一门切实而奇妙的学问

杨熙龄

读莫绍揆的通俗数理逻辑著作

说数理逻辑这门学问“切实”，大家都信，因为数理逻辑在电子数字计算机方面有重大的应用，而且它也是被恩格斯称为“日用器具”的形式逻辑概念和方法的精密化和最新发展形态。但是过去往往被一部分人认为很简单而置诸脑后的形式逻辑，现在竟发展到如此复杂丰富的地步，它已蒙上了一层“艰深”的幕布。中文的入门书，六十年代就有，如我国著名数学家莫绍揆教授的《数理逻辑导论》。不过，用通俗的语言来向广大读者介绍数理逻辑这门新兴学科的书，却最近才见到，那就是莫先生的下列三部新著：一、《数理逻辑初步》；二、《数理逻辑漫谈》；三、《逻辑代数初步》。(以下分别简称《初步》、《漫谈》、《代数》)

这三部书揭开了数理逻辑的面幕，使一般读者(只需要具备一点形式逻辑和数学常识)能扼要而相当精确地了解数理逻辑的概貌。靠了莫先生的劳作，人们对于这门艰深的学问，也许敢于问津了。

这里自无法详述三部书的内容，就初步谈谈《初步》，漫谈一下《漫谈》罢。

值得特别提出的是，著者用历史的、发展的叙述方法来说明数理逻辑的由来及其主要内容，不象外国某些同类著作那样，从定义出发，无联系地罗列这个学科所包含的各种内容。著者采用的历史的方法，可以说是贯穿着《初步》一书的主要部分，即该书的第一、二、三章。

著者分析了数理逻辑兴起的原因，一是传统逻辑的不足，在十九世纪中，人们就借助数学方法，试图加以改进；二是数学基础方面的研究提出了大量与逻辑有关的问题。“数理逻辑本身就是逻辑，是传统逻辑本身内在矛盾发展的一个必然结果。”(《初步》第2页)“近代数学出现以后，传统逻辑之必须改造，便是昭然若揭的了。”(《初步》第8页)“数理逻辑的发展还从各方面受到推动力……其一，是数学基础方面的推动力。”(《漫谈》第4页)

著名德国数学家兼哲学家魏尔(H.Weyl)曾在他的《数学和自然科学的哲学》一书中说过，“亚里士多德逻辑，基本上也是一种从数学中抽象出来的东西。”(见该书一九五○年英译本第3页)如果确系如此，数学的发展又促成形式逻辑的发展，也是不足为奇的了。

《初步》中说：“在人类认识史上，离散和连续的矛盾是很重要的矛盾。人们认识外界事物时既到处看见离散的东西(可以一个一个地计数的)，又到处看见连续的东西。数理逻辑可以说是离散数学的一个主要内容。……从离散方面考察时，便和数理逻辑结下不解之缘了”(《初步》第150页)。

形式逻辑的特点之一，在我看来，就是在于处理固定的、“凝结的”和“离散的”概念。被马克思称为“我们的哲学家”的制革工人哲学家约·狄慈根曾用通俗的语言，就形式逻辑的特点，说过：“……我们对自然实体的个别分子或现象形成的固定概念，我们则把它当作说明自然的必要手段……”，又说：“凝结的概念这种逻辑的日常使用应当而且必然会扩展至整个科学的领域。……但同时注意到事物不仅是自同而凝结的，而且也在变化流动，是十分有益的。这是一个矛盾，但并非没有意义。这个矛盾迷惑了一般有思想的人，对于哲学家也起了大得惊人的影响。”(见一九七八年三联新版、杨东莼先生译《狄慈根哲学著作选集》第345、343页，着重点是引者所加。)

