三个学会轻松解决共点力平衡问题

张兴平

如何解决共点力平衡问题是不少高中学生学习必修一物理时比较头痛的事情，原因是学生没有很好地掌握“三个学会”，笔者在教学中比较注重强化训练学生的“三个学会”，因此共点力平衡问题的教学效果比较好．

哪“三个学会”呢？一是学会选定受力对象；二是学会对受力对象进行受力分析，画出受力图；三是学会用应用合成法或分解法或正交分解法解决具体的问题.下面举例说明．

一、整体法与隔离法的应用

1.弹簧类平衡问题

【例1】如图1所示，A、B是两个相同的轻弹簧，原长都是10 cm，劲度系数k＝500 N/m，如果图中悬挂的两个物体质量均为m，现测得两个弹簧的总长为26 cm.g取10 N/kg，则（）

A.m＝3 kgB.m＝2 kg

C.m＝1.5 kgD.m＝1 kg

【解析】先以两个物体及弹簧B组成的整体为研究对象，再以弹簧B下面的物体为研究对象，由此可知A的弹力大小是B的弹力两倍，那么A的伸长量是B的两倍，总伸长量是6cm，则A的伸长量为4cm，依胡克定律解得m＝1 kg．

【答案】D

【思路总结】解题的关键是会应用整体法选两个物体及B组成的整体为研究对象，及会应用隔离法选下面的物体为研究对象，从而得出两个弹簧的弹力大小情况．

【练习题1】如图2所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为（）

A.3∶4B.4∶3

C.1∶2D.2∶1

【解析】将两小球及弹簧B视为一个整体系统，因小球处于静止状态，故该系统水平方向受力平衡，则有kΔxAsin 30°＝kΔxC，可得ΔxA∶ΔxC＝2∶1，选项D正确．

【答案】D

2.绳索类平衡问题

【例2】 如图3所示，质量为M的木块A套在粗糙水平杆上，并用轻绳将木块A与质量为m的小球B相连.现用水平力F将小球B缓慢拉起，在此过程中木块A始终静止不动.假设杆对A的支持力为FN，杆对A的摩擦力为Ff，绳中张力为FT，则此过程中（）．

A.F增大B.Ff不变

C.FT增大 D.FN减小

【解析】先以B为研究对象分析，受重力、水平力F和轻绳的拉力FT，如图4所示，由平衡条件得FT=mg/cosθ， F=mgtanθ，θ增大，FT增大，F增大.再以整体为研究对象，受力分析如图5所示，根据平衡条件得Ff=F，则Ff逐渐增大.FN=（M+m）g，即FN保持不變，故A、C两项正确．

【答案】AC

【思路总结】解题的关键是会先应用隔离法选B为研究对象，后选整体为研究对象，画出受力图从而得出结果．

【练习题2】如图6所示，一根粗糙的水平横杆上套有A、B两个轻环，系在两环上的细绳拴住的书本处于静止状态，现将两环距离变小后书本仍处于静止状态，则

A. 杆对A环的支持力变大

B. B环对杆的摩擦力变小

C. 杆对A环的力不变

D. 与B环相连的细绳对书本的拉力变大

【解析】对两环和书本的整体受力分析，竖直方向：2N=mg，可知将两环距离变小后杆对A环的支持力不变，选项A错误；对圆环B受力分析可知，f=Tcosθ；对书本：2Tsinθ=mg，解得f=mg2tanθ （其中的θ是绳与杆之间的夹角），则当两环距离变小后，θ变大，则f减小，与B环相连的细绳对书本的拉力T变小，选项B正确，D错误；同理，杆对A环的摩擦力减小，杆对A环的支持力不变，则杆对A环的力减小，选项C错误．

【答案】B

3.叠加类平衡问题

【例3】如图7所示，两个等大的水平力F分别作用在物体B和C上，物体A、B、C都处于静止状态，各接触面与水平地面平行.A、C间的摩擦力大小为Ff1，B、C间的摩擦力大小为Ff2，C与地面间的摩擦力大小为Ff3，则（）．

A.Ff1=0，Ff2=0，Ff3=0

B.Ff1=0，Ff2=F，Ff3=0

C.Ff1=F，Ff2=0，Ff3=0

D.Ff1=0，Ff2=F，Ff3=F

【解析】以A、B、C整体为研究对象，分析整体在水平方向的受力可知，地面对C的摩擦力为零；以A为研究对象，A处于平衡状态，故C与A之间无摩擦力；以B为研究对象，可知C与B之间的摩擦力与F平衡，即Ff2=F．

【答案】B

【思路总结】叠加类平衡问题常常要选整体为研究对象分析整体所受外力情况.分析整体内力情况往往就要应用隔离法来解决问题．

【练习题3】如图8所示，在水平桌面上放置一斜面体P，两长方体物块a和b叠放在P的斜面上，整个系统处于静止状态.若将a与b、b与P、P与桌面之间摩擦力的大小分别用f1、f2和f3表示.则（）．

A.f1=0，f2≠0，f3≠0

B.f1≠0，f2=0，f3=0

C.f1≠0，f2≠0，f3=0

D.f1≠0，f2≠0，f3≠0

【解析】对整体受力分析可知，整体相对地面没有运动趋势，故f3=0；再将a和b看成一个整体，a、b整体有相对斜面向下运动的趋势，故b与P之间有摩擦力，即f2≠0；最后对a受力分析可知，a相对于b有向下运动的趋势，a和b之间存在摩擦力作用，即f1≠0，C项正确．

