数学试题中“基础性”的体现及备考策略探讨

【摘要】近年高考数学全国新课标卷“持续深化基础性考查”.以具体的试题、案例阐释“基础性”的内涵，呈现高考数学试题“基础性”的体现样态，揭示高考备考注重基础性的基本策略和路径.

【关键词】高考数学；新课标卷；基础性；评价分析；策略路径

2024年全国高考数学新课标卷，特点之一就是“持续深化基础性考查”.近年的高考数学全国卷，尤其是新课标卷不断加强对于基础知识、基本原理的考查力度，延伸基础性考查的内涵[1].“高考注重基础性考查”“高考备考要注意夯实基础”的观点每年都广泛提及，高三师生备考指向也明了于心，但每年高考数学依然很多“成也基础败也基础”的案例.何为“基础性”？高考数学试题如何体现“基础性”？高三备考应如何有效夯实基础？本文立足数学试题中“基础性”的体现评析，探讨高考备考注重基础性的基本策略和路径，给一线教师以启示.

1高考评价体系中的“基础性”的内涵及解读

高考评价体系指出，“基础性包括学科内容的基本性、通用性以及情境的典型性.它要求以生活实践或学习探索中最基本的问题情境作为任务创设和基本知识能力运用考査的载体，对即将进入高等学校的学习者应掌握的学科基本概念、原理、技能和思维方法进行测量与评价”［2］.

高考关注各学科中的主干内容，关注学习者在未来的生活、学习和工作中所必须具备、不可或缺的知识、能力和素养.高考注重基础性，强调基础扎实，促进学生系统掌握学科基础知识、基本技能、基本方法，从而促进教学回归课程教材，夯实学生成长的基础.因此，笔者将“基础性”界定为《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“课标”）提出的“四基”：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.

1.1基础知识

数学基础知识，主要指课标中要求掌握的数学概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的一些具体方法.

例1 （2025届广州市高三阶段训练卷第3题）长江被称为黄金水道，而三峡大坝则是长江上防洪发电的国之重器，三峡大坝坝前正常蓄水位为海拔175米，而坝下通航最低水位为海拔62米，为了改善船舶的通航条件，常常会通过修建阶梯船闸来实现（如图1），船只只需要像爬楼梯一样，以实现上升或者下降，假设每个闸室之间的水位差均可控制在15至25米之间，则要保证全年通航，那么三峡大坝船闸至少需要修建闸室的个数为（）.

A.4B. 5C. 6D. 7

评析本题创设一个利用等差数列知识解决实际问题的简单生活实践情境.通过将情境问题建立数列模型、解决问题，考查等差数列的定义、通项公式及其性质等基础知识：等差数列{an}，首项为a1=62，末项为an=175，公差为d∈（15，25），先求项数n.由d=an-a1n-1=175-62n-1∈（15，25），得n=6，7，8，从而答案为B.试题将基础知识载体融于实际生活情境，考查了基础知识，同时考查了阅读理解能力、数学建模能力，体现数学知识的应用性.充分凸显高考“基础性”试题“情境在命题中的运用”：“在命制试题时，要以问题情境为载体，加强对基本概念、原理、思想方法的考查，体现高考试题的‘基础性’.这一类型的试题引导学生重视学科的基础内容，确保学生基础扎实.只有根深基稳，才能枝繁叶茂；只有打好基础，学生才能在未来的学习工作中更好地成长和发展.”[3]

可见，对基础知识的考查不一定是“裸考知识”，新高考更倡导基于情境的“知行合一”的考查，实际难度有所提升.复习备考，不仅要求教学关注基础知识的梳理、扎实训练，同样需要重视创设运用知识解决问题的基本情境.

1.2基本技能

数学基本技能，主要是指能够按照一定的程序与步骤进行熟练操作的数学行为与本领（如计算、化简、变形、作图、进行简单的推导等）.

