把握三次函数本质，巧思妙解综合应用

摘要：三次函数及其综合问题作为典型函数模型，在近年的高考、竞赛试题中频繁出现，成为“出镜率”很高的函数模型之一.通过对一道三次函数高考真题的展示，结合多思维视角切入，妙层次分析挖掘，总结归纳结论，全面提升解题能力.

关键词：三次函数；零点；极值；对称轴；对称中心

在新课标高考数学试卷中，以三次函数为情境的函数与导数的综合应用问题，是知识综合与技能应用中的一类基本考点.借助三次函数的应用场景，结合参数值、单调性、极值、最值、对称性（包括对称轴与对称中心）等问题的创设，应用非常广泛，成为高考数学命题中的一个重要材料.本文中结合2024年高考数学新高考Ⅱ卷第11题的破解给出相应的教学启示.

1 真题呈现

高考真题（多选题）设函数f（x）=2x3－3ax2+1，则（）.

A.当a>1时，f（x）有三个零点

B.当a<0时，x=0是f（x）的极大值点

C.存在a，b，使得x=b为曲线y=f（x）的对称轴

D.存在a，使得点（1，f（1））为曲线y=f（x）的对称中心

此题以三次函数这一热点函数模型为场景，利用多选题的形式来创设，借助函数的零点、函数的极值、函数图象的对称性（包括对称轴与对称中心）等相关命题真假的判定来设置，全面考查函数与导数的综合应用、函数的图象与基本性质等.

2 真题破解

依题，由函数f（x）=2x3－3ax2+1，可得f′（x）=6x2－6ax=6x（x－a）.

令f′（x）=0，解得x=0或x=a.

【对于选项A】

方法1（极值转化法）：

当a>1时，函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（－∞，0）和（a，+∞）上单调递增，则f（x）的极大值为f（0）=1>0，f（x）的极小值为f（a）=1－a3<0，

所以函数f（x）有三个零点，选项A正确.

方法2（零点定理法）：

当a>1时，函数f（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，

而f（－a）=1－5a3<0，f（0）=1>0，f（a）=1－a3<0，f（2a）=4a3+1>0，根据函数零点存在定理，可知f（x）在区间（－∞，0），（0，a），（a，2a）上各有一个零点，

所以函数f（x）有三个零点，选项A正确.

【对于选项B】

当a<0时，函数f（x）在（a，0）上单调递减，在（－∞，a）和（0，+∞）上单调递增，则知x=0是f（x）的极小值点，故选项B错误.

点评：涉及三次函数的零点与极值问题，借助常规的函数与导数的综合应用即可达到目的.通过求导，并结合导函数的零点确定，利用导函数在相关区间上的正负，确定函数在对应区间上的单调性，进而利用极值的大小情况得以确定函数的零点个数.当然也可以借助函数零点存在定理来分析与判断.而单调性的变化情况就直接决定着对应函数的极值点的情况.

【对于选项C】

方法1（性质法）：任何三次函数都不存在对称轴，故C错误.

方法2（反证法）：假设存在这样的a，b，使得x=b为曲线y=f（x）的对称轴，即存在这样的a，b，使得f（x）=f（2b－x），则有2x3－3ax2+1=2（2b－x）3－3a（2b－x）2+1，

根据二项式定理，等式右边（2b－x）3展开式含有x3的项为2C33·（2b）0·（－x）3=－2x3，于是等式左右两边x3的系数不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在这样的a，b，使得x=b为曲线y=f（x）的对称轴，故选项C错误.

方法3（对称推理法）：假设x=b为曲线y=f（x）的对称轴，点（x，y）为曲线y=f（x）=2x3－3ax2+1的图象上任意一点，

而点（x，y）关于x=b的对称点的坐标为（2b－x，y），且点（2b－x，y）也在曲线y=f（x）=2x3－3ax2+1的图象上，则有y=2（2b－x）3－3a（2b－x）2+1，

所以2（2b－x）3－3a（2b－x）2+1=2x3－3ax2+1，即x3－3bx2+（6b2－3ab）x+3ab2－4b3=0对任意实数x恒成立，于是1=0，－3b=0，6b2－3ab=0，3ab2－4b3=0同时成立，显然1=0是不成立的，则知x=b不是曲线y=f（x）的对称轴，故选项C错误.