【答案】C

二、分解法、合成法及正交分解法的应用．

【例4】 如图9所示为缓慢关门时（图中箭头方向）门锁的示意图，锁舌尖角为37°，此时弹簧弹力为24 N，锁舌表面较光滑，摩擦不计（sin37°=0.6，cos37°=0.8），下列说法正确的是（）．

A.此时锁壳碰锁舌的弹力为40 N

B.此时锁壳碰锁舌的弹力为30 N

C.关门过程中，锁壳碰锁舌的弹力逐渐减小

D.关门过程中，锁壳碰锁舌的弹力保持不变

【解析】锁壳碰锁舌的弹力按效果分解如图所示，其中F1=FNsin 37°，且F1大小等于弹簧的弹力24 N，解得锁壳碰锁舌的弹力为40 N，A项正确，B项错误；关门过程中，弹簧的压缩量增大，弹簧的弹力增大，故锁壳碰锁舌的弹力逐渐增大，C、D两项错误．

【答案】A

【思路总结】解题的关键是会应用分解法，找出锁壳碰锁舌的弹力的两个效果方向，从而画出力的分解图，从而推理出各选项的正确与否．

【练习题4】如图11所示，将绳子的一端系在汽车上，另一端系在等高的树干上，两端点间绳长为10 m.用300 N的拉力把水平绳子的中点往下拉离原位置0.5 m，不考虑绳子的重力和绳子的伸长量，则绳子作用在汽车上的力的大小为（）

A.1500 N B.6000 N

C.300 N D.15003 N

【解析】如图12所示，由题意可知绳子与水平方向的夹角正弦值为sin α＝0.55＝0.1，所以绳子的作用力为F绳＝F2sin α＝1500 N，A项正确，B、C、D项错误．

【答案】A

【例5】如图13所示，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N，初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（α>π2）.现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变.在OM由竖直被拉到水平的过程中

A.MN上的张力逐渐增大

B.MN上的张力先增大后减小

C.OM上的张力逐渐增大

D.OM上的张力先增大后减小

【解析】以重物为研究對象，受重力mg，OM绳上拉力F1，MN上拉力F2，由题意知，三个力合力始终为零，矢量三角形如图14所示，夹角α不变，则F1与F2的夹角不变，所对应弦长不变，所以矢量三角形在同一圆上.在F2转至水平的过程中，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以A、D正确；B、C错误．

【答案】AD

【思路总结】如果是解决三个共点力的动态平衡问题，若应用三角形合成法，则解答过程往往快捷，解题的关键是会画出三角形合成图像．

【练习题5】如图15所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点.现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是

A.FN保持不变，FT不断增大

B.FN不断增大，FT不断减小

C.FN保持不变，FT先增大后减小

D.FN不断增大，FT先减小后增大

【解析】本题考查物体的受力分析、共点力的动态平衡问题.小球在三个共点力作用下达到平衡状态：其中一个力G的大小和方向均不发生变化，另一个力FT的方向改变时，第三个力FN方向不变大小改变.利用力的三角形法则作出如图16的示意图.可见选项D正确．

【答案】D

【例6】如图17所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO' 悬挂于点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力向右上方拉b，整个系统处于静止状态.若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则（）

A.绳OO' 的张力也在一定范围内变化

B.物块b所受到的支持力也在一定范围内变化

C.连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化

D.物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化

【答案】BD

【解析】由题意，在F保持方向不变，大小发生变化的过程中，物体a、b均保持静止，各绳角度保持不变；选a受力分析得，绳的拉力T=mag，所以物体a受到绳的拉力保持不变.由滑轮性质，滑轮两侧绳的拉力相等，所以b受到绳的拉力大小、方向均保持不变，C选项错误； a、b受到绳的拉力大小方向均不变，所以OO' 的张力不变，A选项错误；对b进行受力分析，并将各力沿水平方向和竖直方向分解，如图18所示.由受力平衡得：Tx+f=Fx，Fy+N+Ty=mbg.T和mbg始终不变，当F大小在一定范围内变化时；支持力在一定范围内变化，B选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D选项正确；故答案选BD．

【思路总结】共点力刚好三个，一般情况是应用四边形合成法或三角形合成法解决问题，若共点力超过三个则往往要建立X-Y平面坐标轴应用正交分解法来解题．

【练习题6】如图19所示，两个半圆柱A、B相接触并静置于粗糙水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R.C的质量为2m，A、B的质量都为m，A、B、C均保持静止，重力加速度为g.（1）求A对C的支持力大小N；（2）求地面对A的支持力大小F和摩擦力大小f．

【解析】（1）以C为研究对象，受重力2mg，A、B对C的支持力N，如图20所示.其中θ为30°．

所求支持力大小N=2mg/2cos 30°=23mg/3.

（2）以A为研究对象，受重力mg，C对A的压力N，地面对A的支持力大小F和摩擦力大小f，如图21所示．

X轴方向：

f=Nsin 30°=3mg/3.

Y轴方向：

F=mg+Ncos 30°=2mg.

【答案】（1）N=23mg/3；（2）F=2mg、f=3mg/3.

责任编辑 李平安