“分数除以分数”学习路径新探

【摘 要】“分数除法”是小学阶段最后呈现的计算教学相关内容，“分数除以分数”是“分数除法”的重点、难点所在。“分数除以分数”有多种学习路径，包括结合运算律进行推导、基于商不变性质的应用以及借助通分展开探究等。教师在对原有学习路径进行梳理、比较的基础上，结合学生学习实际，探索利用“分子除以分子，分母除以分母”解决分数除法问题的学习新路径，以帮助学生体会除法算理与乘法算理的一致性，掌握分数除法的计算方法。

【关键词】分数除法；计算方法；扩分；学习路径

“分数除法”是小学阶段最后呈现的计算教学相关内容，“分数除以分数”是“分数除法”的重点、难点所在。以人教版教材为例，这部分内容的编排从“倒数的认识”开始，逐步过渡到“分数除以整数”，最后深入到“一个数除以分数”。在探讨“一个数除以分数”时，呈现了“整数除以分数”和“分数除以分数”两种情况。本文以“分数除以分数”为内容，试图寻找符合学生思维习惯的学习路径，以帮助学生掌握分数除法的计算方法，并深刻理解其背后的算理。

一、对现有学习路径进行梳理，深入分析其优势与缺陷

通过查阅相关文献资料发现，除了人教版教材所提供的学习路径外，关于“分数除以分数”的计算方法还存在另外两种学习路径。第一种路径是运用“商不变性质”进行推理，例如：[57]÷[34] ＝（ [57]×[43] ）÷（[34] ×[43] ）＝（ [57]×[43] ）÷1 ＝ [57]×[43] ＝ [2021]。通过呈现具有类似规律的练习题组，引导学生发现分数除法的计算方法。［1］第二种路径是基于“除法意义”进行推理，即“单位计数个数相除，计数单位也相应相除”。在处理异分母分数相除时，由于不同计数单位相除会涉及分数除法，需要在通分的基础上进行推理。例如：[57]÷[34] ＝[2028]÷[2128] ＝（20×[128]）÷（21×[128]）＝（20÷21）×（[128]÷[128]）＝20÷21＝[2021]。［2］

在教学“分数除以分数”这一内容时，许多一线教师通常会采用上述两种不同的学习路径进行教学。然而，这两种方法在推导过程中均存在一些不足之处。具体而言，第一种路径即运用“商不变性质”进行推理，在面对具体分数除法问题时，如 [57]÷[34] ，学生往往难以联想到运用商不变性质进行解决。而第二种路径即基于“除法意义”进行推理，虽然能够帮助学生得出具体的答案，但学生解决问题时更多地停留在计算层面，难以通过探寻规律来归纳出更为普遍的计算法则（一般性的算理）。同样，在遇到分数除法问题时，学生也难以将其与“除法意义”进行关联。

二、在探索新路径的过程中，梳理问题并寻求解决策略

在探讨“分数除以分数”计算方法的过程中，笔者发现了一条新的研究路径，即除法与乘法之间的逆运算关系。通过分数乘法计算法则来探究分数除法的算法。已知分数乘法的计算方法为“分子乘分子作为得数的分子，分母乘分母作为得数的分母”，因此，分数除法的算法应当是“分子除以分子作为得数的分子，分母除以分母作为得数的分母”，不妨将这种方法称之为“分数除法新方法”。在探索这条新路径的过程中，遇到了诸多问题，试图通过思考解决这些问题。

问题1：哪些分数除法算式可以采用此方法？可以列举两类不同的分数除法算式。第一类算式，被除数与除数的分子和分母分别成倍数关系，如[1524]÷[34]，计算过程为[1524]÷[34]＝[15÷324÷4]＝[56]，发现此类算式能够采用分数除法新方法进行计算。第二类算式，被除数与除数的分子和分母分别不成倍数关系，如[57]÷[34]，发现此类算式无法采用分数除法新方法进行计算。

