凸显学科融合的数学建模教学设计与思考

摘 要：对高中数学建模教学面临的困境进行了探讨，给出了“海岸救生最快路径”问题的教学设计解读. 通过创设情境，从问题理解、模型建立、求解分析等多个角度引导学生经历完整的数学建模过程，加深学生对数学建模的理解，让学生熟悉数学建模的一般步骤，掌握运用信息技术进行数据模拟的方法. 通过引入费马原理，进一步揭示数学与物理之间的联系，凸显了不同学科的融合，拓宽了学生的视野.

关键词：数学建模；教学设计；海岸救生；学科融合

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）05-0048-06

引用格式：刘艳丽，蒋川宇. 凸显学科融合的数学建模教学设计与思考：以“海岸救生最快路径”为例［J］. 中国数学教育（高中版），2024（5）：48-52，58.

虽然高中数学建模教学受到了广泛的关注和重视，但是在实际教学中数学建模活动的开展仍然存在一些困难. 首先，教师对数学建模的认识存在偏差. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）建议将数学建模纳入数学教学中. 虽然教材的编写注重了数学建模的思想，但是其中关于数学建模的素材仍待丰富. 教师对数学建模的认识局限于函数的应用或将数学建模等同于解应用题. 在实际教学过程中，教师既要教授学生基础知识，又要帮助学生建立知识之间的联系，对数学建模的教学难以深入研究. 大部分教师认为教学的重点是使学生充分掌握数学基础知识，而不是数学建模. 其次，教师的数学建模教学能力欠缺. 通过建立模型解决综合性数学问题，需要学生具备将实际数学问题抽象为数学模型的能力. 面对实际问题中复杂的数量关系，教师普遍缺乏对现实问题进行深层次表征、要素提取、问题归结和数据处理的能力. 最后，教学缺乏数学建模的素材. 数学建模需要在现实生活中发掘问题情境，只依赖教材中少量的数学建模内容是不够的. 教师缺少获得生活化建模素材的途径，无法指导学生开展丰富的数学建模活动.

笔者以“海岸救生最快路径”为课题进行教学设计，并开展数学建模教学实践，实施过程中有很大的收获与感悟.

一、“海岸救生最快路径”教学设计

1. 教学内容分析

基于导数的应用对现实生活中“海岸救生最快路径”问题建立数学模型，通过求解该模型能够得到救援的最快路径. 在教学过程中，需要让学生经历完整的数学建模过程、了解数学建模的实际应用价值、掌握数学建模的基本步骤和方法. 通过分析问题和建立函数模型，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识，提升学生的数学建模素养.

教学的重点是将实际问题转化为数学模型，以及对数学模型的分析和求解.

2. 教学目标

（1）理解数学建模的基本概念和原理，掌握数学建模的一般步骤.

（2）能够将实际问题数学化、符号化，建立合适的数学模型.

（3）能够运用信息技术对模型进行分析和求解.

3. 教学问题诊断分析

在数学建模的过程中，学生可能存在对数学建模的概念理解不深入、对实际问题的分析经验不足、对数学方法和信息技术的使用不熟练等困难. 在教学过程中，教师需要引导学生将数学问题与生活经验相关联，促进学生主动思考并动手实践.

教学的难点是准确理解和把握问题的本质，选择合适的数学方法进行数学建模，以及对建立的模型进行分析和求解.

4. 教学过程设计

（1）设计阅读素材，让学生了解数学建模.

在学生的前置性学习中，教师为学生提供数学建模相关的阅读材料，内容包含了解什么是数学建模、数学建模的一般步骤和各步骤的简要解释. 具体内容如下.

数学建模是运用数学方法、语言和工具，对实际问题进行抽象、简化和建立数学模型的过程. 通过建立数学模型，可以更准确地描述和分析实际问题，为解决实际问题提供理论依据和决策支持. 数学建模不仅是数学学科的重要组成部分，更是工程技术、自然科学等领域中的重要工具.

数学建模的一般步骤，如图1所示.

数学建模各步骤的简要解释如下.

① 实际情境. 明确问题的现实背景，为后续把握问题的本质和确定关键因素作铺垫.

② 提出问题. 从具体情境中提出具有现实意义的实际问题.

