对“速度合成与分解”和“力的合成与分解”问题的再商榷

摘 要：对教材中“速度合成（分解）”与“速度变换（叠加）”概念进行区分，并重新审视了关联速度分解与力的分解问题，得出分解速度与分解力在数学上是相“兼容”的结论，即速度分解也可以像力的分解一样运用平行四边形定则沿任意方向分解，只是按作用效果，运用“投影矢量”的正交分解法，在计算时会更加简洁，进而培养学生类比推理的能力。

关键词：速度分解；速度变换；投影矢量；类比推理

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2024）12-0058-6

速度合成与分解是学习高中物理曲线运动的基础，同时也是高考常考的一类重要题型，甚至作为压轴题中的一个命题点。尤其在绳、杆的关联速度问题中，教师通常会告诉学生，此类问题要根据运动的实际效果进行分解，一般沿绳（杆）和垂直于绳（杆）正交分解合速度。事实上，相当一部分学生在对速度进行矢量合成与分解时，会类比力的合成与分解，但最终所得结果却与答案不同，从而产生困惑。既然都是矢量运算，为什么运用数学中平面向量的平行四边形定则对速度分解时会“出错”，而力的分解却不会？此外，大部分学生甚至一些教师也会产生迷思概念，误将速度合成（分解）等同于速度变换（或速度叠加），实际上这是两个完全不同的物理概念。如何理解分解速度与分解力在数学上的“不兼容”问题？速度合成（分解）与速度变换（叠加）又有什么区别？下面将围绕这两个问题进行辨析。

１ 真题解析与问题争鸣

例１ （２０２２年高考物理湖北卷第１６题）打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图１所示，重物Ａ、Ｂ和Ｃ通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，Ｃ与滑轮等高（图中实线位置）时，Ｃ到两定滑轮的距离均为Ｌ。重物Ａ和Ｂ的质量均为ｍ，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接Ｃ的绳与水平方向的夹角为６０°。某次打桩时，用外力将Ｃ拉到图中实线位置，然后由静止释放。设Ｃ的下落速度为时，与正下方质量为２ｍ的静止桩Ｄ正碰，碰撞时间极短，碰撞后Ｃ的速度为零，Ｄ竖直向下运动距离后静止（不考虑Ｃ、Ｄ再次相碰）。Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均可视为质点。

（１）求Ｃ的质量；

（２）若Ｄ在运动过程中受到的阻力Ｆ可视为恒力，求Ｆ的大小；

（３）撤掉桩Ｄ，将Ｃ再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求Ａ、Ｂ、Ｃ的总动能最大时Ｃ的动能。

图１ 高考试题示意图

解析 （１）以Ｃ为研究对象，受力分析如图２所示，则有

2Tcosθ=mCg（１）

T=mg（２）

由几何关系，θ＝３０°。所以解得

mC=m（３）

图２ Ｃ物体受力分析图

（２）过程１：碰撞阶段，Ｃ、Ｄ组成的系统动量守恒，规定竖直向下为正方向，所以有

mv=mv（４）

解得

v=（５）

过程２：碰后对Ｄ用动能定理，则

（2mg-F）=0-·2mv（６）

联立（５）（６）式解得

F=6.5mg（７）

（３）根据对称性，设其中一根绳子与竖直方向的夹角为θ，Ａ、Ｂ两物体上升的速度均为ｖ，上升的距离为ｈ２；物体Ｃ下降的距离为ｈ１，下降的速度为ｖC。对三物体组成的系统，由机械能守恒定律有

mgh-（m+m）gh=mv+（m+m）v（８）

如图３所示，沿绳方向速度关联，因此可得

vCcosθ=v（９）

根据几何关系，不难看出

h1=Lcotθ（１０）

h2=L（-1）（１１）

Ek=mC v+（mA+mB）v2（１２）

EkC1rtImCqXrxRL2PxU2K23Cz/t4TQGd30W5gQL49AgGxU==mC v（１３）

联立（８）—（１３）式并化简可得

Ek=mgL［ｃｏｔθ－２（－１）］（１４）

利用导数分析（１４）式函数的单调性，易得θ＝３０°（原静止虚线位置处）时有Ｅｋｍａｘ，因此可知

EkC=（4-2）mgL（１５）

图３ 关联速度正交分解图

问题：在分解速度时是否可以不沿绳和垂直于绳正交分解Ｃ物体的速度，而是仿照第一问分解力的形式，将Ｃ物体的速度应用平行四边形定则沿两绳方向分解（图４）？若按第二种分解方式计算可得

