基于主从图神经网络的拓扑一致模型等几何分析重用方法

摘 要：目前，基于深度学习的偏微分方程求解工作聚焦于固定几何区域，存在难以适配几何模型实时变化的问题，因此提出了一种基于主从图神经网络的拓扑一致模型等几何分析重用方法。该方法利用图神经网络预测偏微分方程的解。在自制数据集上进行实验验证，结果表明，即使在复杂几何模型上预测复杂方程，该方法仍能将数值解的相对误差控制在10%以内。这证明了该方法能够高效且精确地在一组拓扑一致的B样条模型上取得光滑连续的数值解，为基于深度学习的偏微分方程求解工作提供了创新思路。

关键词：偏微分方程;拓扑一致;重用;等几何分析;主从图神经网络

中图分类号：TP391 文献标志码：A

0 引言（Introduction）

计算机辅助工程（CAE）是一种近似数值分析方法，它利用计算机技术辅助求解复杂工程和产品结构力学性能，并优化结构的性能，如何高效、准确地得到偏微分方程（PDE）的解是其需要解决的核心问题之一。计算机辅助设计（CAD）是一种利用计算机及其图形设备协助设计师进行设计工作的技术，通常用于表示产品结构和创建数字化产品[1]。

尽管CAD和CAE的起步时间相近，但是发展路径却相对独立。CAD主要采用样条模型描绘几何模型，而CAE则使用网格构建分析模型。因此，当在CAE系统中对CAD产品进行有限元分析（FEA）时，需要将样条模型转化为网格，这一过程导致了频繁的数据交换与大量的资源浪费。为了实现CAD与CAE的无缝集成，HUGHES等[2]基于样条理论和等参思想，提出了等几何分析（IGA）方法。

虽然IGA的计算效率相比于FEA的计算效率有了很大的提升，但是其所需的高阶几何表示仍需要较长的计算时间，无法满足实时仿真的需求。近年来，深度学习在多个领域表现优异，将深度学习与PDE求解相结合的智能仿真方法也层出不穷。然而，目前的研究主要专注于单一几何区域的PDE求解，对处于同一仿真条件但几何区域实时变化的复杂重用任务，现有方法不相适配。因此，本文提出了一种基于主从图神经网络的拓扑一致模型等几何分析重用方法，该方法能够在一组拓扑一致的B样条模型上快速且准确地预测得到光滑连续的数值解。

1 相关工作（Relatedwork）

1.1 固定区域的智能仿真工作

物理信息神经网络（PINNs）[3]自诞生起就备受关注，其基本原理是将物理方程集成到网络中，并使用控制方程的残差项构造损失函数，以限制可行解的空间。学术界和工业界的研究人员已经开始尝试通过各种方式利用PINNs，例如多物理仿真网络（SimNet）[4]以及用于科学计算的机器学习库（DeepXDE）[5]等工具。鉴于卷积神经网络（CNN）的强大特征学习能力，将其应用到PDE求解的研究日益增多。ZHU等[6]采用了卷积编码器-解码器神经网络方法以及基于条件流的生成模型用于求解PDE。PeRCNN研究是致力于动态系统的数据驱动建模设计，它结合了稀疏回归技术用于提取主要的候选函数和系数，通过迭代优化过程，对网络参数进行微调，细化PDE结构和系数[7]。

CNN常用于规则物理域的求解工作，对于不规则物理域，将其视作图数据并利用GNN 处理的思路备受重视。GAO等[8]提出了一种将图卷积神经网络（GCN）与PDE的变分结构相结合的新框架，以便处理非结构化网格的不规则几何图形。CFD-GCN研究是利用GCN进行流场预测，将从粗糙网格中得到的解上采样并加入GCN中以提高模型的预测性能[9]。

1.2 固定区域的智能仿真工作

针对仿真条件固定但仿真区域不断变化的情况，THUEREY等[10]把机翼流体仿真和深度学习结合以实现智能仿真重用工作。首先从低速翼型风洞试验（UIUC）数据集中获取到1505个不同的机翼模型，通过限定雷诺数和攻角的范围得到初始速度场。其次将不同的机翼模型以及初始速度场输入开源软件OpenFOAM中进行流体仿真，得到雷诺平均纳维斯托克斯（RANS）方程的解，即神经网络输出待比较的实际解。最后利用医学图像分割神经网络（Unet）[11]在不同的机翼模型上得到RANS方程的预测解，并将其与实际解进行比较，不断地对网络模型迭代优化以提高其预测精度。

