“四活”交响曲，奏响教学新乐章

［摘 要］数学新课标在“三角形的三边关系”教学中新增了尺规作图这一内容，旨在让学生感受尺规作图价值的同时，发展他们的推理意识、几何直观、空间观念等素养。课堂上，教师可通过提出猜想、演绎推理、拓展应用等活动，引导学生直观感悟三角形的三边关系，体验规律探索的乐趣和挑战，使学生能根据三角形的三边关系解决生活中简单的实际问题，促进学生数学核心素养的提升。

［关键词］三角形；三边关系；推理意识；尺规作图

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）36-0018-04

【教学内容】

苏教版数学教材四年级下册第77～78页的例3，“练一练”中的第1～2题，练习十二中的第6～8题。

【教学目标】

1.通过尺规作图等活动，直观感悟三角形的三边关系，理解“任意两边长度的和大于第三边”这一规律。

2.通过猜测、推理、验证、数据分析等方法感悟三角形三边关系的规律，会判断给定的线段长度能否组成三角形，并能解释生活实际中的现象，解决生活中简单的实际问题。

3.积累活动经验，体验规律探索的乐趣和挑战，发展空间观念和推理意识等素养。

【教学重点】

借助尺规作图，探究与推理三角形的两边之和大于第三边的关系。

【教学难点】

理解“任意”的含义，归纳三角形的三边关系，发展学生的推理意识。

【教学过程】

一、课前谈话，激发兴趣（略）

【评析】教师教学前播放视频，让学生感受三角形的变化与神秘，有助于激发学生探索的欲望。

二、引出问题，提出猜想

1.三点共线不能围成三角形

师：什么样的图形是三角形？它有什么特征？

生1：3条线段首尾相接围成的图形是三角形，它有3个顶点、3条边、3个角。

师：有3个点是不是一定能围成三角形？

生2：两点确定一条线段，只要第三个点不在同一直线上，就可以围成一个三角形。

2.提出猜想

师：有3条线段是不是一定能围成三角形？

生3：一定能。

生4：不一定。

【评析】教师从三角形的特征出发，提出“有3条线段是不是一定能围成三角形”这一问题，促进使学生深入思考。这样教学，从三角形点的位置关系迁移到边的关系，给学生探究角的关系留下了想象的空间。

三、操作推理，感悟规律

1.操作探究，分类归纳

师：（出示图1）a、b、c、d这4条线段，任意3条都能围成三角形吗？

生5：需要验证。

师：能不能用尺规来研究它们之间的关系？谁来展示不能围成三角形的情况？

生6：a、b、c和a、c、d这两组线段围不成三角形。

师：在a、b、c这3条线段围不成三角形的情况中，有交点为什么不能围成三角形？这3条线段有什么关系？

生7：这交点是第三个交点，由于三点共线，即a+b=c，所以围不成三角形。

生8：a、c、d这3条线段也围不成三角形。

师：为什么不能围成三角形？为什么这里没有交点？

生9：由于a+d<c，所以不可能有交点。

师：通过探究发现，a、b、c和a、c、d这两组线段都不能首尾相接围成三角形。想一想，不能围成三角形的3条线段有怎样的关系？

生10：（出示图2）不能围成三角形的3条线段，其中2条线段长度的和小于或等于第3条线段。

师：有能围成三角形的情况吗？

生11：a、b、d和b、c、d这两组线段能围成三角形。

师：为什么能围成三角形？

生12：有交点，且交点在线段外。

师：那么，能围成三角形的3条线段有什么关系？

生13：a+d>b、b+d>c，即其中两条线段长度的和大于第三条线段。

【评析】为提高学生的参与度，教师预留了自主探索的空间，鼓励学生展示自己的学习单，围绕三角形的三边关系提出问题。这样教学，有利于引发学生的深度思考，帮助学生自主建构三角形的认知。

2.深入探究，揭示关系

师：到底什么样的3条线段才能围成三角形？

生14：以另外2条线段为底再来画一画，看看有什么关系。（教师出示图3）

（1）引出“任意”

师：请男生来展示，你们以哪条线段为底？能围成三角形吗？这3条线段有什么关系？

生15：我们以线段d或a为底，能围成三角形，因为a+b>d或b+d>a。

生16：我们发现任意两条线段长度的和大于第三条线段能围成三角形。

师：男生用“任意”二字来描述这3条线段的关系。那另一个三角形也是这样吗？请女生来展示。（女生交流与男生交流一致，得到一样的结论）

（2）理解“任意”

师：（出示图4）想一想，把“任意”两个字去掉，可以吗？观察不能围成三角形的情况，你们能完整地说一说这3条线段之间的关系吗？（学生完整地说出了这3条线段之间的关系）

