平均数与“双减”的故事

最近听一位青年教师执教“平均数的认识”。为了强调随机数据，这位老师采用了调查学生一周写作业时间的素材，面对同学A一周内5天写作业的时间数据，学生在选择一个数据代表每天的作业时长的问题中，认识了平均数。最后一个环节，这位老师问：“我们能否通过同学A平均每天写作业的时间均没有超过60分钟，就认为作业量符合‘双减’政策？”学生认为不能，要看全班学生的情况，于是老师出示全班学生的调查情况，并计算出全班学生每天写作业的平均时长为48.3分钟。学生认为48.3分钟比60分钟短，所以可以认为作业量符合“双减”要求。

课后，我就这个环节提出了自己的疑问：“‘双减’政策确实要求‘三至六年级书面作业平均完成时间不超过60分钟’，但这只是一个参考时长，并没有明确如何判断作业量是否符合‘双减’政策。如果一个班的学生中有一半写作业时间超过60分钟，还有部分学生写作业速度很快，仅仅用了不到40分钟，通过计算得出平均时间不超过60分钟，我们能依此判断作业量符合要求吗？这里用平均数这个统计量来衡量作业量是否合适？用在60分钟内完成作业的人数占总人数的百分比来衡量是否更合适？”经过一番争论，老师们发现这个情境确实不太合适，自己对平均数的理解似乎并没有想象中那样深刻。

2022年版课标指出：“数据意识主要是指对数据的意义和随机性的感悟……知道同一组数据可以用不同方式表达，需要根据问题的背景选择合适的方式。”平均数、百分数是小学阶段要学习的重要统计量，平均数的本质是刻画一组数据的整体水平，反映数据的集中程度；百分数是两个量之间倍比关系的表达，反映的是数据的分布情况。以往的教学更关注学生对平均数和百分数的算法掌握、概念理解，也就是会计算平均数、百分数，知道平均数代表一组数据的整体水平，每个数据都会影响平均数，百分数表示一个数是另一个数的百分之几等特性。平均数和百分数作为统计量被划分到“统计与概率”领域后，教学时就需要关注学生对其统计意义的理解，从而培养学生的数据意识。刘加霞教授指出：“理解平均数、百分数的统计意义”是数据意识的重要内容，平均数的统计意义主要体现在“理解平均数‘代表’一组数据平均水平的合理性”“如何用样本平均数推断总体水平”等方面，小学阶段主要是前者。百分数的统计意义则主要体现在用百分数描述随机数据的分布情况及随机事件发生的概率。在本节课中，学生能体会到48.3分钟可以代表全班学生每天完成作业的时间即可。但作为老师，我们需要明确百分数与平均数在解决实际问题时反映的是数据的不同特征。“用一个数代表全班学生每天完成作业的时间”和“怎样判断作业量是否符合‘双减’政策”不是同一个问题，解决后一个问题不仅需要平均数，还需要观察不同时长的学生的分布情况，再通过权衡选取一个合适的百分数来判断，这个问题更复杂，留到六年级学习百分数时再解决比较合适。

统计与我们的生活息息相关，如何根据问题的背景选择合适的方式进行表达是数据意识的一个重要方面。正因为复杂，所以更能凸显统计的价值和意义。话说回来，您认为每天完成作业时长不超过60分钟的学生占学生总数的百分之几能较好地判断作业量符合“双减”政策呢？

（作者单位：湖北宜都市教学研究室） Y