关注知识交汇 “圆”来并不简单

摘要：基于《中国高考评价体系》提出的综合性的要求，文章从福建省部分地市2023届第一次质检第8题谈起，探析解析几何中几类圆锥曲线与圆交汇的问题，分析求解策略.

关键词：知识交汇；圆；求解策略

研究近几年高考数学试题，不难发现在解析几何的考查中，圆一般出现在选择题或填空题中，经常通过与其他圆锥曲线交汇的形式进行考查.2023届福建省质检第8题即为双曲线与圆交汇的问题，体现了综合性与创新性，是高三复习备考很好的素材.本文中从该题谈起，探析解析几何中几类圆锥曲线与圆交汇问题的求解策略.

1 题目呈现

例双曲线C：y23－x2=1的下焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，若过A，B和点M（0，7）的圆的圆心在x轴上，则直线l的斜率为（）.

A.±102

B.±2

C.±1

D.±32

本题主要考查圆与双曲线的方程、直线与圆、直线与双曲线的位置关系等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解能力、空间想象能力，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.

由于本题涉及圆与双曲线的交汇问题，学生较难通过分析图形特征找到解决问题的切入点；或是未能找到解决问题的较好途径，面对较大的运算量而无从下手.

2 解法探究

上述题目有如下几种解法.

解法1：因为过点A，B，M的圆的圆心在x轴上，所以设圆的方程为x2+y2+Dx+F=0.又因为圆过点M（0，7），所以F=－7.

设A（x1，y1），B（x2，y2）.

易知x21+y21+Dx1－7=0.又y21=3+3x21，所以4x21+Dx1－4=0.

同理4x22+Dx2－4=0.

所以x1，x2为方程4x2+Dx－4=0的两根，则x1x2=－1.

显然F（0，－2），设直线l的斜率为k，故可设l的方程为y=kx－2，代入y2=3+3x2得

（k2－3）x2－4kx+1=0.

于是x1x2=1k2－3.

所以1k2－3=－1，解得k=±2.

故选：B.

评注：分析圆的特征，设圆的一般方程x2+y2+Dx－7=0，以A（x1，y1），B（x2，y2）两点既在圆上又在双曲线上这一特征寻找解题突破口.先利用圆的性质，得x1x2=－1，再根据直线与双曲线的位置关系得到x1x2=1k2－3，从而求得直线l的斜率.

解法2：设过三点A，B，M的圆的圆心为（m，0），A（x1，y1），B（x2，y2）.

依题意有（m－x1）2+y21=m2+7，又y21=3+3x21，所以

2x21－mx1－2=0.①

同理，

2x22－mx2－2=0.②

①-②，得

2（x1+x2）（x1－x2）－m（x1－x2）=0.

显然x1－x2≠0，所以2（x1+x2）=m.

①+②，得

2（x21+x22）－m（x1+x2）－4=0.

③

把m=2（x1+x2）代入③式，得x1x2=－1.

下同解法1.

评注：本解法类似解法1，分析圆的特征，从圆的标准方程突破，得到A（x1，y1），B（x2，y2）两点坐标间的关系，即x1x2=－1，后面的思路同解法1.

解法3：因为过点A，B，M的圆的圆心在x轴上，所以M关于原点的对称点N（0，－7）也在该圆上.

由F（0，－2）及相交弦定理，得

|FA|·|FB|=|FM|·|FN|=（7+2）（7－2）=3.

设A（x1，y2），B（x2，y2），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=kx－2，代入y2=3+3x2得

（k2－3）x2－4kx+1=0.

于是x1x2=1k2－3.

依题显然x1x2<0，所以|x1x2|=13－k2.

所以可得|FA|·|FB|=（1+k2|x1|）·（1+k2|x2|）=（1+k2）|x1x2|=1+k23－k2=3.

解得k=±2.

故选：B.

评注：根据圆的对称性，得N（0，－7）也在该圆上，进而利用相交弦定理得到两条焦半径的乘积，即|FA|·|FB|=3，又根据弦长公式把|FA|·|FB|用直线l的斜率来表示，从而求得斜率的值.

3 变式拓展

3.1 椭圆与圆交汇

题1已知A，B分别为椭圆C：x24+y2=1的左、右顶点，P为椭圆C上一动点，PA，PB与直线x=3交于M，N两点，△PMN与△PAB的外接圆的周长分别为L1，L2，则L1L2的最小值为（）.

A.54

B.34

C.24

D.14

解：由已知，得A（－2，0），B（2，0）.设P（x，y），则kPA=y－0x+2，kPB=y－0x－2.

所以kPA·kPB=y－0x+2·y－0x－2=y2（x+2）（x－2）=y2x2－4=1－x24x2－4=－14.

设直线PA方程为y=k（x+2），则直线PB方程为y=－14k（x－2），根据对称性设k>0.

令x=3，得yM=5k，yN=－14k，则M（3，5k），N3，－14k.

所以MN=5k+14k.

设△PMN与△PAB的外接圆的半径分别为r1，r2，则

2r1=MNsin ∠MPN，2r2=ABsin ∠APB.

易得sin ∠MPN=sin ∠APB，则L1L2=2πr12πr2=r1r2=MNAB=5k+14k4≥25k·14k4=54，

当且仅当5k=14k，即k=510时，等号成立.

所以L1L2的最小值为54.

故选：A.

3.2 双曲线与圆交汇

题2如图1，F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点，P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第二象限的一个交点，点Q在双曲线上，且F1P=12F2Q，则双曲线的离心率为（）.

A.102

B.2

C.3

D.173

答案：D.

3.3 抛物线与圆交汇

题3已知点M（0，4），点P在抛物线x2=8y上运动，点Q在圆x2+（y－2）2=1上运动，则PM2PQ的最小值为（）.

A.2

B.83

C.4

D.163

答案：C.

《中国高考评价体系》明确指出“四翼”的高考考查要求，即分别从基础性、综合性、应用性、创新性的角度对素质教育的目标进行评价.其中，综合性要求对不同层面的知识、能力、素养能够纵向融会贯通[1].涉及几个知识交汇的综合问题，往往需要充分结合几个模块的知识，厘清知识的“结合处”，往往是解决这类问题的突破口，如在以上例题中从圆与双曲线的交点处寻求解题突破口.教师在指导学生复习备考可适时引导、归纳.

参考文献：

［1］教育部考试中心.中国高考评价体系[M].北京：人民教育出版社，2019.