浅析“对勾函数”的顶点

【摘 要】 “对勾函数”的实质是一般双曲函数. 通过坐标系旋转的方法和对曲线相关几何性质的分析，给出严格的推导，证明该曲线为双曲线，从而对这类函数的顶点及其所对应双曲线的顶点位置进行讨论，通过甄别二者的差异，加深对方程与曲线的概念理解.

【关键词】 “对勾函数”；坐标旋转；数形结合

1 问题提出

数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”这句话是对数学学习中数形结合思想的形象阐述. 数形结合思想是学习数学的重要途径，尤其是解决函数问题的“杀手锏”. 在学习基本初等函数时，有这样一类特殊的函数［1］，其解析式可写为f（x）=ax+b/x（a>0，b>0），由于其图象酷似试卷上的对勾，故而得名“对勾函数”.根据均值不等式，当x>0时，ax+b/x≥2ab，当且仅当x=b/a时取最小值，并且在0，b/a单调递减，在b/a，+∞单调递增，再利用其奇偶性，不难得出其在－b/a，0单调递减，在－∞，－b/a单调递增. 我们将函数图象的最高点或者最低点称为函数的顶点，因此，点Ab/a，2ab，B－b/a，－2ab即为“对勾函数”的顶点，如图1所示.

实际上，这里提到的函数的顶点，与曲线的顶点并不完全相同. 例如二次函数顶点，就是其图象抛物线的顶点，这并无异议. 但是严格的说，我们还没有弄清“对勾函数”图象的类型，这样的图象是否有顶点还属未知. 那么，对勾函数的图象到底是什么曲线呢？这样的曲线有顶点吗？点A，B是不是这条曲线的顶点呢？接下来，我们先从其图象属性谈起.

2 图象分析

根据“对勾函数”的解析式，不难得出其图象有两条渐近线，即直线x=0和y=ax，综合函数的其他性质，结合学生所学的内容，可以初步猜测函数的图象双曲线. 我们通过坐标旋转的方式推导其标准方程. 为简便且不失一般性，接下来的推导将函数简化为f（x）=x+1/x.

如果“对勾函数”的图象确实为双曲线，那么双曲线的实轴和虚轴将在两条渐近线的角平分线上，如图2，

不难得出图中虚线对应的方程为y=x·tan3π/8，以此线为实轴，只需将图中坐标系顺时针旋转3π/8. 这里借助复数的三角形式进行推导.

3 顶点辨析

大部分学生并没有严格推导过“对勾函数”图象的属性，因此很可能误以为函数的顶点就是其曲线的顶点. 现在曲线特征已经清楚了，很显然二者并不是同一位置的点. 双曲线的顶点，指的是双曲线实轴的端点，也就是双曲线与实轴所在直线的交点. 按前面的推导，对函数f（x）=x+1/x来说，其顶点应该在曲线与对称轴y=x·tan3π/8的交点C，D处（由于数值较为复杂，此处不提供坐标），而我们前面提到的点A（1，2）和点B（-1，-2）显然不在直线y=

x·tan3π/8上，而是在直线y=2x上. 如图3，以双曲线的右支为例，可以直观地认为点A（1，2）是函数图象的最低点，但C点则为曲线真正的顶点.

如果我们将以上的推导结果呈现给学生，可能他们会有一点点失望，前面辛辛苦苦推导出来的双曲线的顶点，并不是“对勾函数”的顶点. 那我们的这一番辨析和证明，还有什么实际意义吗？双曲线的这两个顶点，在函数运算中好用吗？

相信大部分学生的回答是否定的，不好用，以前甚至没听说过. 然而，这样的辨析和推导非常有意义，至少我们能从中探究曲线類型的特征，能将解析几何和函数图象深入地有机结合，这样的融合，不仅有实际意义，更具备很高的理论价值.

4 问题小结

学生对函数的基本知识和基本方法已经有了较好的掌握，对基本初等函数的性质和图象有了比较深刻的认识. 随着学习的深入，我们会不断遇到曾经熟悉的知识的新面孔. 例如前面提到的二次函数图象是抛物线，那么这个函数图象上的点是不是真的满足抛物线“曲线上的点到平面内定点距离与到定直线（定点不在定直线上）的距离相等”这一标准定义呢？还有学生初中学过的反比例函数，它的图象也是双曲线，那么曲线上的点也符合双曲线的定义吗？这其实是对老师和学生提出的更高要求，我们需要在不断的学习新知识的过程中加深对已有知识内涵的探究和理解，这样的动态过程非常可贵，值得坚持和大力发扬.

当然，本文中用到的一些方法也并非是最优解法，学生完全可以提出自己的优化方法. 例如坐标系旋转问题，如果有更加简洁的方式，也完全可以替换；还比如双曲线特征的切入角度，大家也都可以不断完善不断修正. 我们引导学生用自己所学，探究课本上或生活中的数学问题，这将使他们的学习不断生活化，不断充满挑战，也必然不断增添新的趣味.

回到前面的问题. 从实用性角度看，显然A，B两个点更加好用，或者说更“漂亮”. 但实事求是的说，学习数学的真正意义是研究问题和解决问题，其前提是学习者必须要搞清楚问题的实质，知道其所以然，那么关乎命名、称谓等外围的问题就“各花入各眼、各名归各人”了. 就好比“对勾函数”，这并不是课本上给出的规范名称，但其通用程度并不亚于指数函数、对数函数等“正牌函数”. 可沿用至今，学生似乎并没有对这个名称左右挑拣：“对勾函数”能体现这个函数的什么性质呢？反映函数幂次了吗？体现函数性质了吗？涉及到运算特征了吗？都没有. 但是，论形象，论生动，这又是最佳的名称，而我们广泛提到的所谓数学核心素养［2］，往往在这样形象和生动的意象中慢慢酝酿成型，深入同学们的内心.

总而言之，通过不断的探究、辨析、对比、认定，我们应该更加清楚地认识到，既合情又合理的现象固然大家喜闻乐见，但真理的存在及其意义是我们每个人都无法改变的，我们需要探究它、优化它，但前提必须是保护它、尊重它；同样，实际的称谓和意义是我们可以适当赋予的，我们需要使之科学化、规范化，但目的一定是使我们所学知识更加生动化、形象化. 这既是数形结合的较高境界，也是理论和现实的完美融合.

参考文献

［1］ 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著. 普通高中课程标准实验教科书·数学（B版）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 章建跃. 树立课程意识，落实核心素养［J］. 数学通报，2016，55（05）：1-4.

作者简介 崔鹏（1984—），男，高级教师，年级组长，北京数学会会员，海淀区学科带头人，海淀区名师工作站出站；主要研究数学课堂教学、教材教法分析以及数学学科德育教学.

基金项目 北京市海淀区教育科学“十四五”规划重点课题“基于核心素养的高中数学教学情境设计与研究”（HDGH20210216）.