HPM视角下的单元整体设计

2022年版课标强调数学教育的整体性和发展性，倡导重视单元整体教学设计，促进学生对数学教学内容的整体理解与把握，逐步培养学生的核心素养。在HPM（History and Pedagogy of Mathematics）领域，数学史与数学教育的融合被认为是提升数学教学质量、增强学生数学素养和学习兴趣的重要途径。

19世纪以来，欧美学者不断探讨数学史在数学教育中的价值，如“给予数学一个人文面向”“历史发展有助于安排课程内容顺序”“向学生展示概念的发展过程，有助于他们对概念的理解”“历史发展中出现的障碍有助于解释今天学生的学习困难”等［1］。近年，国内学者将相关研究成果引入数学教育实践中，并将国外若干种数学史融入数学教学的方式整合为附加式、复制式、顺应式和重构式四类［2］。

从单元整体教学的角度看，数学史的价值在于以下几个方面：一是数学史揭示了数学概念发生、发展的过程。在这个过程中，我们看到数学概念发展的关键点或者核心问题，这些关键问题的解决往往蕴含重要的数学思想或方法，也就是大概念。二是由于学生的理解具有历史相似性，因此数学的历史也是数学的教学指南。学生在数学学习中所遇到的困难往往是历史上的先驱经过长期思索和探讨后所克服的实际困难，因此，数学史能揭示学生自然的学习路径。三是数学史融入教学能够促进学生的深刻理解。在数学教学中直接呈现历史上的数学问题，提供“做数学”的学习素材，能够加深学生对数学的理解；对原始文献进行改编，让数学史材料古为今用、推陈出新，能够帮助教师创设真实性学习情境；重构历史进程，呈现知识的自然发生过程jzvo+VTgMPb60Tv5pWjHIQ==，激发学生的学习需求，是恰当的探究性学习活动资源。

基于数学史在单元整体教学中的价值，结合“大概念统领，结构化关联”的单元整体教学研究思路，我们确立了HPM视角下的单元整体设计思路，即“厘清历史脉络，提取核心概念，明晰素养目标—基于历史相似性，厘清单元结构及学习路径—提炼关键问题，设计融入数学史的序列任务”。下面以人教版教材四年级上册“大数的认识”单元为例，阐述研究与实践的路径。

一、提取核心概念，明晰素养目标

（一）厘清历史脉络。

1.计数制的发展：进位制。

在人类文明的发展历程中，世界各地的古老民族创造了五花八门的记数方法。除记数符号的差异外，大多数古老民族采用的都是“满十进一”的十进制。

例如，大约形成于公元前3400年的古埃及象形数字采用的就是简单累数制，即1、10、100、1000等（10的乘幂）都有专门的符号表示，记数时，重复这些符号并组合起来（用加法累加）。中国的甲骨文数字、罗马数字都只是在简单累数制的基础上略有改进。

虽然这样的记数方式形象、直观，但是当人们需要表示更大的数时，就要不断创造新的记数符号表示更大的单位，并且记数过程也愈加烦琐。

2.计数制的完善：位值制。

位值制也蕴含了进位的思想，它是进位制的高级版本。世界上较早应用位值制计数的地区有古巴比伦、玛雅、中国和古印度。

古巴比伦的楔形数字最早采用位值制的计数方法，产生于公元前2400年左右。它只有两个记数符号，“T”形的楔形数字表示1，“〈”形的楔形文字表示10。60以内用十进的简单累数制，60以上用六十进的位值制。中美洲的玛雅文明采用的计数法与古巴比伦的类似，20以下用五进的简单累数制，20以上用二十进位制。

中国古代与古印度采用的都是十进位值制计数，但中国古代用的是算筹，而古印度人大约在公元前600年创造了比象形符号更为抽象的9个字符，用来表示1～9这9个数字，随后又创造了数字0的符号。经过阿拉伯人的传播以及不断改进，印度-阿拉伯数字逐渐发展为现在的国际通用数字。

3.运用中的问题解决。

在我国，十进制计数法还发展出了四位一级的数级概念。它作为一种通行的计数习惯和大数表示方法，广泛存在于涉及大量数字记录的官方文书中，诸如《元和郡县图志》《通典》等反映唐代社会经济情况的历史地理文献，在记录土地面积、人口、物资数量等方面，会采用四位分级的方式进行表述，体现了这种计数法则的应用。显然，数级是追求方便与效率的历史产物。有了数级，可以按照四位一组的规律给数位命名，读数、写数可以一级一级地读写。

对数的简化和估算的需求产生了“四舍五入”法。在中国，“四舍五入”的概念可以追溯到非常早的时期，《淮南子》《九章算术》中均有运用“四舍五入”法的体现。三国时期的《景初历》中明确记载了“半法以上排成一，不满半法废弃之”的原则。在世界其他地区和文化中，也有类似的方法。随着时间演变和发展，“四舍五入”法因其简单易行和误差较小的特点，成为全球通用的数值修约标准之一，并在现代数学和科学领域广泛应用。

