一题可破万题山，变式指导破万难

［摘 要］ 二次函数最值问题专题教学时，建议采用变式探究的方式，深度分析母题，再结合考点进行变式构建. 教师要指导学生明晰问题特点，重点讲解思路方法，总结解题经验. 研究者围绕一道二次函数最值问题，开展变式教学探究.

［关键词］ 二次函数；最值；解法

二次函数最值是初中数学重难点问题，该问题融合了二次函数、几何、最值等知识内容，探究突破需要解析图像，构建最值模型. 其中最值模型的构建与分析转化是难点，需要重点讲解. 最值问题的构建形式多样，针对不同情形需要灵活使用方法，建议围绕母题开展变式探究.

母题探究，基础分析

问题：如图1所示，已知抛物线过A（4，0），B（0，4），C（-2，0）三点，P是抛物线上一点.

（1）试求抛物线的解析式.

（2）如图2所示，若点P在直线AB的上方，作PF⊥AB，点F在线段AB上，求PF的最大值.

本题以抛物线为背景，设定了曲线上的四个点，已知点A，B，C的坐标. 题设两问，分别求解析式和线段最值，分步构建即可.

（1）显然利用三点坐标很容易求出该抛物线的解析式，而教学的重点则是简化求解的方法，需要引导学生关注点A和C的位置（位于x轴上），可以直接将抛物线的解析式设为y=a（x-4）（x+2），后续直接将点B的坐标代入即可，即抛物线的解析式为y=-x2+x+4.

（2）该问设定了垂线段PF，求其最大值，属于线段最值，教学时需要指导学生采用“化斜为直”的转化技巧，具体过程如下.

过点P作PH平行于y轴，点H在AB上，如图2中的虚线所示. 再引导学生关注其中的相似模型，根据角度可以推导出△PFH∽△AOB，显然△PFH为等腰直角三角形. 从而可知，当PH取最大值时，PF也取到最大值，且线段长关系为PF=PH，则只需要研究PH的最大值即可.

其中点H所在直线的解析式为y=-x+4，点P在抛物线y=-x2+x+4上. PH的线段长可以表示为yPH=-x2+2x=-（x-2）2+2，显然当x=2时，PH取得最大值2，此时PF为.

教学评析 上述第（2）问为核心之问，主要考查“化斜为直”求线段最值，即构建一般线段PF与平行于y轴的线段PH之间的长度关系，后续利用解析式来求最值. 整个过程中，需要引导学生关注两点：一是如何构建线段关系，可借助相似模型、全等模型；二是线段关系构建后如何求最值，可结合解析式，也可关注特殊点.

一题多变，最值探究

教学探究中，建议围绕具体问题，采用一题多变的形式，指导学生逐步探究，即问题主体框架不变，对问题进行条件设定，改变其结构形式，讲解破解方法. 下面针对母题，进行最值问题多变探究.

1. 几何模型构造

问题：如图3所示，若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA=OA，过D作DE⊥x轴于点E，设△ADE的内心为I，试求BI的最小值.

教学指导：本题目中设定了动点D，并构建了△ADE，引出点I，求BI的最小值，实则问题为双动点线段最值. 其中D为主动点，I为从动点. 教学中需要引导学生明晰解题的关键，即确定动点I的轨迹.

指导时从基本条件入手，分析其中的线段、角度关系，整合条件. 分析易得△ADI≌△AOI（SAS），∠AID=∠AIO=135°，其中OA为定线段.

根据“定弦定角”隐圆模型，可确定点I在以OA为弦，所含的圆周角为135°的圆弧上. 可设该圆的圆心为F，连接FO，FA，∠OFA=90°，如图3虚线所示. 从而可得r=AO=2，则BI≥BF-r=2-2，即BI的最小值为2-2.

教学评析 上述问题构建主要考查“隐圆”模型构建，整个过程分为两个阶段：第一阶段，探寻动点I的轨迹；第二阶段，利用“两点之间，线段最短”确定最值情形. 其中轨迹圆或圆弧的确定是解题的关键，教学中需要引导学生总结隐圆确定的方法，如定弦定角、定点定长、四点共圆、对角互补等.

2. 二次函数模型构建

问题：如图4所示，抛物线的对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，M是线段DE上的动点，N（n，0）为x轴上一点，且BM⊥NM.

（1）求n的变化范围；

（2）当n取最大值时，过点0

，的直线l经过点N. 此时将直线l向上平移t个单位长度，使线段l与抛物线有两个交点，求t的取值范围.