例2（2025届广州市高三阶段训练卷第3题）若sin（π12+α）=45，则cos（2α-5π6）=（）.

A.-1225B. -725C.725D.1225

评析高考强调“基础扎实”，因此命题不回避“裸考”基础知识，应当更突出对基本技能以及学科核心素养的融合考查.本题主要以考查二倍角公式、诱导公式、三角恒等变换等基础知识，着力考查基于算理分析、解决问题的数学运算能力.如学生首先要观察出已知、未知式子中角度的特点，从而合理运用“二倍角公式cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α”求解.如，可将“未知角”构造成“已知角”，2α-5π6=2（π12+α）-π，从而cos（2α-5π6）=cos［2（π12+α）-π］=-cos 2（π12+α）=2sin2（π12+α）-1=725，从而获得答案C.这种靠观察直接“构造”的题一般只适用于结构简单的情形，对于复杂的结构，更需要在夯实基础知识的过程中，形成更本质的基本技能.本题的基本技能本质上就是“换元法”，令t=π12+α，反解α=t-π12，代入cos［2（t-π12）-5π6］=cos（2t-π）=-cos 2t，最后计算求解（略）.此题考查的基本技能就是考查“换元法”的如上“操作流程”.基本技能的熟练性，可以通过强化训练来实现，大前提是学生要先形成结构化的知识、再形成结构化的技能，才可以学以致用.

可见，对基本技能的有效考查，可以通过创设基于基础知识的较复杂的问题情境，借助“结构特征”强化技能识别与应用.因此，教师“双基”教学，不能只提供“双基”练习，学生“机械刷题训练”、老师“对对答案”，而要基于学情充分把握强化对基础知识、基本技能结构化活动的设计与反思.

1.3基本思想

数学基本思想，是指对数学及其对象、数学概念和数学结构以及数学方法的本质性认识.

例3（2025届广州市高三阶段训练卷第6题）函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω>0）的部分图象如图2所示，直线y=12与其交于A，B两点，若|AB|=π3，则ω=（）.

A. 1 B. 2 C. 3D. 4

评析本题考查三角函数图象及其性质、三角函数的图象变换等基础知识，考生可能面临两种情形.其一，与自己以前做的三角图象题相比较感觉陌生，不明白题意而无从下手；其二，基于“零点”思路求解：设A（x1，12），B（x2，12），x2-x1=π3，考虑A，B两点在该函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω>0）同一周期内，于是由cos（ωx1+φ）=12=cos（ωx2+φ），不妨令ωx1+φ=π3，ωx2+φ=5π3，两式相减得ω（x2-x1）=4π3，即ω×π3=4π3，所以ω=4，从而得答案D.实际上，如果从f（x）=cos（ωx+φ）（ω>0）图象变换的本质上看：平移变换不改变图象形状及某两点相对距离，而伸缩变换改变图象形状及某两点相对距离（变化规律是伸缩变换前后的伸缩比例相同）.因此，本题基于抽象思想，可将问题等价于“将函数y=cosx图象上的两点A0（π3，12），B0（5π3，12）横坐标变为原来的1ω，再将得到的图象平移，得到函数f（x）=cos（ωx+φ）图象上的两点A（x1，12），B（x2，12），|AB|=π3”，所以|AB|=π3=（5π3-π3）×1ω，从而快速获解.两种解法均能求解，但反映的是思维水平和问题本质理解的差异，从而体现在解题速度差异上.造成这两种差异的原因是教学时，教师对数形结合思想宽泛认识（要深刻理解具体数学对象的图象性质）和对学生揭示问题本质的引导缺乏.

数学基本思想和数学方法既有区别又有密切的联系.数学基本思想表现较宏观，体现的是对数学对象的一种本质认识；数学方法表现较具体，并具有程序性、步骤性、路径性和可操作性.数学基本思想，蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，影响着数学知识内容发展的主线和逻辑架构，也是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括.它表现多样，如归纳、演绎、抽象、分类、模型、结构、数形结合、随机等.教师需要善于根据教学的实际，采取恰当的手段使学生对这些思想有所感悟.