THUEREY等[10]的研究主要使用FEA方法，导致网络模型得到的预测解不连续，对于未被采样到的数据点需要通过插值得到数值解，从而限制了预测精度。为了克服这一局限，并借鉴XU 等[12]在等几何分析（IGA）计算重用方面的成果，WANG等[13]提出了一个基于Unet3+[14]的IGA智能仿真重用方法，在一组拓扑一致的B样条模型上得到光滑连续的数值解，实现了真正意义上的重用。然而，受限于CNN架构，该方法需要将B样条模型转换为二维矩阵数据，导致精度的损失以及冗余信息的引入，对预测准确率产生了负面影响。

2 方法（Method）

2.1 问题分析

本文研究可以描述为如何利用基于GNN的深度学习方法快速且精确地预测具有一致拓扑结构的复杂几何泊松方程的数值解。首先，在一组拓扑一致的几何上求解泊松方程，得到相应IGA数值解系数。其次，使用由几何和系数解构成的数据集训练神经网络。所学习得到的GNN模型可以直接预测泊松方程在其他拓扑一致几何上的数值解。该方法的主要应用如下：①对具有不同形状但拓扑结构相同的一系列几何图形进行数值仿真;②对具有变化边界的几何图形进行实时模拟。

在IGA中，将用于精确几何建模的基函数用作数值方法解空间的基函数，对张量积样条基函数进行线性重排序，则计算域Ω可以被参数化为

其中：Ni是双变量基函数的张量积，Pi表示控制几何区域形状的控制顶点，X=（x，y）表示实际笛卡尔坐标，ζ=（ξ，η）表示参数坐标。

那么，PDE的数值解在计算域Ω上的近似表达式可以定义为

其中：ψi=Ni。G-1" （ X） 是形函数，。表示函数复合，ui是待求的控制顶点系数解。

本研究的目标是快速且精确地预测具有一致拓扑结构的复杂几何泊松方程的数值解。在一组拓扑一致的B样条模型上，各模型仅有控制顶点的坐标值不同，而相对应的同一物理问题利用IGA仿真得到的数值解中仅有系数不同。由此可以确定图神经网络的输入和输出，其中输入包含B样条模型的控制顶点特征P 和控制顶点间的邻接信息A，输出包含数值解对应的系数^u。P 由以下两个部分组成：一部分是输入到主网络的四维顶点特征Pc=[x，y，bd，share]，其中x 和y 表示控制顶点的二维坐标，bd 用于标志控制顶点是否在边界上（值为1则表示该控制顶点是边界点，为0则不是），share 用于标志控制顶点是否被多片B样条模型共享（值为1则表示不被共享，为2则表示被两片B样条模型共享，以此类推）;另一部分是输入到从网络中的m 维顶点特征Pc=[u1，u2，…，un]，它代表不同的右端项方程在控制顶点对应的系数解。邻接信息A 由边的集合表示，是通过控制顶点之间的邻接关系得到的。本文的方法流程如图1所示。

2.2 主从图神经网络

受深度算子神经网络（DeepONet）[15]和双流神经网络[16]的启发，本文使用的主从图神经网络（MS-GNN）结构（图2），由主网络（MasterNetwork）和从网络（SlaveNetwork）两个部分的分支网络组合而成。首先，主网络和从网络都分别通过一个3层的多层感知机（MLP）将节点特征映射到高维空间，并利用各自的GNN层提取信息;其次，分别由一个线性映射层映射到同一维度以便后续点乘操作;最后，将经由点乘操作融合后的信息输入到一个6层的MLP中得到一维输出，进行系数解的预测。

GNN有着独特的过平滑现象，受消息传播机制的影响，随着网络深度的加深，节点之间的信息过度传播，导致深层节点的特征难以区分，从而影响网络模型的预测能力。因此，在本文使用的主从图神经网络结构中，主网络由点云转换器神经网络（PointTransformer）[17] 层和第二代残差神经网络（ResnetV2）[18]架构组成的残差单元堆叠构成，残差单元结构如图3所示。

ResNetV2架构将激活函数（ReLU）和批归一化函数（BN）移到权值层之前，形成预激活的方式，使得信息可以在单元间不受阻碍地进行前向和后向的传播，从真正意义上实现了恒等映射，帮助深层网络更有效地利用浅层信息。

作为权值层的PointTransformer起源于点云领域，它在例如语义分割、对象部分分割和对象分类等各种任务中展现出强大的性能。尽管PointTransformer最初是为针对以上特定应用场景设计的，但是经由实验发现，其功能与PDE求解工作需求高度契合。

