GeoGebra软件在高中物理“抛体运动：打水漂”教学中的应用

李立琛 白友钰 张静 王忠花 郭杰

摘   要：“打水漂”是人类最古老的游戏之一，也常作为高中物理教学中“抛体运动”的实例。“打水漂”涉及牛顿第二定律、液体压强、抛体运动等知识点，原理较难理解，物理过程较为复杂。采用GeoGebra软件动态展示并分析“打水漂”的运动过程，可以降低学生在解题过程中的思维障碍，有助于学生建立物理图像，提高学生的物理核心素养。

关键词：GeoGebra；打水漂；抛体运动

引言

打水漂是人类最古老的游戏之一。只要选择一块大小适当的石头，斜着朝平静的水面抛去，石头就会在水面上连续跳跃若干次后才沉入水中。如何能够让石头漂得更远、在水面弹跳次数更多？美国人拉塞尔·拜尔斯在2007年７月打水漂时，石子竟然在水面跳动51次，小石片在水面大约行进76 ｍ[ 1 ]。法国物理学教授L·Bocquet对“打水漂”这一过程进行了深入研究，将“打水漂”里所蕴含的物理规律展现在其研究论文《The physics of stone skipping》[ 2 ]中。

抛体运动中的“打水漂”问题是高中物理习题教学中的一个重难点。“打水漂”的过程可以近似看作由一段平抛运动，多段匀减速直线运动和多段水平及竖直方向的速度不断减小的斜抛运动组成，因为涉及多段运动状态的分析，很多学生在建立物理模型的过程中遇到困难，不能很好地解题。

在传统教学中，由于“打水漂”的原理涉及大学物理中流体力学的知识，许多教师对于这类问题的原理解释往往会跳过或者一笔带过，对于其运动轨迹则采取口述或者粗略板书的方式，这导致学生没能理解“打水漂”的运动过程、没有明确的认知。GeoGebra是一款操作简单、功能强大、免费开源的教学软件。近年来，GeoGebra软件在物理教学中起到了积极的作用。文献[ 3 ]中采用GeoGebra软件探究了抛体运动中的最值问题，使教师在进行抛体运动教学时，不仅有理论推导，也能给学生带来感性体验，提高了学生的观察能力与分析思考能力。由此可见，GeoGebra能够帮助学生构建物理模型，搭建思维“支架”。

文章使用GeoGebra软件追踪物体做“打水漂”运动过程中轨迹及状态的变化，使其直观化、动态化，创设一个有助于学生理解的学习情境，帮助学生更清晰了解该复杂的物理过程。

1  例题及原理解释

如图1所示，小明站在岸边，右手在离水面高度h0=1.8 m处，将一质量为m=20 g的小石片以水平初速度v0=8 m/s抛出，玩“打水漂”。小石片在水面上滑行时受到水平方向的阻力恒为Ff=0.4 N，在水面上弹跳数次后沿水面的速度减为零，并以a=0.5 m/s2的加速度沿竖直方向沉入水深为h=1 m的河底。假设小石片每次均接触水面Δt=0.04 s后跳起，跳起时竖直方向上的速度与此时沿水面滑行的速度之比为常数k=0.75，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。求小石片从抛出到开始下沉的时间t。

在教学过程中，笔者发现许多学生对于小石片会在水面上弹跳这个过程存在疑惑。学生纷纷提出问题：“为什么小石片在做平抛运动到达水面时会斜向上弹起？是因为受到斜向上的力吗？那这个力又是从哪来的呢？”由此可见，在教学中对于“打水漂”运动的原理解释十分重要。

原理：当一块小石片打入水中时，会对接触面部分的水面进行挤压，石头将一部分水向下推开，如图2所示，α为石块表面和水面之间的夹角，β为石块速度ｖ和水面之间的夹角。此时与小石片底部接触的一部分液体会保持与石片相同的速度，而未与小石片接触的液体会保持静止。根据伯努利原理，流速大的地方压强小，即p0＞p1，这时两部分液体之间的压强差会使得小石片存在一个向上的推力Fy。压强差越大，向上的推力Fy越大。当其推力Fy能够克服重力时，就会被弹起。石片跳跃多次之后速度会减慢，两部分压强差减小，获得的推力不再能够抵消重力作用，最后石片沉入水底。

