教材中还有出现，且把0也归人自然数中。

从上面对0的论述中又产生了新的问题。0是1的倍数，又是2的倍数，……这样，0岂不是任意两个(甚至多个)非0整数的最小公倍数，当然，这是不可能的。因为我们的小学教材中有特别的说明：研究整除，倍数和约数时，一般不考虑0。虽然如此，但还是不够清晰，容易使人产生歧义。不妨借鉴一下《简明数论》，书上是这样定义的：“设整数a_{1,a2均不为零，我们把a1和a2的正的公倍数中的最小称为a1和a2的最小公倍数。”因为小学阶段没有涉及正负数，所以笔者建议小学教材定义最小公倍数时最好能够加上“除0外”。即“几个整数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中(除0外)最小的一个称为这几个数的最小公倍数”。}

以上只是笔者的个人见解和一些不太成熟的建议，希望能够抛砖引玉，引起大家的共鸣。

(选自《小学教学研究》)