一方面，PointTransformer利用基于减法的方法计算自注意力系数，使模型能够调整输入特征的各个通道，从而能够更灵活和自适应地进行特征转换，并可以有效地捕获和强调重要的信息，同时抑制不相关或有噪声的成分。另一方面，PointTransformer的一个显著特性是它使用坐标位置编码捕获数据中的局部结构，使得模型可以同时考虑点与点之间的语义关系以及位置关系。

PointTransformer的输入是节点特征的矩阵P=[P1，P2，…，Pn]T，Pi∈Rd，其中n 代表节点的数量，d 表示每个节点的特征维度。该层将产生新的节点特征矩阵P'=[P'1，P'2，…，P'n]T，P'i∈Rd'，每个节点经由PointTransformer层计算后特征维度为d'，PointTransformer层在GNN 中的工作公式、注意系数αi，j和坐标位置编码δi，j的计算方法如公式（3）至公式（5）所示：

其中：pos 表示点的二维坐标;，hθ和γθ是一个3层的MLP;Pi表示目标节点的特征;Pj包括目标节点及其邻域节点的特征;权重矩阵W1，W2，W3∈Rd'×d 。

在原始的PointTransformer 中，需要利用K 最临近（KNN）算法去取得节点的邻域信息，而在B样条网格中，控制顶点的邻接关系天然包含在其中。在本文任务中，我们对PointTransformer进行了改进，采用了GNN形式，可以避免使用KNN算法带来的额外计算开销，同时天然且精确的邻域信息也对提升网络模型的预测精度起到了促进作用。

由于单独的主网络就能够在PDE预测方面取得优良的效果，因此从网络主要起到辅助作用。考虑到过平滑现象的影响，过于复杂的网络设计不仅不能有效地提取信息，而且还会降低模型的泛化能力和增大训练压力。因此，从网络主要通过堆叠较为简单的GCN[19]层实现其功能。GCN层的节点表达式为

其中：i 表示目标节点，N i（ ） 是邻域节点的集合，j 包括邻域及目标节点，d（·）表示每个节点的度（包括自环）。

3 实验及结果分析（Experimentandresultanalysis）

3.1 数据集制作

首先，基于数据增强的思想，研究人员使用偏移、非均匀缩放和旋转等方法生成一组拓扑一致的B样条模型，确保在拓扑关系保持一致的前提下，控制顶点坐标发生变化。本研究制作的数据集主要为3种不同拓扑的B样条模型：洞（hole）、花（flower）和人（human）。

其次，为了防止无界解的出现对神经网络训练产生不利影响，需要限制几何模型的范围，因此使用公式（7）将B样条模型的范围归一化到[0，1]×[0，1]范围内。

再次，利用IGA求解程序求解归一化后的拓扑一致B样条模型，并得到系数解。为了满足IGA求解程序的精度要求，需使用均匀h细化方法增大模型的自由度。细化后的模型及其对应的控制网格示例如图4所示。

最后，将归一化的B样条模型和对应系数解转换成符合GNN输入和输出格式的数据。通过将控制顶点作为节点，将控制点之间的连接关系作为边，就可以很容易地将B样条模型的控制网格转换为对应图结构数据。各种拓扑的B样条模型数据集将按照8∶1∶1的比例分为训练集、验证集和数据集。

本文求解的对象为具有狄利克雷边界条件的二维泊松方程，并且其边界解固定为0：

-Δφ" （X ） =f "（X ） ， X∈Ωφ "（X ） =0， X∈∂Ω （8）

其中：Δ代表拉普拉斯算子，f 是右端项方程，φ 是未知函数，计算域Ω⊂R2，边界为∂Ω。

在3种不同拓扑的B样条数据集上求解右端项为f1=100的常数泊松方程，并制作对应数据集，即hole_f1、flower_f1及human_f1。同时，求解右端项为f2=-100π2sin（2πx）的周期性泊松方程，并制作对应数据集，即hole_f2、flower_f2及human_f2。

3.2 评价指标

为了更好地说明网络预测PDE解的能力，本研究主要使用系数解的绝对误差、数值解的绝对误差、数值解的相对误差和泊松方程的后验误差4种评价指标评估训练后的网络模型的性能。

系数解的绝对误差eu 用于衡量方程预测数值解的系数与实际IGA数值解的系数之间的L1误差，它直接反映了网络的解预测能力，其公式如下：

其中：^u 是网络的预测系数解;u 是实际系数解;n 是系数个数，即控制顶点数量。

eu直截了当反映了系数解的误差，然而对它的预测只是中间步骤。这些解需要通过与B样条基函数线性组合构成一个整体，以表示整个模型的IGA数值解。因此，需要数值解的绝对误差eφh 作为评价指标之一，其公式如下：