③ 建立模型. 基于实际问题进行合理的模型假设，抓住关键因素对问题进行数学化处理（符号说明），完成数学模型的建立.

④ 求解模型. 运用信息技术等手段对建立的数学模型进行求解，得出模型的解析解或数值解.

⑤ 检验结果. 在实际情境中对模型的求解结果进行检验，确定所建数学模型的合理性. 若模型合理，则确认最终的结果，否则需要调整模型或者重新建立数学模型.

⑥ 实际结果. 运用模型得出实际问题的结果.

（2）从学科融合的视角寻找最佳引入.

“海岸救生最快路径”问题中蕴含了丰富的数学与物理知识，如费马原理、光的折射定律等. 以问题1引入，既充分考虑了物理知识与数学知识的融合，又提供了知识背景，降低了知识的准入门槛.

问题1：观看实验视频，五条路线完全不同的赛道上排列了一排小球，在同一高度上，哪条路线上的小球会最快到达终点？

选择曲线路线比选择直线路线更快到达终点，这就是著名的“最速降线”问题. 在所有可能的曲线路线中，哪条曲线耗时最短？它具有怎样的特点？要解决这些问题，需要运用费马原理.

【设计意图】由物理学科中著名的“最速降线”问题引入教学，通过抛出问题促进师生互动，激发学生的学习兴趣.

（3）从生活情境中发现问题和提出问题.

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养. 从生活情境中发现问题和提出问题是开展数学建模的关键.

情境：如图2，一名沙滩救生员在沙滩巡逻时发现海里有人落水呼救，此时需要救生员尽快赶到落水者身边进行救援.

问题2：如何确定最快的营救路径？

学生通过分组讨论，画出了可能的路径（如图3），并说明了理由. 例如，路径②的路程最短，路径①比路径③跑步的距离长；路径③的路程比较折中. 确定最快的营救路线的核心是要确定救生员的入海点，而入海点的精确位置需要学生运用所学的数学知识，通过建立数学模型来确定.

【设计意图】创设生活中的实际情境，通过提出数学问题让学生用数学的眼光观察现实世界. 在问题分析的过程中，培养学生的直观想象能力和逻辑推理能力.

（4）提出假设，建立模型.

学生通过阅读预备知识，了解数学建模的一般步骤. 按照图1的流程进入数学建模环节，学生需要先对现实问题进行合理假设.

问题3：在“海岸救生最快路径”问题中，结合沙滩、海面、救生员和落水者等因素，能否尝试提出一些合理的假设？

需要考虑的因素主要有救生员、落水者和环境（沙滩、海水、风速等）因素. 学生讨论后提出假设，师生共同讨论假设的合理性，确定哪些因素是必要因素，哪些因素可以忽略不计. 最终，师生共同确定了以下三个关键假设.

① 忽略沙滩的地势起伏和障碍物等因素，将海面和沙滩视为同一个平面，将海岸线视为水平线.

② 救生员在沙滩和水中的营救速度保持不变，均可以视为匀速直线运动.

③ 落水者的位置不发生改变.

【设计意图】模型假设能够简化实际问题，忽略次要因素、突出主要因素，使问题的讨论更加具体、清晰，便于后续模型的分析和求解.

问题4：基于上述三个关键假设，随机选取一个入海点. 如图4，要求画出营救路径示意图，设定变量，标记变量符号，并对符号进行解释说明.

使用符号标记建立数学模型所需要的变量，用符号表示图中的几何要素（如表1），用垂直距离和水平距离刻画救生员与落水者之间的位置关系，用入海点与救生员之间的水平距离量化入海点的位置.

【设计意图】将实际问题中的核心要素符号化、数学化，有利于学生抓住问题的本质，为后续模型的建立作铺垫.

问题5：画出模型示意图，建立救生员到达落水者身边所需的时间[t]与[x]之间的函数模型.

解：基于符号表示，绘制的模型示意图如图5所示.

在[Rt△AEC]中，由[EC=x]，[AE=d1]，得[AC=][EC2+AE2=x2+d12].

因为[EF=s]，[EC=x]，

所以[CF=][s-x].

所以在[Rt△BFC]中， [BC=CF2+BF2=s-x2+d22].

因为救生员在沙滩上的速度为[v1]，在海中的速度为[v2]，

所以建立的时间[t]与[x]的模型为[t=ACv1+BCv2=][x2+d12v1+s-x2+d22v2，x∈0，s].