师：我发现这里也有两条线段长度的和大于第三条线段，可它们为什么不能围成三角形呢？

生17：有两条线段长度的和不是大于第三条线段。

师：看来，“任意”两个字不能去掉。

【评析】 通过“猜想—验证—举反例—得出结论”，教师着重解释“任意”一词的意思，使学生明确“任意”一词不能删去，真正理解了所学知识。

3.数据论证，得出结论

师：是不是所有的三角形都有这样的三边关系呢？

生18：可以任意画一个三角形来探究、验证。

师：（借助几何画板随意拖动三角形的一个顶点）三角形的形状和大小怎么样了？它的三边关系呢？（师生交流发现）

师生（小结）：我们从不能围成和能围成三角形的两种情况，对其进行了研究和验证，最终得出了“三角形任意两边长度的和大于第三边”的结论。

【评析】上述教学，从个别到一般、从特殊到普遍，使学生深刻理解了“三角形任意两边长度的和大于第三边”这一知识点。

4.方法优化，形成能力

师：（出示2、5、6，2、4、6，2、2、5这三组线段长度）这三组线段能否围成三角形？（学生回答后）还有没有更好的判断方法？

生19：能围成三角形的三条线段中，两条较短线段长度的和大于最长的线段，那么最长的线段加上其中一条较短线段，一定大于另一条较短的线段。

师：如果是a、b、c这3条线段呢？你也能说说怎么判断它们能否围成三角形吗？

生20：a+b>c。

师：为什么？（学生推理说明）如果a、b、c这3条线段，有2条线段一样长呢？这3条线段一样长呢？（学生推理说明）

师：不管是怎样的3条线段，判断的道理是一样的。只要发现两条较短线段长度的和大于第三条线段，就能判断这3条线段能否围成三角形。

【评析】上述教学，教师通过问题促使学生不断发散思维，有效培养了学生的归纳总结能力和思维能力。同时，教师用字母表示线段的长度，从特殊到一般，使问题更具一般性和抽象性，深化了学生对三角形三边关系的理解。

四、演绎推理，论证归纳

1.情境导入，事实论证

师：（出示图5）看，这有一只蚂蚁。它想要吃这块蛋糕，该选哪条路呢？你们想到了以前学过的什么知识？

生21：两点之间线段最短。

2.回顾旧知，验证规律

师：那你们能用这一知识点来解释三角形的三边关系吗？（学生回答略）

师：如果蛋糕分别在A、B、C的位置上，蚂蚁该怎么走？为什么？

生22：三角形任意两边长度的和大于第三边。

师：我们还可以通过旧知验证今天发现的规律。

【评析】上述教学，教师通过创设情境，既详细解释现象背后蕴含的数学道理，验证了“三角形两边长度的和大于第三边”这一结论的正确性，又体0b879a42ebf371e96fa80e6a1ee0c753现了数学与生活之间的密切联系，发展了学生的推理意识。

五、拓展应用，延伸思考

1.判断范围

师：（出示下表）一个三角形，两边分别长12厘米和18厘米，第三条边的长可能是多少厘米？在合适的答案下面打“√”，并说明理由。

师：如果现在没给答案选择，你们能说出第三条边的长可能是多少吗？（学生纷纷提出猜测）

2.研究范围

师：看来，第三条边的长是有范围的，我们一起来看看吧！（几何画板演示第三条边的范围，总结得出范围为6<x<30）在这个范围里只能是整数吗？小数可以吗？（学生思考）看来，可以是任意数。

【评析】这一环节的教学，让学生的思考有了深度和广度，有助于学生理解与把握问题的本质，明确解决问题的路径，发展他们的几何直观。

六、全课总结，关联思考

师：回顾今天的探究之旅，借助尺规作图，我们既深入研究了三角形的三边关系，又根据数学事实验证了结论，让研究有据可证。三角形的知识还有很多，我们以后再深入学习。

【评析】教师把已学的和将学的知识融入完整的背景中让学生去感悟，引发他们对三角形三边关系、边角关系的猜想，体现素养导向、启智增慧的作用，为学生后续的深入学习奠基。

【总评】

“三角形的三边关系”属于综合与实践的课程内容，具有较强的逻辑推理和探究性。《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“三角形的三边关系”教学中新增了尺规作图这一内容，旨在让学生感受尺规作图价值的同时，发展他们的推理意识、几何直观、空间观念等素养。推理意识主要包括合情推理和演绎推理。合情推理是根据已知的事实、线索，大胆猜测和推测结果的过程。演绎推理通常用来验证合情推理得到的结论是否正确，是从一般走向特殊的思维方式。本节课教学，教师注重引导学生在探究中感悟规律，培养学生的推理意识。

一、尺规作图，助力建构推理平台

推理意识的培养是一个缓慢的发展过程，需要通过直观的方式来支撑。因此，借助尺规作图进行教学，既可以让学生体会到圆规和直尺在作图过程中的作用，更好地探究新知，又为接下来发展学生的推理意识提供了平台。如果探索过程中仅单纯地进行推理说明，就会枯燥乏味，而借助图形观察推理出不等式关系式，能更直观、更科学，易于学生理解。

二、数据比较，全面凸显推理过程

推理意识的培养应贯穿整个数学教学过程，只有这样，学生才能真正掌握推理的方法。如在方法优化环节，教师引导学生寻找推理的路径，最后得出“只需要判断两条较短的线段的和大于第三条线段”这一结论。整个探究过程凸显推理的重要性，加深了学生对三角形三边关系的理解。

三、积累经验，精准培养推理意识

课堂上，教师鼓励并创造条件让学生经历探究学习的过程，积累数学活动经验，培养学生的推理意识。如演绎推理、论证归纳环节，教师引导学生联系前后知识重新思考三角形的三边关系时，先创设情境，再提出问题，使学生由此联想到“两点之间线段最短”这一知识点。这样教学，点燃了学生的学习热情，夯实学生的认知基础，有效培养了学生的推理意识。

总之，数学课堂中注重培养学生的推理意识，有助于学生养成独立思考的良好习惯、勇于探索的科学精神。同时，学生综合运用推理方法，能为解决更复杂的数学问题提供有力的工具和方法，提高自身的解决问题能力。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 江益珍，郑爱娣.尺规“探”三边 显“山”又露“水”：《玩转三角形之三边关系》教学设计[J].小学教学设计，2024（11）：56-58.

[2] 张悦嬛.立足新课标 探究新课堂：尺规作图的实验研究[J].小学教学设计，2024（11）：48-50.

（责编 杜 华）