出入相补分面积

衡雪 整理

“出入相补”四个字最早出现在三国时期魏国数学家刘徽的《九章算术注》一书中。刘徽在书中提及：半广者，以盈补虚为直田也，亦可半正从以乘广，按半广乘从，以取中平之数，故广从相乘为积步。

这里的“广”指的是三角形的底边，“正从”指的是高。“半广者，以盈补虚为直田也”指的是过三角形两边中点做底边垂线，可将三角形割补成矩形（即直田），如图1 所示。“亦可半正从以乘广”则是另一种办法：取高的一半，同样可以割补成矩形，如图2 所示。“按半广乘从，以取中平之数，故广从相乘为积步”，就是说根据这个图形可得三角形的面积为底乘高的一半！刘徽就这样推导出了三角形的面积公式，而这种方法就是“出入相补”之术，即割补法。这个方法的精彩之处在于把三角形的问题转化成四边形来解决。

图1

图2

清代数学家李锐借助三个正方形，用“出入相补”的方法证明了勾股定理。如图3 所示，将△AFD移到△JGH处，将△FBM移 到△DEN处，将△HIN移 到△GJM处。这样，两个小正方形的面积之和就等于大正方形的面积，由此可证明勾股定理。

图3

“出入相补”在平面几何中有着广泛的应用。我国数学家吴文俊院士通过研究，揭示了中国古代数学家在“出入相补”原理的引导下，将几何问题转化为代数方程求解的规律，从而发现了中国传统数学中“几何代数化”这一更为本质的特征，与希腊演绎几何形成鲜明的对照。