微项目学习融入数学常态课的实践

徐彩凤　林俊晨

【摘 要】 数学微项目学习是数学项目学习的一种方式，它继承了数学项目学习优势，同时也能融入数学常态课.以“对数函数的概念与性质”单元第一课时为例，从微项目主题、结构性的知识网络、驱动性问题、活动设计和成果展评五个环节对微项目学习融入数学常态课进行实践，尝试转变教学模式，促进学生主动建构知识网络，提升教学质量.

【关键词】 数学项目学习；数学微项目学习；數学常态课；对数函数

“项目学习”是近年来教育界的热点，国家对项目学习的开展十分重视.2019年《国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》提出注重“项目设计”等跨学科综合性教学.同年，中共中央、国务院印发《关于深化教育教学改革全面提升义务教育质量的意见》提出开展项目化学习.2020年版的普通高中课程标准提出了大单元教学、主题学习、任务群等体现项目学习理念的学习方式改革的要求.学科项目化学习的设计一方面是基于课程标准中的关键能力或概念，另一方面又指向创造性、批判性思维、探究与问题解决、合作等重要的学科素养.这种项目化学习的定位，体现了将学科学习的学与教方式的变革与真实问题解决情境的整合［1］.《普通高中数学课程标准（2017年版2020修订）》指出，数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律［2］.可见，数学与现实世界密切相关，来源于生活，又服务于生活，高中数学的很多内容都可以采用项目学习，项目学习的实施有利于促进学生实践能力和创新意识的发展.

1 数学项目学习

从数学教学模式角度看，数学项目学习是一种重视学生主体性发挥的教学方法，特别是学生的学习活动动机和学习责任感.从课程设计的角度考虑，数学项目学习的设计是特定课程开发的过程.在数学项目教学与课程实施实践中，还需要考虑如何为学生提供一定复杂性、真实且充满问题的学习情境，以促进学生持续的探索和学习.数学项目学习有助于学生接触到各个学科领域，使他们更易于理解数学概念，体会不同学科之间的相互联系，激发学生的学习兴趣，促进学生主动参与数学学习，启迪思维，引导学生探寻问题，寻求解决策略，促进反思与批判性思维［3］.

2 数学微项目学习

与传统的数学教与学相比，数学项目学习实践对教师和学生都是一种挑战，教师和学生都存在对项目学习的“不适应”.高中数学教学因其内容多，时间紧，很多教师不敢贸然采用项目学习教学方式，因此数学项目学习并未在高中数学教学中实现大规模推广应用.正是在此背景下，数学微项目学习应运而生.夏雪梅博士在《项目化学习设计：学习素养视角下的国际与本土实践》一书中界定微项目学习为在课堂中为学生提供15～20分钟的探索性项目任务，它的核心价值取向和设计思路与学科、跨学科项目化学习是一样的，只是在一节课中很难进行完整设计，通常只取其中的驱动性问题、探究性实践、社会性实践这几个要素［4］.数学微项目学习具备数学项目学习以学生为中心、强调学习的情景化、问题驱动等优点，它将数学学科核心知识设计成可操作易实施的微项目，使其小到被常规课程所容纳，教师可以方便地将数学微项目学习更好地融入数学教学中，从而促进课堂育人方式的转变.数学微项目学习具有六个特征（如图1），能提高学生思维的参与度，更好地把握数学本质，促进学生实践能力和创新意识的发展.

3 微项目学习融入数学常态课的实践

设计数学微项目时，需要考虑如何紧扣本单元的核心内容选取有挑战性的主题，项目实施时用到哪些知识点，学生在实施过程中会碰到哪些困难，怎样通过设计驱动性问题来突破，预设学生能达到怎样的水平等等.因此，一个完整的数学微项目学习需包括微项目主题、结构性的知识网络、驱动性问题、活动设计和成果展评五个环节.下面以人教A版必修第一册“对数函数的概念与性质”单元第一课时为例进行微项目学习设计.

3.1 微项目主题

项目学习的主题是项目的“心脏”，它指某个待探究的数学课题或者亟待解决的情境性问题［5］.每个微项目主题的设计要明确指向本课时的学习目标.在此基础上，要对整个单元内容进行分析和课时安排，具体如表1所示.

基于此，确定本单元项目主题为“考古学家如何利用碳14测年技术来确定年份？——指数函数和对数函数的相互关系”.具体可描述为：碳14测年技术被比喻为“计算时间的时钟”，通过这一方法可以建立人类历史的时间标尺，为人类社会各个阶段的发展确立时间点.我国著名考古学家夏鼐先生评价“碳14测定年代法的采用，使中国的新石器考古学因为有了确切的年代序列而进入了一个新时期”.

指数函数y=（1/2）^{x/5 730}（x≥0）描述了死亡生物内碳14的含量y随死亡时间x的推移而不断衰减的规律.已知考古学家用科学仪器测出死亡生物体碳14的含量为0.8，请判断该生物死亡了多长时间，并建立相应函数模型.

3.2 结构性的知识网络

数学项目的主题一般基于相应的数学内容或单元内容，学生在进行项目化学习时应先建构相应主题的知识网络.在学习对数函数之前，学生已经知道对数运算是指数运算的逆运算.按照这一思路，利用对数函数是指数函数的反函数这一性质，研究对数函数问题自然也是指数函数“反过来的问题”.本项目涉及的核心概念有对数函数的定义、对数函数的图象与性质、反函数，可建构如下知识网络（图2）.

