数学是思维的工具

孙小礼

人们习惯地把数学当作一门自然科学，在历史上数学的确是和自然科学一起成长起来的，但是，数学和自然科学不一样，它的研究对象不是某一类具体实物或某一种物质运动形态，而是从客观世界抽取出来的量的关系。就这一点而言，系统论、信息论、控制论与数学有类似之处，都被称为横断科学。数学又和逻辑学关系密切，有人认为数学应该与逻辑学一样，归于思维科学。还有人把数学放在哲学与具体科学之间的位置上。总之，数学既是人们研究自然的工具，也是人们认识社会的工具。

怎样理解数学是一种思想工具呢?其思想力量是怎样表现的呢?概括地说，有以下几个方面:

第一，数学具有一种抽象思维的能力。在数学中所处理的是抽象的量，是脱离了具体事物内容的用符号表示的量。比如“n”表示某一个正整数，它不是n个苹果、n个人或n个星球……也不是哪一个具体的正整数1、2或10……而是一个一般的正整数。从初等数学的基本概念到现代数学的各种结构都具有这种抽象性、一般性。正如恩格斯在《自然辩证法》中所说的，数学是一种研究思想事物的抽象的科学。研究纯粹数学的人正是在各种抽象的数学概念或数学结构之间思索着、追求着，寻找它们之间的内在联系和规律。而把数学研究成果运用于实际问题之所以有效，甚至是惊人的成功，正是因为它们反映了实际事物的规律性。

数学应用于实际的关键在于建立较好的数学模型，即能从量的方面反映出所要研究问题的本质关系的模型。这是一个科学抽象的过程，分析和综合的过程。要善于把无关紧要的东西先撇在一边，抓住系统中的主要因素、主要关系，经过合理的简化，把问题用数学语言表述出来。在这样提炼成的数学模型上展开数学的推导和演算，以形成对问题的认识、判断和预测。这是数学运用抽象思维去把握现实的力量所在。

第二，数学以逻辑的严密性和结论的可靠性作为特征。在数学中，每一个公式、定理都要严格地从逻辑上加以证明以后才能够确立。数学的推理步骤严格地遵守形式逻辑诸法则，以保证从前提到结论的推导过程中，每一个步骤都是在逻辑上准确无误的。所以，运用数学方法从已知的关系推求未知的关系时，所得到的结论就具有逻辑上的确定性和可靠性。而数学的这种逻辑确定性又是与数学的抽象性分不开的，没有高度的抽象性，就难以达到逻辑上的严格化。爱因斯坦说得好:“为什么数学比其他一切科学受到特殊的尊重，一个理由是它的命题是绝对可靠的和无可争辩的，而其他一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，并且经常处于会被新发现的事实推翻的危险之中。……数学之所以有高声誉，还有另一个理由，那就是数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的。”当然在数学中也不能时时处处都要求逻辑的严密无隙。事实上，数学发现也需要借助于直观、想象和幻想，数学理论(如几何学、微积分等等)有一个由粗到精的逻辑严密化过程，这个过程有时会长达数十年，数百年甚至上千年。

数学的逻辑严密性还表现在它的公理方法。每一个认识领域，当经验知识积累到相当数量的时候，需要进行综合、整理，使之条理化，造成概念和理论的系统，以实现认识从感性阶段到理性阶段的飞跃。从理性认识的初级水平发展到更高级的水平，表现在一个理论系统还需要发展到抽象程度更高的公理化体系。这就需要借助于数学的公理方法，找出最基本的概念、命题，作为逻辑的出发点，运用演绎推理论证各种派生的命题。在理性认识的深化过程中，数学是使理论知识更加系统化、逻辑化的重要手段。

第三，数学:辩证的辅助工具和表现方式。这是恩格斯的一个重要论断。熟悉数学的人都体会到在数学中充满着辩证法。如果说各门科学都包含着丰富的辩证思想，那么，数学则有自己特殊的表现方式，即用数学的符号语言，用简明的数学公式，明确地表达出各种辩证的关系和转化。例如:对数使乘法转化为加法、除法转化为减法；极限概念，特别是现代的极限语言，很好地体现了有限与无限、近似和精确的辩证关系；牛顿—莱布尼茨公式描述了微分和积分两种运算之间的联系和相互转化；概率论和数理统计表现了事物的必然性与偶然性的内在关系；等等。这类事例在数学中俯拾皆是。

要真正掌握好数学工具，只知道许多数学知识是不够的，必须善于发现各种数学结构、数学运算之间的关系，建立和运用它们之间的联系和转化，这样才能发挥出蕴藏在数学中的辩证思维的力量。数学中许多计算方法之灵巧，证明方法之美妙，究其思路，往往就是利用了各种转化。

人们常把学习数学，进行数学推导和演算，比作锻炼思维的保健操，这是很恰当的。这种思维操练，确实能够增强思维本领，提高科学抽象能力、逻辑推理能力和辩证思维能力。

近几十年来，电子计算机的出现和广泛应用，使数学的计算和推理进入一个崭新的时代。科学研究，工程技术以及社会生活中的许多问题都需要计算，但是其中一些问题计算量之大、要求的精度之高和速度之快，是人力难以胜任的。而电子计算机帮助人们获得了快速而又准确的计算能力，许多新技术正是攻克了计算难关而“起飞”的。在电子计算机上进行数学定理的证明，使部分数学推理机械化，这是电子计算机的一个重要功能，可以帮助人们节约思维劳动。如同机器是人手的延伸一样，电子计算机是人脑的延伸。人脑加上电子计算机这种电脑，人的智能加上由电子计算机实现的人工智能，极大地增强了人类的思维能力。现在还有所谓“数学实验”，即运用电子计算机对数学模型进行大量的试算——数字的和逻辑的演算，这对于复杂系统的研究和处理，有很大意义。因为从多个数学模型中挑选一个好的模型，或在一个模型中挑选一组好的参数，需要通过数学实验，加以验算比较，从而对各个模型或各种参数作出评价。在社会管理、经济生活中，这种试算有可能是帮助决策人“深思熟虑”，选定较好的解决问题的方案的一种手段。

数学，既是一门高度抽象的理论性学科，又是一门应用广泛的工具性学科，理论与应用有机地统一于一身。对电子计算机作出重大贡献的数学家冯·诺以曼把数学看作一门处于人类智能的中心领域的科学，这种看法是值得深思的。

(摘自1985年5月10日《人民日报》)

(题图:李志国)