其中：φh表示实际数值解，φ^h 表示预测数值解;m 表示几何模型上的采样点个数，为了兼顾效率和准确性，通常设定的采样点不低于模型的控制顶点个数。

为了便于评估不同网络模型的预测性能，本研究还需要利用网络预测数值解与实际数值解之间的相对误差er 作为评价网络模型预测能力的主要评价指标，其公式如下：

为了表明预测数值解是否满足物理规律，本研究同时采用了泊松方程的后验误差ep 作为评价指标之一，其公式如下：

其中，网络预测数值解相对于物理域X =（x，y）的偏导数，最终将通过雅克比（Jacobi）矩阵进行转换，成为样条基函数相对于参数域ζ=（ξ，η）的偏导数。

3.3 训练设置

考虑到目前求解对象主要是狄利克雷边界条件下边界解固定为0的二维泊松方程，计算边界误差没有意义，因此使用适用于狄利克雷边界条件的损失函数，其公式如下：

其中，s 代表不在边界上的控制顶点的数量。

此外，本文使用的激活函数均为ReLU激活函数，优化器为Adam，学习率设置为5e-4，batchsize设置为16，epoch设置为600。

3.4 基于GNN与基于CNN的方法对比实验

为了证明相比CNN，GNN能够更有效地利用B样条模型数据，本研究将在相同的数据集上分别用基于CNN 的方法（IGA-Reuse-Net）与本文使用的MS-GNN中的主网络部分进行对比实验。

IGA-Reuse-Net采用CNN架构实现分析重用，它建立在UNet3+架构上。UNet3+采用了全尺寸跳跃连接，结合了不同级别的低级语义信息和高级特征，并且利用深度监督从多尺度聚合的特征图中学习层次表示，弥补了原始UNet架构的局限性。同时，IGA-Reuse-Net结合了交叉自注意力模块，为每个点的计算提供了全局参考，以增强模型捕捉重要信息的能力。IGA-Reuse-Net在具有复杂边界的拓扑一致几何上预测高精度PDE解方面有着出色的表现。

用于对比的主网络部分架构图如图5所示，由于不需要融合来自从网络部分的信息，因此在单独的主网络中，最后直接由一个3层的MLP得到一维输出，进行系数解的预测。

主网络与IGA-Reuse-Net在6个数据集上的4个误差评价指标结果如表1所示。在所有的误差指标上，主网络的误差值均低于IGA-Reuse-Net。在human_f1和human_f2数据集上，主网络在所有误差指标上都显著降低了约50%。对于hole_f1和flower_f1数据集，主网络仍然表现出优异的性能，其数值解相对误差分别降低了40.14%和47.48%。然而在面对hole_f2和flower_f2数据集时，主网络的方程预测解能力受到了一定的限制，但仍然分别实现了19.01%和8.31%的数值解相对误差降低幅度。

使用CNN处理B样条模型时，需要将其转化为二维矩阵的形式，然而这一过程并不是很自然，为了方便卷积神经网络的计算，原始精确的数据需要进行舍入，在映射到二维矩阵的过程中，必然伴随着精度损失。与此同时，二维矩阵上也包含一堆无意义的点，这些点在卷积的过程中也会参与到计算之中，不仅影响了卷积计算的效率，而且还进一步影响了网络模型的预测能力。

然而，将B样条模型的控制顶点视作节点、控制顶点的邻接关系视作边进行转换的图结构数据是精确的，不会伴随信息损失，同时也不会引入无用的计算点。此外，B样条基函数具有很强的局部支撑性，邻近的控制点对于中心控制点的影响程度更大，这与GNN的基于邻域的消息传递机制非常适配。因此，利用基于GNN的主网络对一组拓扑一致的B样条模型进行重用分析能取得比基于CNN方法更好的结果。

3.5 主从图神经网络与主网络对比实验

虽然目前单独的主网络已能在一组拓扑一致的B样条模型上取得较好的预测求解效果，但是在部分数据集上，如flower_f2和human_f2，其数值解的相对误差仍较大，这主要是模型的拓扑结构较为复杂且求解的右端项方程难度更大导致的。

因此，为了提升模型的预测能力，研究人员在主网络架构的基础上额外附加了一个输入为多个仿真问题系数解的从网络，旨在学习物理方程控制的系统行为，提升解的预测能力。为了更清楚地说明问题，在本节实验中制作了右端项为f3=-100π2sin（2xy）的更为复杂的周期性泊松方程对应的数据集，即hole_f3、flower_f3和human_f3。

为了说明主从网络的有效性及通用性，本研究从两个方面进行对比实验：一方面比较同一拓扑下对于不同右端项的泊松方程解的预测能力，另一方面比较同一右端项下不同拓扑的求解情况。

