有序思考，从过程视角观照小学生数学思维

【编者按】数学学科本身亦被称为思维的体操。会用数学的思维思考现实世界，是数学核心素养的重要内涵。可见，发展学生的数学思维在数学教学中占有举足轻重的地位。在实际教学中，数学思维往往是内隐的、不可见的，一般情况下教师难以准确把握学生的数学思维过程，疏于对其的考查，有效的教学活动推进便存在表面化的可能。为此，广大一线教师尝试着对学生的数学思维过程进行分析，总结出了若干值得借鉴的做法，本期专辑一起来探讨。

【摘 要】对学生数学思维的培养是数学课程的关注重点。思维本身就是一个不断生长的过程，但如何清晰地呈现这个过程并不容易。为此，我们放大思维的可见过程，从“教材结构”与“学习结构”两个方面切入，条分缕析，尝试打开学生思维“黑箱”，发现、建立、发展学生的数学思维过程，寻求实现小学生数学思维的全面提升。

【关键词】过程视角 有序思考 数学思维过程

数学学习是学生知识获取的过程，也是思维发展的过程。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）明确了数学教育的素养导向。当数学思维与数学眼光、数学语言作为核心素养具体呈现时，我们对数学思维的理解和把握就需要有一个过程视角。在此基础上，笔者提出有序思考的概念，希望放大数学思维的可见过程，引导学生按照一定的逻辑和顺序进行分析、推理和表达，培养学生形成良好的数学思维品质。当然，要清晰把握数学思维过程并非易事，本文试从过程视角探析小学生数学思维培养，并厘清一些相关问题。

一、数学思维与过程视角的理性思辨

关于“思维”，《辞海》给了三个含义：①思考的过程，思维的基本形式之一；②理性认识或理性认识的过程，包含对事物本质特征的深入理解和理解过程；③意识、精神，强调思维是一种超越物质存在的心智活动。从对思维的解释中我们可以了解到，思维的成长需要经历知识形成过程、问题解决过程和素养提升过程，这其中体现了思维发展的有序性。基于这样的认识，笔者将数学思维理解为：通过数学活动进行思考，按照一定的思维规律认识、理解并解决数学问题，提升抽象思维能力的动态全过程。

需要说明的是，在数学教学过程中的思维活动主要包括：数学家（编写者）的思维活动（体现在教材内容中），教师的思维活动，学生的思维活动。在数学学习的过程中，我们很难割裂地关注单个方面的思维活动，而是需要将这三种思维活动和谐统一、不断演进，从而真正调控学生的思维活动，促使学生形成良好的思维意识及思维品质。

再来看“过程视角”。“过程”是怀特海过程哲学的核心范畴，这种过程思想彰显的是学习过程本身比结果更具有促进学生发展的价值。数学学习过程蕴藏着数学思维动态和持续发展的过程。进一步地，我们可以从数学思维的过程来探明学生的学习过程。这就要求教师在培养学生数学思维时需要有过程视角。

基于此，过程视角下的学生数学思维培养，是教师从过程视角出发，在教学活动的实施过程中系统把握教材结构、学习结构，以此推动小学生数学思维的有序发展。

二、从过程视角观照小学生数学思维培养的要点

学生的数学思维过程与知识本身的结构有关，与学习的过程结构有关，与自己的认知过程有关。同时，学生的数学思维发展是需要经过引导，遵循规律、依据顺序、循序渐进实现的。因此，我们需要在教材中梳理出专家的思维过程，在教学中梳理出学生的思维过程，才能真正培养学生的数学思维。

（一）基于教材结构，显现专家的思维过程

专家思维一般通过演绎推理，将较为复杂的思维过程简化为精炼的结论，并以书面形式呈现在教材中。这种方式是基于数学学科的特性及数学学习的实际需求确立的。然而，仅仅机械地模仿教材中简洁的内容，会导致学生无法真正经历完整的思维过程，他们的数学思维也会止步于一般的整理性思维层面。笔者认为，要让学生经历数学思维过程，首先，需要用知识链的方式联结教材中的相关内容，帮助学生树立整体意识和结构化思维。要做到这一点，就要求教师在教材解读方面有统摄全局的意识和能力。其次，教师应深入了解知识中隐藏着的数学思维过程。这意味着教师不仅要关注知识的最终结果，更要关注知识是如何形成与发展的。在这一过程中，教师应尽量挖掘知识的数学原理和方法，努力让学生通过实践与体验来感悟这些内容的深层意义。这样可以帮助学生在更全面地理解知识的同时，提升数学思维水平。