问题2：是否可以将第二类算式如[57]÷[34]经过转化后应用分数除法新方法呢？原算式无法使用此方法的原因在于，被除数的分子5并非除数的分子3的倍数，被除数分母7也不是除数的分母4的倍数。因此，探讨的焦点集中在“如何实现被除数与除数的分子和分母分别成倍数关系”。经过前测，发现大多数学生首先想到的是通分，如[57]÷[34]＝[2028]÷[2128]，但通分仅解决了“分母成倍数关系”的问题，而“分子成倍数关系”的问题仍未得到解决。经过讨论交流，学生想到了利用分数基本性质中的“扩分”［3］，即将分数的分子和分母同时乘上一个不为零的数，分数的大小保持不变。为确保分子5扩分后是3的倍数，分子和分母同时乘3、6、9……同理，为使分母7扩分后成为4的倍数，分子和分母同时乘4、8、12……在此基础上，为简化计算过程，应选取最小倍数进行乘法运算。如此一来，[57]÷[34] ＝ [5×3×47×3×4]÷[34] ＝ [5×47×3] ＝ [2021]。借助扩分方法，成功解决第二类算式中的难题。

问题3：如何引导学生自发地领悟计算方法？面对第一类算式和第二类算式，学生的关注点往往集中在求解结果上，难以自然地洞悉计算法则（一般性的算理）。为此，在具体算式计算的基础上，采用字母式对计算方法进行概括，具体而言，即引导学生推导[ab]÷[nm] ＝ [a×n×mb×n×m]÷[nm] ＝ [a×mb×n]。当学生采用字母式来表述计算过程时，他们能够直观地领悟“除以一个分数，等于乘其倒数”这一计算法则。

问题4：为何第二类除法算式需要进行扩分运算，而第一类则不需要？对比两道分数除法算式 [1524]÷[34] 与 [57]÷[34] ，若从分数乘法验算的角度思考，前一道题在乘法运算过程中无须约分，因此在逆向运算即除法中亦无须扩分；而后一道题在乘法过程中则需要进行多次约分，即其结果 [57] 已是约分后的最简分数。因此，在除法运算中，须将 [57] 进行扩分，以确保被除数与除数的分子和分母分别成倍数关系（如图1）。

问题5：“分数除以分数”这一新授课内容应在何时进行教学？本单元学习内容包括认识倒数、分数除以整数、整数除以分数以及分数除以分数。由于整数可转化为分数，一旦学生掌握“分数除以分数”的计算法则，分数除以整数与整数除以分数的计算问题将迎刃而解。因此，“分数除以分数”更具一般性，适宜作为这一内容的起始教学内容。那么，这一课时置于“认识倒数”之前还是之后？不学习倒数是否会影响本内容的学习效果？人教版教材中提及“乘积是1的两数互为倒数”，即指两个数之间的关系。如果两个数都是分数，那么这两个数的分子、分母交换位置，是从形式层面进行理解的。因此，不学习倒数对本内容的教学并无实质性的影响。综上所述，可以将“分数除以分数”作为分数除法的单元起始内容进行教学。

三、在新路径中规划教学预案，探讨分数除法的计算方法

（一）提出猜想，构建数学表达式并进行分类

1. 提出问题，依据经验进行猜想

复习分数乘法的计算方法，并板书“分子乘分子作为得数的分子，分母乘分母作为得数的分母”。接着，提出问题：你认为分数除以分数的计算方法会是怎样的？让学生基于已有知识经验进行猜测，梳理想法。预设会有学生猜想“分子除以分子作为得数的分子，分母除以分母作为得数的分母”。

2.构建数学表达式，判断方法适用范围

要求每个学生任意写三道分数除以分数的算式，随后四人一组对这些算式进行分类，明确哪些算式适用于猜想的方法，哪些算式不适用。

分类结果如下：第一类算式，如[1524]÷[34]，适用于猜想的方法；第二类算式，如[57]÷[34]，则不适用猜想的方法。将这些算式分两类进行板书。

（二）聚焦核心问题，探索分数除法的算法

1. 验证猜想计算方法的合理性

让学生从第一类算式中挑选一道进行计算，并板书其计算过程，如[1524]÷[34]＝[15÷324÷4]＝[56]。随后，提出问题：你怎么判断计算结果是否正确？引导学生利用乘法进行验算，验算过程为[56]×[34]＝[5×36×4]＝[1524]，确认结果无误，从而验证猜想方法的合理性。组织学生在小组内交流第一类算式中其他算式的计算过程，进一步确认猜想的合理性。