狄慈根的话说得很清楚，宇宙间的一切都是互相连续的，“树叶是树的属性，树是地球的属性，地球是宇宙的属性。”(见上引书第34页)但我们又必须分清树叶是树叶，树是树，地球是地球，宇宙是宇宙，不能不用固定的、凝结的、离散的概念来表述这个本来就是统一成一体的宇宙，否则混沌一片，什么事也做不成了。但是“云”不但会变成雨落下，也是和水、和地球连在一起的；“花”不但会结出果实，也和种籽、土壤、阳光连在一起的；“谎话”如果说者自己承认是“谎话”，就成为真话，而且象狄慈根所说，“一切谎言，都是真正的谎言……”(上引书第347页)。又如“否定”这个概念，如硬把它同“肯定”这个概念一刀切开之后，也会变成一种“肯定”。“我的意见是否定的”，这不是一种“肯定”又是什么？黑格尔说过，有多少概念，就有多少“二律背反”(即矛盾)，就是说概念总是包含着正反两个方面。连续与离散这对概念当然也是如此。即使三个苹果，看来是离散的，但作为苹果这一概念的体现，也有人认为是连续的。形式逻辑和数学既必须而又必然运用固定概念，因此自然会遇到一些难题，狄慈根仿佛预见到了本世纪初以来形式逻辑遇到的一些困难，也仿佛预见到了本世纪中叶以来关于形式逻辑和辩证逻辑之间关系的争论似的。但这些话，是“漫谈的漫谈”，并不是莫绍揆先生书中说的。说错了，与被介绍的书无关。许多有关形式逻辑和辩证法关系的问题，至今没有论定。但莫先生的书，在理解形式逻辑的实质方面给了我们切实的帮助，则是无疑的。

言归正传。作为今天数理逻辑的基本部分之一的“布尔代数”(即逻辑代数)就是为了使传统逻辑精密化，以适应数学的大发展而较早产生的。莫先生在《代数》中说：“从前人们都想把传统逻辑改革，一直没有很好的结果，都是由于人们注重内涵的缘故，从布尔开始强调外延，即把一概念的外延，即集合，作为专门研究的对象，不再拘泥于其内涵是否相同，于是才出现布尔代数，才使数理逻辑进入一个新的转折点。”(见《代数》第6页)

的确，布尔代数是一种新逻辑，布尔用一套符号(代表“并且”、“或者”、“非”等)和规则，把传统逻辑全部捉住而且恢恢乎游刃有余；但布尔代数有一个大弱点，莫先生说，那就是：作为一个抽象数学系统来说，布尔代数是无可指责的，而作为逻辑系统而论，却有一个致命的缺点，即实际上是“承认了逻辑推理以后再讨论逻辑推理。”(《漫谈》第2页)这是一个“恶性循环”。

这个难题后来由弗雷格解决了。弗氏指出，可以不使用日常逻辑推理，只根据一些极简单的、机械的规则就可以了。这就避免了上述“恶性循环”。但布尔代数只相当于逻辑演算中的命题演算部分，有许多数学上的推理仍不能靠这种逻辑来解决。弗雷格引进了量词(“所有”、“有些”)，“量词的引入和研究，是数理逻辑发展史上一个重大事件，其重要性远远超过布尔代数的创立。”(《初步》第18页)至此，数理逻辑中所使用的符号体系已属完备，它能把一切数学公式表达出来。弗雷格完备地发展了命题演算，又几乎很完备地发展了谓词演算。

在《初步》中，著者接着有条不紊地叙述了促成数理逻辑兴起的数学基础上来自两个方面的一个原因。一方面是“非欧几何带来的问题”。非欧几何的发展必然提出证明这种新几何“不矛盾”的要求。问题结果归结到实数论有无矛盾。这里，恐怕需要多少谈谈“实数”等数学概念。所谓“实数”是相对于“虚数”而言的。实数就是“有理数”和“无理数”的统称。实数和虚数又统称为“复数”。任何一个“有理数”总可以写成两个整数之比的形式，它或者是包括整数在内的有限小数，或者是“无限循环小数”，如化成小数，就是“无限循环”的，写成小数，那就是0.142857142857……至于“无理数”却是“无限不循环小数”，如圆周率π＝3.14159…＝1.414213……。在一条线段上(数学上叫做“数轴”)，有理数具有“稠密性”，即每一个有理数在这条线段上有一个确定的“有理点”，但“有理点”并没有布满整个数轴，还存在“空隙”。与无理数相对应的“无理点”则填满了这些“空隙”。所以如果说有理数是“离散”的，“实数”就是“连续”的了。“实数集”又叫做“连续统”，这个“连续统”(一条线段)上有多少“点”(数学点)的问题，造成了极大的麻烦，至今没有解决。以上是关于“实数”的粗略说明，至于“非欧几何学”、微积分学中的“极限”概念等等，莫先生书中有一些说明，本文没有篇幅来一一说明了。