例如，在面积单位相关的教学内容中，平方千米是学生在小学阶段学习的最后一个面积单位。教师在备课时需关注通过回顾和整理，让学生能够掌握面积单位之间的转换关系：在具体的引导和理解过程中，需要让学生意识到公顷与平方米之间的转换率具有独特性。另外，还可以通过补充概念，以知识链的形式弥补学生认知体系中的盲点，解决认知过程中的疑惑点，进一步完善从平方米到平方千米的认知体系。（如图1所示）

实际上，教师在开展单元整体教学视域下的学习活动时，可以尝试建立一条完整、直观的知识链。这种方式有助于学生构建结构化的思维模式，从而在一定程度上推动他们整体观念的形成。因此，教师在设计教学活动时，全面考虑并帮助学生构建一个相对全面的联系体系显得尤为重要。

再来看这个例子，3的倍数特征从表面看，与2、5的倍数特征不一样，2、5的倍数特征只需看个位，3的倍数特征看的是各个数位上数的和，但从除法本质上看，这几个数的倍数特征反映的都是各个数位上分得的余数情况。在解读、设计这一课时，应将重点放在让学生在一系列的数学活动中进行观察、猜想、操作、验证，丰富对“倍数特征”的感知上。具体可以细化为以下三个层次：（1）用1～2颗珠子摆数并判断是否为2、3、5的倍数，作为复习巩固知识的手段，进一步丰富学生对除法内涵的经验。（2）用3颗珠子摆数判断是否为2、3、5的倍数，作为学生自我建构知识的过程，积累构造3的倍数特征模型经验。（3）用任意颗珠子摆数判断是否为2、3、5的倍数，作为学生经历数学建模的过程，进一步沟通、丰富对2、3、5的倍数特征的经验。

上述案例中，每个独立的“环”是具体的某一个数学知识点，“环环相扣”是帮助学生挖掘知识的本质，要学会举一反三，触类旁通。解读专家的思维过程实际上是让学生回归知识本位去开展学习，领悟知识背后的内涵，追溯本源，为深度思考打下基础。

（二）基于学习结构，凸显学生的思维过程

在《课程标准》中，我们认识到对学生数学思维的培养是一个比较全面的过程，而让学生经历自身的数学思维过程是数学学习中最有意义的部分，因为专家或教师的思维过程最终都代替不了学生自己的思维过程。只有在教学实践中充分展示学生思维，有效突出学生的思维过程，从而彰显有序思考的重要性，才能帮助他们在学习中形成更为规范和系统的思维习惯。

1. 拉长探究过程，让学生思维从“已知”到“可知”。

突出数学学习过程的思考性，让学生思维处于比较活跃的状态，不仅能实现对知识内容的整体认识，还能高效地提升学生的思维水平。从这个角度来看，教师要有意识地放大学生解决问题的关键过程，为学生获得更为丰富的思维体验提供有力的帮助。

例如，无论是长度、面积还是体积，都是在表达相应度量单位的累加。一般像“计量单位认识”的课例，教师往往容易窄化学生的探究过程，将重点放在识记单位之间的进率转化上，导致学生对计量单位的认知浅，抽象、逻辑等思维水平没有得到有效提升。此时如果拉长探究过程，效果便完全不同。

在教学人教版三上“吨的认识”时，教师可以放缓探究“1吨有多重”这一环节的脚步，让学生进行从多个维度解释“1吨有多重”的学习活动，具体感受“1吨”的大小。教师提供学习素材：1桶汽油重100千克；1个学生的体重25千克；1个苹果重200克。要求学生在探究后用多种方式记录思考过程。（如图2所示）生1：“10桶汽油合在一起的质量是1吨。”生2：“2个学生的体重是50千克，4个就是100千克，而10个100就是1000千克，是1吨。”生3：“5个苹果是1千克，5个苹果为一组，1000组就是1000千克，所以1000×5=5000，5000个苹果就是1吨。”

1吨有多重，学生如果只知道1吨=1000千克，很明显并没有建立对“吨”这一计量单位的认识。像上述教学设计，看似是一个简单的画、写与算的过程，实际上是拉长学生对“1吨有多重”的探究过程。解释大计量单位，学生尝试借助小计量单位的累加来完成，多维度的经历其实就是在逐渐实现数学思维从“已知”向“可知”的迈进，逐步形成有序的思维方式。