根据主从网络的结构，从网络中输入的右端项对应的泊松方程系数解，需要与待求解右端项对应的泊松方程系数解不同，防止数据污染。以本文制作的数据集为例，当待求解的是右端项为f1的泊松方程时，从网络将输入右端项为f2和f3的泊松方程的系数解;当待求解的是右端项为f2的泊松方程时，从网络将输入右端项为f1和f3的泊松方程的系数解;当待求解的是右端项为f3的泊松方程时，从网络将输入右端项为f1和f2的泊松方程的系数解。

首先，比较形状为human的B样条模型，分别求解3个不同的泊松方程的结果误差，human模型上主网络与主从图神经网络结果对比如表2所示。其次，将结果进行可视化，human模型上主网络与主从图神经网络数值解误差可视化如图6所示。图6中的每个子图从左往右依次为主网络和主从网络的数值解绝对误差图，以及主网络和主从网络的数值解相对误差图，其中深色部分代表误差较大的区域，浅色部分代表误差较小的区域。

表2中的误差数据表明，在human形状的B样条模型上，从网络的加入使得各个误差指标有了不同程度的降低。以数值解的相对误差为主要分析对象发现，在human_f1、human_f2和human_f3 数据集上，数值解的相对误差分别降低了11.89%、31.01%和36.55%，说明主从图神经网络对于不同右端项数据集有着较强的泛化能力。其中，两个周期性右端项的降低幅度明显大于常数右端项。这是因为在周期性右端项对应的泊松方程数值解中，会有一部分解从极大值到极小值的跳变区域，这部分区域的解预测难度较大，而从网络的加入使得神经网络能在一定程度上学习到这部分跳变的变化规律，从而提升了预测精度。相比之下，其他解正常变化的区域预测难度相对较小，因此预测精度的提升幅度不大。

表2中的数据结果与图6的可视化结果相互印证。在相对误差图中，浅色区域代表求解较准确的区域;而误差主要集中于深色区域，即解发生跳变的区域。主从网络的相对误差图中深色区域明显较少，证明从网络的加入使得神经网络能够学习到解变化的规律。

本研究同时做了右端项为f2时，在3种拓扑B样条上主从图神经网络与单独的主网络的对比实验，得到了在hole_f2、flower_f2和human_f23个数据集上的误差结果（表3）。

在hole_f2 数据集上，数值解相对误差的降低幅度为32.65%，即使在相对复杂的flower模型和human模型对应的flower_f2和human_f2数据集上，误差依然有着33.06%和31.01%的降低幅度，说明主从图神经网络的加入对PDE方程解的预测精度有着巨大的提升，同时在不同拓扑B样条模型上也有较好的通用性。

右端项为f2时主网络与主从图神经网络数值解误差可视化如图7所示。图7中的每个子图从左往右分别是主网络和主从网络的数值解绝对误差图，以及主网络和主从网络的数值解相对误差图。正如之前所分析的，在这3个数据集当中，解发生跳变导致的误差较大的深色区域在主从网络的数值解相对误差图中明显较少，说明从网络对于物理方程解变化规律的学习在不同的拓扑形状上具有通用性。定量分析与定性分析结果相互印证，为我们提供了一个更为清晰、直观的理解主从网络有效处理不同拓扑B样条模型并提升预测能力的方式。

4 结论（Conclusion）

对于处于同一仿真条件但几何区域实时变化的复杂求解任务，传统的求解PDE 的方法无法很好地适配，同时基于CNN的智能重用仿真方法也受到CNN对数据格式的限制。因此，本文提出了一个基于主从图神经网络的拓扑一致模型等几何分析重用方法。它能充分利用B样条数据格式，并使网络架构中附加的从网络能有效地学习解变化的规律，从而提升求解精度。与基于CNN方法的对比实验以及对于不同拓扑和不同右端项的对比实验结果，都说明了本文方法能够高效且精确地在一组拓扑一致且具有复杂边界的B样条模型上取得光滑连续的数值解。然而，目前主要求解对象为二维平面的泊松方程，如何拓展至更通用的PDE形式是一个值得考虑的问题。同时，目前本文方法主要基于数据驱动方式训练网络模型，制作数据集成本较高，因此如何将无监督训练的方式与本文方法结合也值得进一步探讨。

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作者简介：

钟维真（1999-），男（汉族），绍兴，硕士生。研究领域：深度学习，图神经网络，等几何分析，智能仿真。

许金兰（1987-），女（汉族），洛阳，副教授，博士。研究领域：计算机辅助几何设计，计算机图形学，等几何分析。本文通信作者。