另一方面，是存在了几百年的微积分基础理论问题。因为“极限论”是微积分理论的命根子，而命根子的命根子则是“有界单调的数列必有极限。”这个性质何从推导出来呢？狄德金和康托二人重新给实数下定义，纯逻辑地、不依靠任何几何直觉而把极限的上述性质或命题推导了出来。但是，结果同样是“只要实数论没有矛盾，微积分学也没有矛盾”，和非欧几何问题最后归结到“实数论”一样。

“狄德金把实数定义为有理数的分划，实质上是有理数的(无穷)集合，更进一步可以说是自然数的(无穷)集合，康托则把实数定义为正规有理数数列，实质上仍可以化归于自然数的(无穷)集合。实数论上的命题既可表示成自然数的集合的命题，如果实数论出现矛盾，势必在自然数论和集合论上出现矛盾。”(《初步》第26页)“实数论的相容性(即无矛盾性)已还原到自然数论和集合论的相容性，由于狄德金和弗雷格等人的研究，自然数论的相容性又还原到集合论的相容性。”(《初步》第31页)因此，集合论的无矛盾性成了整个数学无矛盾性的支柱了。

但是，出乎意料，集合论中出现了矛盾，即悖论！

集合论怎么会自相矛盾的呢？

我们从《初步》中引两条悖论看看，就明白了：

“我们试把一切集合分成两类。自己为自己的元素者作为甲类，自己不是自己的元素的作为乙类。……现在我们要问：集合乙究竟是甲类还是乙类？如果它为甲类，……，‘乙类属于甲类，即乙应属于乙类，不可能；如果它为乙类，由‘乙属于乙可得非‘乙属于乙(因上边规定乙类是自己不属于自己的一类集合)，所以无论集合乙属于甲类或属于乙类，都会导致矛盾。这便是有名的罗素悖论……给数学界带来了极大的震动。”(见《初步》第33—34页，因排印困难，引文省去了符号，精确表述请阅原书。)

罗素为了把这个矛盾即悖论通俗化起见，曾说了一个有名的“理发师悖论”。中古时代某个小村只有一个理发师，他自己约定：只替不给自己刮胡子的人刮胡子，那么，他自己怎么办？如果给自己刮了，那么，依他自己的约定：不该刮。反之，不给自己刮呢，依照约定，又须给自己刮。当然，有些人认为这不能算作悖论，因为可以没有这样的理发师，或者如莫先生书中说“该理发匠作了一个无法执行的约定”。不过，这个“悖论”原是用来作比方的。“罗素悖论”却是大家都承认，“因为在数学中人们经常使用下列的过程：任给一个条件，满足这个条件的一切个体必组成一个集合。只要承认这个过程，那么罗素悖论便会发生。如果不承认这个过程，数学中经常使用的方法便须更改，而这将导致巨大影响。为着解决这些真正的悖论，于是便大大促进数理逻辑的发展。”(《初步》第35页)

所以，悖论是个十分重要的问题。莫先生在悖论研究方面曾作出重要贡献。我国著名数学家徐利治教授最近在一篇和朱梧等四位数学家合著的论文《悖论与数学基础问题》中指出：“在二十世纪的今天来讨论和研究悖论问题，首先应该把十八世纪以前那种认为悖论只是茶余酒后的闲谈的陈旧看法扫除，否则只能说明他对数学基础、数理哲学的近代发展视而不见。”对于逻辑学来说，悖论的重要性我看也如此。

再说《初步》一书，此书到了第二章《数理逻辑的主要内容》，就象水到渠成一样，可以清楚看到为什么目前数理逻辑会有这些部分的——即公理集合论、证明论、递归函数论、模型论。这四个部分都不是从天上掉下来的，而是与第一章中所述逻辑演算的演变史同时或接着有联系地必然产生的。