vC=2vcosθ（１６）

图４ ｖC沿绳分解示意图

显然（１６）式不等于（９）式。同为矢量运算，关联速度分解为什么不能像分解力那样用平行四边形定则沿任意方向分解？文献［１］指出：“力的合成与分解”和“速度的合成与分解”之间是有区别的。速度不能随意按照平行四边形定则进行合成与分解，但是可以按照“投影矢量合成法”得到原始速度。只有当两个分速度相互垂直（即相互独立）时，才能按照平行四边形定则进行合成（分解）。

事实上，矢量在数学上又称向量，向量是可以自由移动的。若不加限制，只要满足平行四边形定则，一个向量可以有无数种分解形式，正交分解只是比较简单的一种分解方式。因此，速度分解理应可以不按其效果分解，即上述沿两绳方向分解速度的想法是可行的。下面，以夹角更一般的情况进行讨论。

２ 绳（杆）关联速度分解与力的分解

例２ （２０１３年高考物理上海卷第２０题）如图５所示，为在平静海面上，两艘拖船Ａ、Ｂ拖着驳船Ｃ运动的示意图。Ａ、Ｂ的速度分别沿着缆绳ＣＡ、ＣＢ方向，Ａ、Ｂ、Ｃ不在同一条直线上。由于缆绳不可伸长，因此Ｃ的速度在ＣＡ、ＣＢ方向的投影分别与Ａ、Ｂ的速度相等，由此可知Ｃ的 （ ）

Ａ．速度大小可以介于Ａ、Ｂ的速度大小之间

Ｂ．速度大小一定不小于Ａ、Ｂ的速度大小

Ｃ．速度方向可能在ＣＡ和ＣＢ的夹角范围外

Ｄ．速度方向一定在ＣＡ和ＣＢ的夹角范围内

图５ 高考试题示意图

解析

方法一 按效果正交分解。

由题干已知条件“由于缆绳不可伸长，因此Ｃ的速度在ＣＡ、ＣＢ方向的投影分别与Ａ、Ｂ的速度相等”可知，Ｃ的速度要沿绳和垂直于绳的方向正交分解，属于传统关联速度问题的做法。将Ａ、Ｂ、Ｃ视为质点，正交分解船Ｃ的速度，如图６所示。因为绳子不可伸长，所以有

v1=vCcosθ=vA（１）

同理可得

v2=vCcosα=vB（２）

解得

vC =≥vA（３）

vC =≥vB（４）

所以，Ｂ选项正确。

由于Ｃ船合速度方向不确定，可能在Ａ、Ｂ之间，也可能在Ａ、Ｂ之外。但无论在Ａ、Ｂ之间，还是在Ａ、Ｂ之外，均满足上述（１）（２）式，所以Ｃ选项也正确。综上所述，正确答案为Ｂ、Ｃ选项。

图６ 关联速度正交分解图

方法二 类比力的平行四边形定则，将Ｃ的速度沿Ａ、Ｂ两绳方向分解。

取Ｃ为研究对象，将Ｃ船的速度ｖC沿两绳方向用平行四边形定则分解为ｖ１和ｖ２，如图７所示。

两绳作为Ａ、Ｂ、Ｃ三船的几何约束条件，显然ｖ１与ｖ２并不独立，ｖ２会在ｖ１绳方向产生贡献，这不同于方法一中的正交分解，所以ｖ１≠ｖＡ，要保证绳子不可伸长，只需要满足ｖ１与ｖ２沿ｖ１方向的分量之和等于Ａ船的速度ｖＡ即可，反之亦然。所以，在Ａ船方向，根据几何约束有