1.4基本活动经验

数学基本活动经验，是指学生通过亲身经历数学活动过程所获得的具有个性特征的经验.

图3例4（2025届广州市高三阶段训练卷第10题）如图3，造型为“∞”的曲线C称为双纽线，其对称中心在坐标原点O，且C上的点满足到点F1（-1，0）和F2（1，0）的距离之积为定值a，则（）.

A.点（2，0）在曲线C上

B.曲线C的方程为（x2+y2）2=2x2-y2

C.曲线C在第一象限的点的纵坐标的最大值为12

D.若点（x0，y0）在C上，则y0>|x0|

评析本题是一个新定义的现场学习类型的题型.以卡西尼卵形线为背景，给出了其特殊情况“双纽线”的定义，基于定义、数形结合、解析法等研究曲线的简单几何性质.主要考查学生阅读理解能力以及逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养.本题难度不算很大，要想解决问题，必须要有“解析几何”研究经历、基本活动经验.研究思路：曲线定义→曲线方程→曲线简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率等）.还要具有方程变形技巧等.所以，首先求解曲线的方程，直接“翻译”条件即可：设曲线上的点P（x，y），则|PF1|·|PF2|=a，即（x+1）2+y2·（x-1）2+y2=a，由图可知曲线经过原点O（0，0），所以将原点坐标代入得a=1，于是（x+1）2+y2·（x-1）2+y2=1.两边平方变形得，［（x2+2x+1）+y2］·［（x2-2x+1）+y2］=1，至此基于经验需要用平方差公式展开变形［（x2+y2+1）+2x］·［（x2+y2+1）-2x］=1，即（x2+y2+1）2-4x2=1，化简得曲线C的方程：（x2+y2）2=2（x2-y2），所以x2>y2，即|x|>|y|，从而易知A选项正确、BD选项错误；至于C选项，需要有处理双变量的经验，根据需要本题将x视作变量，y视作参数，将方程整理成关于x的方程（x2）2+（2y2-2）x2+（2y2+y4）=0，所以Δ=（2y2-2）2-4（2y2+y4）≥0，化简即得-12≤y≤12，即C正确.故答案为AC.

如果学生全程经历了圆锥曲线的研究过程，学生应该能顺利解答此题.数学基本活动经验，有两个关键词体现了其核心要义：一是“活动”，二是“亲身经历”.数学基本活动经验具有主体性、实践（过程）性、多样性、发展性特征；数学活动经验的类型，有多种，如直接的活动经验和间接的活动经验，设计的活动经验和思考的活动经验等.数学活动经验不仅仅是解题的经验，更重要的是在多样化的数学活动中去思考、去探索、去发现结论的经验.它重在积累，在积累中所获得的丰富而有价值的经验往往是孕育素养、形成智慧、进行创新的重要基础.因此，教师教学需要突出学生主体地位，让学生有机会充分探究、经历、体验.

“四基”不是相互独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体.

例5（2025届广州市高三阶段训练卷第11题）类比平面上的三角形是由三条线段首尾顺次相接构成的封闭图形，我们把球面上三条大圆的劣弧AB，BC，CA首尾顺次相接构成的封闭图形称为球面三角形，如图4所示，分别连接球心O与不在同一大圆上的三点A，B，C，定义球面△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C分别为二面角B-OA-C，A-OB-C，B-OC-A的平面角.则下列说法正确的是（）.

A.若∠AOB=π3，球的半径为2，则AB=2π3

B.存在球面△ABC，使得∠A+∠B+∠C=3π2

C.若∠AOB=π3，球的半径为2，OC⊥OA，OC⊥OB，那么球面△ABC的面积为8π3

D.若∠B，∠C是锐角，且∠B>∠C，则AC>AB

评析本题通过创设“球面三角形及其内角”的“新定义”情境，主要考查了弧长公式、二面角及其求法、球的表面积公式、三角函数等基础知识，考查了阅读理解能力、逻辑推理能力、数学运算能力以及空间想象能力等.