需要注意的是，考虑到中学生尚未学习伯努利原理，故可以应用生活中的例子帮助学生理解，如：当一列列车高速驶来时，列车周围的空气被带动而快速运动起来，压强减小，如果旅客离列车过近，身体前后就会出现明显的压强差，身后较大的压力就会把旅客推向列车。所以在动车站通常都会有黄色警戒线，避免旅客受到伤害。

上述解析对小石片在水面上运动过程的分析看似简单，在實际教学过程中，许多学生的思维进展到小石片作平抛运动到水面后就停滞了，它们会做什么运动呢？水平和竖直方向的速度会怎么变化呢？运动的轨迹是怎么样的呢？这可能也是许多学生心中的疑惑。

为了帮助学生更直观的了解“打水漂”运动的过程，在GeoGebra软件中画出其示意图。为了帮助学生对比弹跳不同次数时其运动轨迹的不同，将其运动轨迹整合到一个画面中。

3  利用GeoGebra软件解决问题

3.1  GeoGebra软件参数设置

（1）取值Δt，Ff，v0，m，g，h0，k。取滑动条t1，t2，n，分别为小石片做平抛运动的时间，小石片做斜抛运动的时间以及小石片弹跳的次数，如图3所示。

（3）以点G为小石片在水面上做斜抛运动时所处的位置，此时小石片在水平方向做初速度为vx=v0-a1Δt（n-1）的匀速运动，竖直方向做初速度为vy=kvx=k［v0-a1Δt（n-1）］，加速度为-g的匀减速直线运动。

故取值vx=v0-a1Δt（n-1），vy=k［v0-a1Δt（n-1）］，

（4）作点D（X（B）+v0，y（B）），E（X（B），y（B）-gt1），F（X（B）+v0，y（B）-gt1）。选择“向量工具”，作向量CD，CE，CF。作向量DF，EF，右击设置为虚线。

（6）隐藏不需要的对象，为各个对象设置好标签。设置点C及点G显示其轨迹。

3.2  GeoGebra软件可视化和解决问题

该题目中“打水漂”运动可分为多个过程，首先为一段平抛运动，之后为多段匀减速直线运动及斜抛运动交替进行，最后沉入水底。通过调节滑动条t1，可以得到小石片做平抛运动时的轨迹，当轨迹与x轴相交时，记录小石片做平抛运动的时间t1，此时G点位置为小石片在水面上滑行了nΔt时间后所处的位置，如图4所示。小石片作平抛运动时任意一点的运动状态如图5所示。

通过调节滑动条t2，可以得到小石片做斜抛运动的轨迹，如图6所示。当轨迹与x轴相交时，记录此时的时间t2，记作t2n，之后将t2调零，使n+1，继续调节滑动条t2，当轨迹与x轴相交时，记录此时的时间t2，记作t2n，以此类推。小石片作斜抛运动时任意一点的运动状态如图7所示。

3.3  利用GeoGebra软件拓展分析

4  结束语

在教学中使用GeoGebra软件，可以有效地帮助学生建立物理模型，明晰物理过程，将其与日常生活中的物理现象结合，更是能帮助学生将所学习的物理知识应用于实际。经过上述分析，学生对“打水漂”运动过程有了更深的理解。通过此题，教师可以引导学生发现若抛出的初速度越大，“水漂”就能打的越高，打的越远。同时，教师可以让学生在课后自己尝试一下“打水漂”这项运动，使学生发现“打水漂”的距离不仅与石片抛出的初速度有关，还与石片自旋抛出的角速度，石片抛出时的角度等因素有关，这个过程对提高学生的科学素养有重要的作用。

参考文献：

［1］ 杨宏兵.打水漂的物理学原理及其应用[J].物理教师，2015，36（5）：54-55.

［2］ Bocquet L.The physics of stone skipping[J].American Journal of Physics ，2003，71（2）：150-155.

［3］ 乔永海.用软件工具探究抛体运动的最值问题[J].物理教学探讨，2021，39（2）：46-48.