vA=v1+v2cos（θ＋α）（５）

对Ｃ船用平行四边形定则进行速度分解，根据余弦定理可得

v=v+v-2vvcosθ（６）

v=v+v-2vvcosα（７）

由数学知识可知

sin2θ+cos2θ=1（８）

sin2α+cos2α=1 （９）

联立（５）—（９）式解得

v=（１０）

同理，在Ｂ船方向，根据几何约束亦有

vB=v2+v1cos（θ+α）（１１）

联立（６）（７）（８）（９）（１１）式解得

vC=（１２）

显然，（１０）（１２）式与（３）（４）式结果一致，即类比力的分解，运用平行四边形定则分解关联速度，并结合约束条件的计算与方法一沿绳、垂直于绳的正交分解结果完全一样。

图７ ｖC的平行四边形定则分解示意图

讨论１ 若取ｖＡ＝ｖＢ＝ｖ，由对称性可知ｖ１＝ｖ２，θ＝α，代入上述方程组可解得

vC=（１３）

显然，（１３）式与例１中２０２２年湖北卷高考试题的常规正交分解法得到的（９）式完全一样。由于湖北卷Ａ、Ｂ两物体绕过定滑轮，定滑轮只改变方向，若将绕过定滑轮的绳子Ａ、Ｂ拉直以后与此题形式上也完全一致（图８）。

图８ ｖC沿绳分解示意图

小结 关联速度分解可以类比力，使用平行四边形定则进行分解，从而保持与数学中向量分解方法的一致性。但需要注意的是，物理中的矢量与数学中的向量有所不同，物理中矢量的作用点作用于研究对象上，数学中向量起始端无具体研究对象。所以，物理中所有矢量的合成（分解），即矢量和与矢量差必须满足对应的是同一参考系下的同一研究对象。

如例１中，取Ｃ物体为研究对象，Ｃ物体实际受到三个力（图２）。但Ｃ物体的实际速度只有自身向下的一个速度ｖC （其中，ｖC１与ｖC２是ｖC的两个分速度），绳子只是关联三个物体的约束条件（图８）。考虑特殊情况，假设Ａ、Ｂ两物体以共同速度ｖ拉着Ｃ物体向前运动，两绳夹角为零（图９），取Ｃ为研究对象，那么Ｃ物体的速度矢量只有Ｃ向前运动的速度ｖC，而速度ｖ只作用于Ａ、Ｂ物体，两段绳子仅仅是关联三个物体的约束条件，并不能传递速度。如果认为 Ｃ的速度ｖC等于Ａ、Ｂ的速度之和２ｖ，这就混淆了矢量的作用对象。

图９ 特殊情况下的速度关联

讨论２ 上述推导证明了关联速度可以用平行四边形定则沿任意方向分解，但是要保证分解的“完整性”，且满足绳子不能被拉长的几何约束。即研究Ａ物体的运动方向时还要考虑沿Ｂ物体方向的速度对Ａ物体运动方向的贡献，而正交分解时，Ａ、Ｂ两方向相互独立，所以用正交分解法分解速度明显会更简单。然而，对于湖北卷高考试题中，第一问分解力的时候，为什么没考虑沿绳Ｂ方向的力对Ａ方向的贡献呢？

分析 例１的图２中，Ｃ物体实际受到３个力，Ｃ物体自身的重力，以及Ａ、Ｂ两绳的拉力。由于两绳拉力大小相等，夹角也相等，考虑对称性，连结Ｂ绳子的拉力在Ａ方向的贡献与连结Ａ绳子的拉力在Ｂ方向的贡献恰好相抵消，所以就给人一种没有考虑Ａ、Ｂ绳子间“相互干扰”的错觉（图１０）。

图１０ Ｃ物体力的分解图

综上所述，关联速度的分解与力的分解在数学上是“兼容”的，都满足向量运算的平行四边形定则，可以“任意”分解。但需要特别注意的是，物理中矢量的起始端有严格的作用对象，而数学中向量在自由移动时，起始端无具体研究对象。

３ 速度合成（分解）与速度变换（叠加）的区别

既然矢量的合成与分解只能是同一参考系下的同一研究对象，那么如何理解教材“运动合成与分解”一节中“小船过河”“自动扶梯”类问题？自动扶梯上升速度的研究对象是扶梯，人相对于扶梯向上行走速度的研究对象则是人体自身，很明显这是两个不同的研究对象，而且也不是同一个参考系。