公理集合论和证明论，著者说，和逻辑演算同时成熟，递归论和模型论则是逻辑演算本身成熟以后开始发展。著者接着上章关于集合论悖论的出现，说明了至此人们“只能”做两件事：建立公理集合论和证明论。人们建立公理集合论，“完全是由于集合论悖论的出现。”但修改后的集合论，能保证无矛盾吗？因此要搞证明论。希尔伯特提出一套规划，企图达到直接证明数学理论的无矛盾性。但希尔伯特规划中有个大问题：从事数学理论的无矛盾性证明，而数学是否无矛盾，逻辑规律是否无矛盾都还在检查之中，又怎能无条件使用这些工具呢？，一九三一年哥德尔证明了：“在理论A内部无法证明理论A的不矛盾性，因此，如果只承认理论A的一部分乃至全部，如果不多承认理论A以外的一些推理方式，是无法证明理论A的不矛盾性的。”(《漫谈》第28页)这有点象：“不见庐山真面目，只缘身在此山中。”希氏原来的“规划”，“只能宣告失败”。

人们想别的出路，有没有别的新推理方法可容许使用呢？《初步》中说，结果之一便得出“能行性理论”，即“递归函数论”。但“能行性理论主要是在自然数论上获得优良的结果，递归函数论……可以说是有关自然数的能行性理论”，“今天，在使用电子数字计算机时，必须根据近似计算把问题的答案……化成算术四则问题，然后才能叫电子数字计算机加以计算。”为什么呢？“电子数字计算机只能处理能行的问题，而目前只是对于自然数才有能行性理论”，对实数(例如)“则几乎是没有”。目前“没有关于极限运算的能行性理论，因此电子数字计算机就不能直接处理数学分析的问题。”现在的电子计算机“只懂有理数而不懂得无理数。这就象一个人只有小学生水平一样。”(《漫谈》第32—33页)那么，能行性问题，来源于证明论的研究，而仍有待于发展。魏尔说过：“……‘所有和‘有些二者的意义，包含着一个极深奥的、涉及数学核心的问题，即无限的秘密。”(见上引魏尔书第14页)《漫谈》一书第30页上，就谈到量词(“所有”和“有些”)引起的有关能行和非能行的问题。模型论也是由证明论发展而来的。而“非标准模型”的发现，也许可说是一个“喜出望外”的收获。

《初步》第三章《关于数理逻辑的三大派》，实际上也采取历史的、客观的叙述方法，著者对各派的评论都较公允，是很有意义的一章。另外，著者为一般读者着想，同时也为了澄清数理逻辑和数学上一些基本概念的混乱，特别是在第四章中阐明了“记号与符号”、“变元”、“函数与约束词”等等。记得大概又是那位爱谈哲学的数学家赫·魏尔说过：“函数”是什么？谁也说不清楚。那么，莫先生在《初步》等书中是把函数概念解说得很清楚的。

总之，数理逻辑兴起以来，为了证明实数论的无矛盾，却出现了集合论的矛盾，证明论中又遇到矛盾(连最早的布尔代数作为逻辑系统而论的那个自己推导自己的“恶性循环”也许也可看作矛盾)。而这些矛盾，大多是好事，推动了这门学问的发展，而其发展又是如此出乎人们的意料，因此题目上用的“奇妙”一语，或许还能说得过去吧。

上述关于三本书的介绍实在只能说是“举隅”或者漫谈，因为这三本书中的内容是丰富多彩的，著者莫绍揆先生在用通俗的语言向读者介绍这门“艰深”学问的同时，也提出了许多独创的见解，例如他对“谓词”和“集合”关系的看法、运用数理逻辑的观点分析并整理《墨子·小取篇》的基本概念及其逻辑体系等等，这儿就不可能介绍了。

鲁迅先生曾说过，学文的人，不妨也看点自然科学方面的书。而数理逻辑则是一门既是逻辑、又是数学的“边缘科学”。现在介绍大家读莫先生书：“开卷有益”。但是，我得声明在先，有益是有益，象《初步》里的逻辑演算和《代数》一书的大部分篇幅中，是有着不少符号的，不过读时细心些，也就不难领会，可是终不会象读前些时候流行过的什么推理小说那样“有趣”。它们是使人上进的书。

附记：《初步》一书第121页上，倒数第12行：‘上海是两个中国字再加上一对单引号；这句话中‘上海应更正为“上海”；下一行“上海”，则应更正为‘‘‘上海。莫先生对许多人说过，这个误植会使上下文不通。现再代为更正如上。

(《数理逻辑初步》，上海人民出版社一九八○年八月第一版，0.45元；《数理逻辑漫谈》，山东科技出版社一九八○年八月第一版，0.23元；《逻辑代数初步》，江苏人民出版社一九八○年五月第一版，0.42元)