2. 围绕核心问题，寻找解决方案

呈现第二类算式，如[57]÷[34]，并提问：为何无法采用猜想的方法进行计算？引导学生发现，被除数的分子5不是除数的分子3的倍数，被除数的分母7不是除数的分母4的倍数。进而提出问题：如何调整，使被除数的分子是除数的分子的倍数，被除数的分母是除数的分母的倍数？鼓励学生独立思考，并在小组内交流。预设有学生会想到用通分的方法，此时应引导学生观察并思考通分能解决什么问题，以及不能解决什么问题，使学生明确通分仅能解决“被除数的分母是除数的分母的倍数”的问题，不能解决“被除数的分子是除数的分子的倍数”的问题。预设有学生尝试将被除数[57]的分子与分母同时乘12，此时教师应追问：12是从哪里得到的？引导学生发现：12是除数分子3和分母4的最小公倍数。继续追问：为什么被除数的分子与分母需要同时乘3和4的积？让学生理解，利用分数基本性质进行扩分，可以解决“被除数的分子与除数的分子、被除数的分母与除数分母分别为倍数”的难题。教师板书计算过程：[57]÷[34] ＝ [5×3×47×3×4]÷[34] ＝ [5×47×3] ＝ [2021]，并用乘法进行验算。接着，从第二类算式中选取两道题目，让学生独立完成，并在小组内交流，最后进行集体反馈，以巩固计算方法。

3.归纳一般形式，得出计算法则

教师出示[ab]÷[nm] ，让学生尝试进行计算。教师引导学生推导计算过程：[ab]÷[nm] ＝ [a×n×mb×n×m]÷[nm] ＝ [a×mb×n=ab]×[nm]。提问：通过观察这个用字母表达计算过程的算式有什么发现？学生交流后，得出计算法则“除以一个分数，等于乘这个分数的倒数”（学生心中的倒数，即分子与分母交换位置）。

4.追寻数学本质，理解扩分缘由

教师提问：为什么第一类除法算式的运算过程不需要扩分，而第二类则需要？引导学生观察验算过程，发现第一类算式用乘法验算时，结果无须约分，而第二类算式用乘法验算时，需要经过约分才能得到最简分数。让学生说一说约分与扩分之间的区别，理解两者之间的关系。

四、深入理解教材内容，创造性地使用教材

从单元教学的视角审视，教材的编排往往遵循从“特殊”到“一般”的学习路径，即从特定案例的探究开始，逐步提炼出普遍适用的原理和方法。例如，在“分数除法”单元中，教学内容顺序为：分数除以整数、整数除以分数以及分数除以分数。当然，教学过程也可以采取从“一般”到“特殊”的学习路径，这种方法能够激发学生的认知冲突，发展其思维能力，直击数学本质。实践表明，以“分数除以分数”作为单元起始内容，可以取得良好的教学效果。

对于一线教师而言，不应局限于教材所提供的教学内容和过程，而应具备探索和创新的精神。通过单元整体设计，构建符合学生学习规律和数学本质的学习路径。然而，这样的学习路径构建并非易事，它要求教师广泛阅读与教学内容相关的各类文献资料，对教材中的知识点有深刻和全面的理解，深入调查学情。

综上所述，一线教师在进行单元教学时，应勇于突破教材的局限，通过广泛阅读和深入理解，创造性地使用教材，确保教学活动的趣味性和挑战性，引导学生主动探索和思考，从而实现高效的课堂教学。

参考文献：

［1］王浩亮.利用商不变性质探究分数除法的算理与算法［J］. 小学教学设计， 2024（29）：40-41.

［2］金滢，施仁杰. 如何让“一个数除以分数”的算法从特殊走向一般［J］. 教学月刊·小学版（数学），2023（9）：40-41.

［3］《数学辞海》编辑委员会. 数学辞海（第一卷）［M］. 太原：山西教育出版社， 2002.

（浙江省嘉兴南湖实验学校）