（二）提取核心概念。

十进制计数法产生的历程中，首先是对数量的抽象产生了数，十进制的确立则明确了数的表示就是计数单位的累加，而位值制的产生则将记数法推向了新的高度。有了位值制，多大的数都可以用0～9这10个数字表示；基于位值制，我们才需要按照现有的规则计算整数四则运算。位值制这一伟大的成就，正是数学得以抽象化、逻辑化持续发展的基础。

四位一级的“数级”概念、“四舍五入”求近似数的方法，说明数学的许多规定是人们根据解决问题的需要逐渐发展和一致认可的合理方案。

综上所述，我们提取了与本单元相关的4条核心概念：

1.数是对数量的抽象，是计数单位的累加。

2.用0～9这10个数字就能表示所有自然数，每次满十进一会产生新的计数单位，每个数字表示的大小取决于它绝对的值和所在的位置。

3.为了方便表达更大的数，创造了“数级”，使十进制计数法得到完善。

4.大数的读写方法、“四舍五入”法等规则是人们根据解决问题的需要，通过协商、约定得来的。

（三）明晰素养目标。

本单元需要发展的核心素养是数感，主要体现在通过推理、抽象理解万以上数的意义，能在具体情境中把握万以上数的大小关系，能用多种方法表示万以上的数等。根据我们提取的核心概念以及数感的内涵表现，确定本单元的核心素养目标如下：

1.能借助计数器、数位顺序表，通过推理认识更多、更大的计数单位，抽象出更大的数表示数量。

2.能运用归纳、类比等方法发现和概括大数的读写规则、十进制计数法的计数规则，进而理解十进制计数法，建构整数数位顺序表。

3.能在生活中合理使用大数（包括用不同方式表征大数、大数的改写、求近似数等）对数量进行表达，能在具体情境中把握万以上数的大小关系，初步形成数感。

4.在具体情境中理解大数的读写方法、用“四舍五入”法求近似数等规则都是人们根据解决问题的需要，通过协商、约定得来的。

二、厘清单元结构及学习路径

（一）历史相似性分析。

从历史相似性的角度分析，从十进累数制到十进位值制是整数发展的一次飞跃，这应该是学生学习的难点。从学生的实际情况看，他们在日常的生活、学习中早已习惯了十进位值制计数法的运用，因此掌握十进制计数法的计数规则不是难点，困难的是学生很难体会到十进制计数法的优越性，以及对“数级”概念的理解和运用。

（二）教材单元结构。

人教版教材中本单元的学习内容分成4个小节编排，采取螺旋上升结构。先认识亿以内数及其读写、大小比较、改写、求近似数等；然后将数扩展到亿以上，理解十进制计数法的计数规则，并将亿以内数相关的知识自然运用到亿以上数。具体编排情况见表1。

从大概念统领整个单元学习，以及建立完整“数级”概念的角度考量，可将“数的产生”这一小节前移，在学生对十进制计数法有较完整认知的情况下学习大数的读写、大小比较等内容。

（三）单元学习路径。

基于单元学习目标、学生的学习困难，在对“大数的认识”学习内容序列做适当调整后确定如下学习路径：

1.从数的产生历程出发，感受和理解基于十进关系的计数单位扩展、十进制计数法的优越性。

2.在读数、写数、数的大小比较过程中进一步理解数位、数级的作用。

3.在具体情境中理解大数的改写、求近似数的必要性及其方法和原理。

4.了解计算工具的发展，用多种计算工具表达现实情境中的大数。

三、提炼关键问题，设计任务序列

核心素养的发展、具体概念的形成，都需要关键问题的引领。在关键问题的引领下，学生积极参与学习活动，交流探讨，深入思考，发展能力。基于对本单元核心概念以及素养目标的分析，提出了本单元需要学生理解的两个关键问题：

①生活中存在更大的数，我们如何利用数位方便地表示数？

②如何利用数位（数级），迁移已有方法来读数、写数、比较大小、改写大数？

根据教材的编排和学生的学习需求，将上述关键问题分解为5个子问题，设计能够激发学生进一步探索和深入思考的学习任务，并将数学史融入教学，形成本单元的学习任务序列，具体情况见表2。

HPM视角下对小学数学单元整体教学设计的探讨，不仅为我们打开了一扇理解数学知识内在联系的窗，也让教学活动更加鲜活且富有深度。通过整合数学史、数学文化于单元教学之中，不仅赋予了数学知识以生命历程和人文色彩，而且更有力地促进了学生对数学本质的洞察。期待更多的教师能够参与到HPM实践中，一起实现数学教育的价值——启迪智慧，塑造人格，传承文明。

参考文献：

[1]吴骏，汪晓勤.国外数学史融入数学教学研究述评[J].比较教育研究，2013，35（8）.

[2]吴骏，汪晓勤.数学史融入数学教学的实践：他山之石[J].数学通报，2014，53（2）.

（作者单位：广东东莞市东城第五小学） H