教学指导：本题引入了动点M，设定了垂直关系，探究点N横坐标的最值. 需要引导学生关注点N与点M的关系，整个问题解决的关键是构建点N坐标的函数模型. 在抛物线问题中，则需要结合几何特性.

（1）点N与点M存在关联，引导学生从点M的坐标入手，再结合几何特性逐步推导. 设点M的坐标为（1，m），再关注图形中的直角三角形MNE，利用勾股定理构造出关于n的函数模型，即NM 2+BM 2=BN 2，代入线段长有（n-1）2+m2+1+（4-m）2=n2+42，整理可得n=m2-4m+1=（m-2）2-3，再结合位置关系有0≤m≤4.5，则-3≤n≤3.25.

（2）该问是关于点坐标最值的平移问题，引导学生分两步分析：第一步，分析平移后直线的位置情形；第二步通过交点情形来确定t的取值.

当n取最大值时，点N的坐标为

，0，结合点0

，可确定直线l的解析式为y=-2x+. 设其平移后的解析式为y=-2x++t.

分析可知向上平移点N落到抛物线上时，刚好有两个交点，此时点N的坐标为

，

，则t=；继续向上平移，只有一个交点时，-2x++t=-x2+x+4，-x2+3x--t=0，由Δ=0可得t=2.

综上可知，≤t<2.

教学评析 上述问题主要考查二次函数模型的构建，问题涉及求取值范围，实际上也可以理解为求最值. 与抛物线和直线位置相关的取值范围问题，实则为分析交点位置的临界点，教学中需要引导学生理解该问题的本质. 二次函数模型构建，通常有两种方式：一是利用特殊几何性质，如勾股定理；二是点、线、面的代数特征，与相交相关.

3. 加权线段构建

问题：如图5所示，若y轴上有一动点M，求AM+BM的最小值及点M的坐标.

教学指导：本题目中设定动点，求解AM+BM的最小值及点M的坐标，可以理解为加权线段最值问题，解题的关键是处理BM，将其转化为常规的线段.

分析问题条件，显然为胡不归模型问题. 指导学生作MH⊥BC，垂足为H，结合条件可转化为AM+BM=AM+MH≥AG，只需求解AG的长即可.

对于AG长计算，则有多种方法，教学中可以重点指导：一是采用等面积法，即AG==，再结合相似即可求出点M的坐标；二是利用三角函数知识，有tan∠BCO=2⇒=2⇒=，再结合三角函数可求点M坐标. AM+BM的最小值为，点M的坐标为（0，2）.

教学评析 加权线段最值问题较为特殊，需要转化加权线段，再求最值. 上述利用了胡不归模型来直接转化，后续确定最值情形，整合为单一线段. 该类问题的教学，需要侧重思路讲解，引导学生掌握基本转化策略，再深入讲解破题细节.

教学实践，学习建议

上述围绕一道抛物线最值问题展开变形探究，以常见的最值考查形式为基础构建，着重教学思路的分析和解题方法技巧的指导. 下面结合教学实践，提出几点建议.

1. 专题教学，变式拓展

初中数学问题多样，采用传统的“题海战术”无法显著提升学生的解题能力，而应侧重专题教学探究. 围绕一道问题，开展题型、解法探究. 专题探究需要注意两点：一是精选母题，以常见的题型为基础，条件简易，图形简单，便于后续拓展构建；二是全面整合问题类型，明确后续变式拓展方向，确保一题多变全覆盖.

2. 思路引导，技巧讲解

变式拓展探究中，建议分环节开展，分析问题，引导思路，讲解方法. 问题构建后，不要急于指导学生解题，而应分为三个环节：环节一，指导学生分析问题结构，把握问题特征；环节二，整合条件信息，引导学生明晰解题思路；环节三，推理过程讲解，重点指导解题方法. 通过解题三环节教学，让学生理解问题本质，掌握题型特点，总结方法技巧.

3. 思想渗透，素养提升

上述二次函数最值专题教学中，渗透了众多的数学思想，整个解题过程在思想方法指导下来解题构建，这些数学思想是解题的关键所在，教学中需要重点讲解. 以数形结合为例，教学中指导学生感悟方法内涵，整合条件，理解图像，借助图像来挖掘隐含信息，即“由数示形”与“以形释数”结合构建. 化归转化教学中，指导学生明晰“等价”的基准，在此基础上讲解常见的转化技巧.

写在最后

一题可破万题山，开展变式指导可使学生从根本上掌握类型题的解法. 实际教学中，要精选问题素材，围绕考点合理变形，引导学生掌握分析方法，总结解题经验. 教学过程合理渗透思想方法，提升学生的数学素养.