对于A选项，直接利用弧长公式l=rα=2×π3=2π3，故A正确；

对于B选项，当OA，OB，OC两两垂直时，根据定义可得∠A+∠B+∠C=3π2，故B正确；

对于C选项，由条件知球面△ABC占半径为2的球面的比例为12×π32π=112，所以球面△ABC的面积为112×4π×22=4π3，故C不正确；

对于D选项，如图5，作AD⊥平面BOC于D，作AE⊥BO于E，AF⊥OC于F，连接DE，DF，则球面△ABC的∠B，∠C的平面角分别为∠AED，∠AFD.从而∠AED>∠AFD，所以sin∠AED>sin∠AFD，即ADAE>ADAF，所以AE<AF，从而AEAO<AFAO，即sin∠AOB<sin∠AOC，所以∠AOB<∠AOC即得AC>AB，故D正确.

可见，本题在情境中充分融合了“四基”的全面考查，学生解题最大的障碍点就是空间想象能力不强而难以作答.本题充分体现“高考数学的基础性考查，绝不是对单一知识点的简单回忆和重复再现，而是要考查对于基本知识、原理、方法、技能的深入理解和综合运用，实现对其深度的全面检测，引导老师和学生重视对其本质属性和内在联系的深刻理解与掌握”[1].因此，教师在教学设计和教学活动组织中，应同时兼顾这四个方面的目标，这些目标的整体实现，才是学生数学学科核心素养得以提升的保障.

2高考备考注重基础性的基本策略和路径启示

实际上，高考评价体系中的关于“基础性”的理念阐述以及“基础性”试题的基本内涵，为我们明确了教学基本方向.

2.1重视教材的研究与挖掘

高考评价体系中的“四翼”突出基础性，明确指出：“高考围绕学科主干内容，加强对基本概念、基本思想方法的考查，杜绝偏题怪题和繁难试题，引导教学重视教材，夯实学生学习基础，给学生提供深度学习和思考的空间.”[3]章建跃博士更是从具体操作策略和路径上，反复表达了类似观点：在高考备考阶段，可以按照函数、几何与代数、概率与统计对教材进行整合，引导学生在知识的变式表达、联系与综合上下功关，教材上一些典型题目要让学生反复琢磨，并进行适当拓展；另外，还要适当安排数学建模活动、数学探究活动.教学如果再不重视教材、重视概念，不在夯实基础知识上下功夫，不给学生留出充分的独立思考、自主学习的时间和空间，而是用大量的刷题把所有时间占满，那么结局必然是高考败北.

2.1.1促进学生对核心概念的理解和知识体系的构建

复习过程，要引导学生再次回归教材、回归基础，重视对概念、公式、定理的重新学习、推导，并以典型题型为抓手，促进学生对核心概念的深刻理解，发展思维.教师给学生充分的时间、空间，首先要让学生多次通读教材，力求准确理解概念，会推导教材中的定理、公式等，过关教材中的大部分题目.其次，教师要重视课标、教材的研究，基于课标、教材重组内容设计教学活动，对重要的例题重点教学、对教材深入挖掘，多变式教学，引导学生讲、做，激发学生深入思考，在学生疑惑处教学.引导学生在回归教材的过程中，深化观察、思考、探究、总结等思维过程，促使学生对基础知识、概念和基本原理的深刻理解，掌握学科知识的本质属性和内在联系，在此基础上能够做到应用、拓展和迁移综合运用.教师要突出学科主干内容，研透、讲透新教材中每节后面的练习题，课堂教学要提升课堂效果，着力培养学生的学科核心素养.