实际上，教材中混淆了速度合成（分解）与速度变换（叠加）这两个概念，新人教版教材中已经删除了“小船过河问题”，保留了蜡块运动［２］，但鲁科版教材仍保留了“小船过河”问题［３］。

查阅教材可知，伽利略速度变换在人教版教材必修二第七章第五节“相对论时空观与牛顿力学的局限性”一节中也有所涉及（图１１），因此建议将“小船过河”等一类问题移至该节作为课后习题补充。

图１１ 教材“伽利略速度变换”

根据狭义相对论洛伦兹变换可知

v=

在宏观低速情况下，→0，所以有v=v'+u，即速度变换退化为速度矢量和的形式。显然，速度变换（叠加）与速度合成（分解）的物理意义是不同的。伽利略变换是两个研究对象在不同参考系下的速度叠加（绝对运动＝相对运动＋牵连运动），正如在学习受力分析时初学者容易混淆一对平衡力和一对相互作用力的概念一样。

其实，伽利略速度变换在高中物理中也是非常重要的一个物理概念［４］。例如，在学习动生电动势的产生原理时（图１２），导体棒以速度ｖ向右运动切割磁感线。为了研究方便，不妨认为导体中是正电荷做定向移动（本质是导体中电子的定向移动），取其中一个正电荷为研究对象，正电荷跟随导体向右运动时由于受到洛伦兹力还将以速度ｕ向上运动。根据伽利略速度变换，该正电荷的对地速度是牵连速度ｖ与相对速度ｕ的矢量叠加，而非速度合成。但由于电荷向右的运动速度可以认为和导体棒向右的牵连速度相同（电荷被限制在导体棒内部，只能相对于导体棒上下运动），所以此时就可以近似看成正电荷也具有向右的速度ｖ，将其视为速度合成，这与必修二“运动合成与分解”一节蜡块在玻璃管中的运动模型相一致。

图１２ 导体棒切割磁感线

综上所述，速度合成（分解）与伽利略速度变换（叠加）均满足矢量运算的平行四边形定则，但前者是指同一研究对象、同一参考系下速度的矢量加减，如关联速度、抛体运动分解等；后者则是两个不同研究对象、不同参考系下的速度叠加，如自动扶梯、跳伞运动等。因此，建议教师在实际教学时要给学生严格区分这两个不同的物理概念，不可将二者混为一谈。

４ 结 语

类比推理是从已知的一般性结论到未知一般性结论的过程，推出的新结论还需要进一步严格证明，这可以培养学生思维活动的严谨性。高中物理的学习离不开类比推理，在平时的教育教学过程中，教师要引导学生深挖物理概念，敢于质疑，善于类比，这样才有益于强化物理观念，落实核心素养，真正提高学生解决问题的能力。

最后，本文特别鸣谢深圳市晟才高级中学物理教师陈敏华教授，微信公众号“陈敏华物理教育研究”推文《不同参考系下的速度可以合成和分解吗？》留给我们的思考。

参考文献：

［１］卢玉龙，邵云．论力的合成与分解和速度的合成与分解的区别［Ｊ］．物理教学，２０２３，４５（１０）：５２－５４，５１．

［２］人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心．普通高中教科书物理必修第二册［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１９．

［３］廖伯琴．普通高中教科书物理必修第二册［Ｍ］．济南：山东科学技术出版社，２０１９．

［４］秦笑春．从伽利略速度变换角度理解相对运动中速度的合成与分解［Ｊ］．物理教师，２０１５，３６（４）：６２－６３．

（栏目编辑 蒋小平）

收稿日期：2024-09-15

基金项目：济南大学教学改革项目“智慧实践体系建设及教学模式改革研究”（JZD2401）；济南大学课程思政示范课程“原子物理”（KCSZ2204）。

作者简介：刘存辉（1997-），男，硕士研究生，研究方向为学科教学（物理）。

*通信作者：刘海英（1976-），女，副教授，主要从事中学物理教育研究。