点评：涉及曲线y=f（x）的对称轴问题，抓住曲线上的点关于对称轴的对称性及其应用，往往是解决此类问题中比较常用的基本方法，只是涉及的数学运算量以及逻辑推理量比较大.而合理利用三次函数的图象结构特征，可以较快分析与处理问题.对于命题的推理论证，有时反证法也是推理中的一种基本方法.

【对于选项D】

方法1（特例法）：当a=2时，f（x）=2x3－6x2+1=2（x－1）3－6（x－1）－3，则点（1，－3）为曲线y=f（x）的中心对称，故选项D正确.

方法2（对称中心确定法1）：由于f（1）=3－3a，若存在这样的a，使得点（1，3－3a）为曲线y=f（x）的对称中心，则有f（x）+f（2－x）=6－6a.

事实上，f（x）+f（2－x）=2x3－3ax2+1+2（2－x）3－3a＼5（2－x）2+1=（12－6a）x2+（12a－24）x+18－12a，于是有6－6a=（12－6a）x2+（12a－24）x+18－12a，

可得12－6a=0，12a－24=0，18－12a=6－6a，解得a=2，即存在a=2，使得点（1，f（1））为曲线y=f（x）的对称中心，故选项D正确.

方法3（对称中心确定法2）：假设点（m，n）为曲线y=f（x）的对称中心，点（x，y）为y=f（x）=2x3－3ax2+1的图象上任意一点，

而点（x，y）关于点（m，n）对称的点的坐标为（2m－x，2n－y），且点（2m－x，2n－y）也在f（x）=2x3－3ax2+1的图象上，则有2n－y=2（2m－x）3－3a（2m－x）2+1，

所以2（2m－x）3－3a（2m－x）2+1=2n－2x3+3ax2－1，整理有（3a－6m）x2+（12m2－6am）x+n－1－8m3+6am2=0.

因为x∈R，所以3a－6m=0，12m2－6am=0，n－1－8m3+6am2=0同时成立，于是m=a2，n=1－12a3.

又2a23－3aa22+1=1－12a3，所以点a2，fa2为曲线y=f（x）=2x3－3ax2+1的对称中心.若点（1，f（1））也是该三次函数图象的对称中心，则有a2=1，解得a=2，

所以存在a=2，使得点（1，f（1））为曲线y=f（x）的对称中心.故选项D正确.

方法4（拐点结论法）：由于任何三次函数都有对称中心，且对称中心的横坐标是二阶导函数的零点，而f′（x）=6x2－6ax，可得f″（x）=12x－6a，由f″（x）=0解得x=a2，于是该三次函数的对称中心为a2，fa2.若点（1，f（1））也是该三次函数的对称中心，则有a2=1，解得a=2，所以存在a=2，使得点（1，f（1））为曲线y=f（x）的对称中心.故选项D正确.

故选AD.

点评：涉及曲线y=f（x）的中心对称问题，抓住曲线上的点关于对称中心的对称性及其应用，往往是解决此类问题中比较常用的基本技巧方法，不过相应的数学运算量与逻辑推理量比较大.而依托三次函数所对应的曲线的基本结构特征，掌握三次函数的对称中心与相应的拐点知识，有时可以为此类小题的突破提供更加便捷的通道.

3 教学启示

3.1 结论归纳，规律点睛

在解决以上三次函数及其综合应用问题中，有关对称性的问题，常见的基本结论归纳总结如下：

（1）曲线y=f（x）的对称轴为x=bSymbol对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是f″（x）=0的解，即对应点－b3a，f－b3a是三次函数的对称中心.

3.2 合理转化，关注“三次”

随着新教材的使用与新高考改革的进一步推广，借助函数与导数的综合应用来解决一些涉及高次或无理函数的图象和基本性质成为现实，从而三次函数及其综合问题成为高考、竞赛中出现频率很高的一类特殊函数模型.

而一些高次函数、分式函数等可以转化为三次函数来解决，三次函数的深入关注与拓展研究很有必要，特别涉及三次函数与三次方程之间的关系及其综合，成为研究中的一个重点.特别地，抓住“三次”问题的本质，可以直接利用“三次”问题的相关结论与性质等解决问题，处理起来更加直接有效，简化数学运算，优化解题过程，也成为一个比较有效的技巧方法.