2.1.2处理好教材与教辅的关系

高三备考要重视教材，不能过度依赖教辅（特别劣质教辅）而忽视教材.首先应该挖掘与用好教材，其次根据对教材的理解、挖掘需求，对教辅资料进行质量甄别，对学习素材取舍、详略补充使用等加工与处理，真正体现其“教”之“辅”的地位和功能.教辅资料和教材可结合起来使用.如，知识概念的教学要利用教材，练习和典型题型教学可利用教辅资料.

2.1.3强化“教材+高考”意识

“用好教材”，教师要成为回归和研究教材的主体，强化“教材+高考”意识.结合高考真题、优秀的模拟试题，到教材上找出处.教师可以强化“四个关注”：关注高考和教材的联系，如教材的典型例题、典型习题；关注对形成学科思想有帮助的相关内容，如小结、引言等；关注体现新课程理念和特点的内容；关注正文内容、辅助文内容，相关链接等，把教材“用好”.

2.2重视教法的研究与优化

教学方式、方法决定着教学效益的高低，高考备考要走出“低效益高消耗”状态.目前我们比较突出的“低效益高消耗”的教学方式主要有：

（1）“满堂灌”的教学方式.没有给学生思考的时间，教师的讲授和分析代替了学生思考；老师只顾自己教，自己讲，完成任务，不顾学生学的如何；由于教师的授课方式单一，满堂灌、学生参与的深度和广度不足，导致相当一部分学生处于浅表性学习和假学习状态之中.

（2）盲目刷题，“做题+讲题”模式.缺乏针对性刷题，忽视了对高考命题的深入研究，未有针对性刷题；缺乏适当的总结和反思，忽略了错题的分析和针对性的补救；盲目追求做题量而忽略了基础的巩固和概念的理解，导致学生遇到变化时无法灵活应对；认为刷题是提高成绩的唯一路径，同时长时间刷题的复习方式导致学生心理压力过大；大量盲目刷题忽视了对学生的创新思维的培养.

立足“四基”的教学，不是简单进行做题、讲题，更不是反复刷、讲简单题，需要突出学生主体地位、激活其主观能动性，积极进行启发式、探究式、互动式教学，重视思维的教学，重视情境的创设，重视积累学习的基本经验.

总之，高考命题注重基础性考查.基础性考查，不是裸考知识，不是考简单、容易的内容，基础性的考查同样体现“新、活、广、深”的命题特点，同样注重思维的考查.我们备考，深化基础性，特别需要关注情境创设、问题解决、知行合一的命题考查理念，要重视基于“四基”的内涵，基于教材的挖掘、教法的优化等来实现，尤其注意学生基本活动经验的积累.

参考文献

[1]赵轩，翟嘉祺，郭淑媛.强调灵活考查思维聚焦创新人才选拔：2024年高考数学新课标卷评析[J].数学通报，2024，63（06）：44-47.

[2]教育部考试中心．中国高考评价体系[M]．北京：人民教育出版社，2019．

[3]教育部考试中心．中国高考评价体系说明[M]．北京：人民教育出版社，2019．

作者简介

伍勋（1974—），男，湖北黄石人，广州开发区外国语学校校长，中学高级教师；广州市第十六届中学数学教学研究会理事，黄埔区中学数学兼职教研员；获高中数学优质课竞赛市一等奖多次，主持省、市级课题多项；主要从事中学数学教育教学研究及管理工作.

吴光潮（1979—），湖北安陆人，中学高级教师，广州市第十六届中学数学教学研究会常务理事，华南师范大学教育学部兼职研究员，广州大学硕士研究生校外兼职导师；获高中数学优质课竞赛国家二等奖1次，省部级一等奖2次、三等奖1次，市级一等奖多次，主持省、市级重点规划课题多项；主要从事中学数学教育教学研究；发表论文30余篇（人大复印资料转载多篇）.

基金项目

广东省教育科学规划领导小组办公室2025年度中小学教师教育科研能力提升计划项目（重点课题）“指向深度学习的中学数学单元整体教学研究”（2025ZQJK056）.