3.3 驱动性问题

数学项目的驱动性问题是根据本项目的重难点进行设置的，进行项目前先预设学生学习过程中可能出现的障碍，再以问题情境驱动微项目学习.本项目中，学生需要面对如何获得对数函数的概念，如何利用指数函数的图象得到对数函数的图象以及如何研究对数函数的性质等困难，因此设计以下驱动问题：

问题1：前面利用指数与对数的相互关系，我们得到时间x关于碳14含量y的函数模型x=log5 7301/2y，y∈（0，1］.一般地，对于指数函数y=ax（a>0，且a≠1），同理可得x=logay（a>0，且a≠1），这是一个函数吗？

追问：自主阅读人教A版必修第一册第130页例1之前的内容，你能根据指数函数与对数函数对应关系之间的联系，得到对数函数的底数的取值范围、定义域和值域吗？

问题2：由问题1可知指数函数和对数函数的定义域和值域互换，那么指数函数图象上的点和对数函数图象上的点是不是有此特征呢？

追问：在同一个直角坐标系中画出函数y=2x和函数y=log2x的图象，并观察两个图象之间有什么关系？不用描点法，你能借助y=2x的图象作出y=log2x的图象吗？

问题3：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称，那么底数互为倒数的两个对数函数是否也有某种对称性呢？依据你得到的结论，利用函数y=log2x的图象画出函数y=log1/2x的图象.

问题4：类比指数函数性质的研究过程，你能写出对数函数y=logax（a>0，且a≠1）的性质吗？

问题5：对比指数函数和对数函数的图象和性质，你有什么发现？能得到什么结论？

问题6：回到项目主题，从数学角度解释死亡时间随碳14含量的衰减而变化的规律.

3.4 活动设计

活动设计是根据驱动问题来设计，是有目的的行动，以避免学生活动变成一种盲目的忙碌、活跃.学生通过主动探索和交流，能获得新知识、新的思想方法和行动策略等.本项目活动设计如下：

活动1：根据指数和对数之间的关系，得到对数函数的三要素，指出对数函数和指数函数的底数相同，定义域和值域互换.

活动2：教师先示范通过指数函数y=2x的图象得到对数函数y=log2x的图象的方法，观察得出指数函数y=2x的图象和对数函数y=log2x的图象关于y=x对称，指出已知y=2x的图象就可以利用这种对称性得到y=log2x的图象.

活动3：学生类比指数函数中的研究方法，在同一坐标系中利用对数函数y=logax（a=2，3，4）的图象，根据底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称，利用对称性得到对数函数y=logaxa=1/2，1/3，1/4的图象.

活动4：类比指数函数的性质，分析对数函数的性质.

活动5：比较指数函数和对数函数的图象和性质，指出指数函数和对数函数互为反函数.

活动6：学生利用今天所学知识，对死亡时间随碳14含量的衰减而变化的规律进行分析.

3.5 成果展评

项目成果展示、评析是微项目学习的高潮.在活动过后，及时展示学生作品，先比照差异，通过师生互评、生生互评等方式分析原因，学生在这个过程中可以进一步形成认识，激发学生思维发展.同时在课堂最后，教师要对小组工作和成果进行总结性评价，可以是对成果是否达到目标的评价，也可以是对学生数学素养、问题解决、合作交流能力的评价.通过评价，提高学生学习兴趣，帮助学生认识自我，增强自信；帮助教师改进教学，提高质量.如此，学生的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验得到再次强化，能更好地建构自己的知识体系.

结合上述“对数函数的概念与性质”单元第一课时的微项目设计和实践，拟构建了微项目学习融入数学常态课教学的学习过程模型（图3）.

总之，在进行数学微项目教学时，教师首先要选好紧扣素养目标的、有挑战性的微项目主题，以激发学生的求知欲.其次建构结构性的知识网络，通过设计驱动性问题，并辅以相对应的活动设计，启发学生思考、合作、交流和探究实践，在此过程中，学生经历了数学信息接受、处理和表达的过程，修正改善内在的数学知识和数学观点，对数学认知的完善有着重要的作用.同时在成果展评阶段，教师要对小组工作和成果进行总结性评价，形成完整性知识结构，这是对项目活动中数学知识的再次梳理，可以帮助学生强化概念和原理，更好地建构自己的知识体系.因此，微项目学习适时尝试融入数学常态课，可以改进高中数学课堂教学模式，提升课堂教学质量，发揮学科育人功能.

参考文献

［1］ 夏雪梅.学科项目化学习设计：融通学科素养和跨学科素养［J］.人民教育，2018（01）：62.

［2］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.1：1.

［3］ 徐斌艳.数学核心素养驱动的数学项目学习［J］.中学数学参考，2021（28）：6.

［4］ 夏雪梅.项目化学习设计：学习素养视角下的国际与本土实践［M］.北京：教育科学出版社，2021.3：18.

［5］ 徐斌艳.数学素养与数学项目学习［M］.上海：华东师范大学出版社，2021.7：16.

作者简介 徐彩凤（1984—），女，福建厦门人，一级教师；市数学学科带头人培养对象，区数学学科带头人；曾获同安区优秀教师、区优秀共产党员称号和厦门市技能赛三等奖和创新赛二等奖；主要从事高中数学教学研究.

林俊晨（1999—），男，福建厦门人，二级教师；区骨干教师，曾获区级“基础教育优质微课程”高中数学学科二等奖；主要从事高中数学教学研究.

基金项目 福建省中青年教师教育科研项目（JSZJ21064（福建教育学院资助））；厦门市教育科学“十四五”规划2022年度课题“项目式学习下高中数学综合实践活动教学研究”（22059）和厦门市教育信息技术研究2022年度课题“TPACK视角下信息技术深度融合数学教学实践研究”（XMKT2208）.