2. 对数学概念的延伸，促进学生从单一思维向多元思维进发。

对数学概念的理解与掌握不能仅依赖于对相关文字的认知，更需要借助多元思维进行深入把握。这种理解应该体现在对数学概念进行多方探索与分析，以促成学生对概念的全面认知，促进思维的多元发展。概念延伸包括对现有知识的深入理解，还涉及将它们应用于新的情境中，以解决更为复杂的问题。

以人教版四下“三角形的认识与分类”教学为例，如何设计含有数学思维活动的学习任务让学生充分体验从一般到特殊的认识过程尤为重要。教师可以“从角的维度来认识三角形”为核心目标设计思维活动。（如表1）

角的概念是学生在二年级学习的基础内容，他们在掌握“角的认识”后，将概念逐步延伸到四年级“三角形的认识”，这体现了概念的逐步深化。从理解“一个角”开始，学生可以进一步认识到“两个角相等”所对应的等腰三角形，接着通过“两个角相等”延伸到“三个角相等”来了解等边三角形。通过层层深入的思考，学生在想象与验证的过程中，能够将对图形的理解从形象化提升到抽象化层次，再从抽象转化为直观的体验。因此，概念的延伸为学生思维的多元化发展提供了契机，促进了他们从单一思维向多元思维的转变。在参与思维活动的过程中，学生体验到有序思考的重要性，解决问题能力得以提升，学生的思维方式亦更加丰富。

3. 丰富数学表达，体现学生思维过程从“无痕”到“有痕”。

数学表达是用数学语言（包括符号、文字、图形等）来描述和解释数学概念、关系和过程。要实现“让数学思维看得见也抓得住”的目标，就需要通过直观的表达方式显现学生的思维过程。一段时间以来，许多教师都在探寻数学思维的可视化途径，引导学生将隐性的思想方法和思维过程进行显性化表达，其根本目的是帮助学生累积活动经验，实现思维生长，锻炼与提升数学思维能力。

“计算经过时间”是人教版三上第一单元的学习内容，其中与时间相关的数学表征有：（1）通过观察钟面和直观演示，把直观观察和线路图对应起来；（2）出示时间轴，让学生在上面标出出发时刻和到达时刻，将抽象的时刻与直线上的点对应起来。看来，如何将“无痕的时间”用“有痕的方法”直观呈现，是学生思维发展的关键，也是这节课的核心目标。我们不妨在教学核心环节设计“计算8：45到9：20共经过多少时间”这一任务，用以观察学生的数学表达。具体情况如表2所示。

从总体看，对于“计算经过时间”这一课的教学目标不应仅局限于计算时间，还需要让学生结合生活实际体验时间的长短。学生体验的过程可以通过直观的感知，借助具体的操作活动来实现，这是一种形象化的学习方式。书面表达则更侧重于思维的抽象，要求学生将直观感知的内容转化为数学符号或表达式。钟面数格、时间尺数段，都是将抽象的时间变得直观，并且能让学生充分感受时间叠加，为“经过时间”表象的建立积累经验，显化数学思维过程。教师引导学生将自身的思维过程由“无痕”转变为“有痕”，不仅能够提升他们的数学表达能力，还能够对错综复杂的信息进行有效数学化提炼，显现出思维的系统性、逻辑性与条理性，有效促进有序思考的形成。

当然，不管是教材结构，还是学习结构，每一个教学维度的考量都应以学生思维为重。如何实现“有意义的学习与保持”，除了在课堂上创设思维空间和智力背景外，过程评测也是一种选择。笔者针对“周长”概念的教学就设计了一套过程测评题组，旨在通过前认知的前置性测评、学习过程中的结构性测评以及学习后的延展性测评，实现对学生有关周长概念学习情况的全面掌握。总体来看，前置性测评展现学生思维的原有结构，体现了学生思维的基础性。结构性测评呈现学生思维的发展结构，体现了学生思维的发展性。延伸性测评关注学生思维的应用结构，体现了学生思维的灵活性。以上几方面均是学生思维发展过程的具体表现。

如果把学生的思维培养比作学习探究之旅，专家思维过程就是旅行的科学规划过程，也指向旅行的目的地；学生的思维过程就是旅行的实践过程；而测评过程就是旅行过程中对方向的精准指认。有了明确的目的地与科学规划，有了旅行途中的充分实践，有了方向的精准指认，学生一定能够顺利地到达目的地。

（作者单位：浙江省嘉兴经开实验教育集团）

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参考文献：

［1］李亚群. 助推学生“量感”培育的过程性测评设计——以“周长”概念测评题为例［J］. 新课程评论，2023（10）：90-97.