【设计意图】图形的可视化有利于函数模型的建立，有利于学生体会建立数学模型的过程.

（5）融合信息技术求解模型.

模型的求解是数学建模中的难点，需要将“海岸救生最快路径”问题转化为函数的最小值问题. 在该环节的教学中，需要先联系导数在研究函数性质中的应用，解决最值的存在性问题，再从实际问题出发运用信息技术进行数据模拟.

问题6：从实际问题出发，判断函数[t]是否存在最小值？若存在，尝试给出函数[t]取得最小值时自变量[x]的值；若不存在，说明理由.

解：[t]对[x]的导数为[t=xv1x2+d12-s-xv2s-x2+d22=]

[1v11+d1x2-1v21+d2s-x2]，[x∈0，s].

观察可知，[t]关于[x]的函数在[0，s]上单调递增.

因为[tx=0=-sv2s2+d22<0，tx=s=sv1s2+d12>0]，

所以[t]在[0，s]上存在唯一的零点.

所以函数[t]在该零点处取得最小值.

【设计意图】通过对函数求导获得了函数的最小值. 在运算过程中，引导学生进行代数式的恒等变形，优化解题策略，提升了学生的数学运算素养.

问题7：为了确定实际问题中的最快路径，需要确定[t]的具体表达式，试通过调研或实地考察等方式获取数据，并设定相应参数的值.

例如，参考普通人跑50 m所需的时间，可以将[v1]设为[7.5 m / s]，参考救生员的考核标准，可以将[v2]设为[1.25 m / s.] 具体参考数据如下：[v1=7.5 m / s，v2=]

[1.25 m / s，d1=7 m]，[d2=5 m]，[s=5.75 m].

【设计意图】通过自主获取数据，让学生体会到模型的建立来源于实际情境，有利于学生进一步感受建模的实际意义.

问题8：在明确函数[t]的具体表达式后，试确定救生员进行营救的最快路径.

在求解过程中发现，直接对[t]进行最小值求解存在较大困难，因此借助信息技术求解问题. 利用GeoGebra软件求解的结果，如图6所示.

【设计意图】加深信息技术与数学课程的融合，培养学生运用信息技术的能力，让学生认识到信息技术是数学建模的一个重要工具.

考虑到救生员的体力、海浪等因素对救援时效的影响，可以修改[v1，v2，d1，d2，s]的值，通过GeoGebra软件进行求解并观察结果的变化. 例如，当[v1=7 m / s]，[v2=1 m / s]，[d1=][6.75 m]，[d2=5.5 m]，[s=5.75 m]时，求解的结果如图7所示.

【设计意图】让学生体会到模型的结果是基于具体情境得出的，不具有唯一性. 通过模型的建立和求解得到的近似结果是否符合实际情况还需要进一步检验. 通过改变数据，有利于加深学生对模型的认识，使学生体会到数学建模的乐趣.

（6）检验结果，引出费马原理.

问题9：[t=xv1x2+d12-s-xv2s-x2+d22，x∈0，s.]令[t=0]，则有[xv1x2+d12-s-xv2s-x2+d22=0]，可得[xv1x2+d12=s-xv2s-x2+d22]. 这个等式蕴含怎样的几何意义？观察图8，探究该等式的几何意义.

由图8可知，[sinθ1=xx2+d12，sinθ2=s-xs-x2+d22].

当[t=0]时，[sinθ1v1=sinθ2v2]，即[sinθ1sinθ2=v1v2].

上述公式在结构上与光学中的折射定律是一致的，而费马原理证明了光的折射定律. 费马原理指出了光线从一点射入另一点的路径，其实际路径是光程时间的极小值. 简而言之，就是光永远以时间最短的路径行进. 在“海岸救生最快路径”问题中，救生员从沙滩进入水中就相当于光从一种均匀的介质进入另一种均匀介质. 根据费马原理可知，在沙滩和海水的分界线上可以找到一个入海点，使得救生员的行进路径最短.

【设计意图】回顾[t]对[x]的导数，引出费马原理. 通过对费马原理进行简要介绍，揭示了数学与物理之间的联系，以学科融合的方式拓宽了学生的知识面.

（7）深度理解“最速降线”及其实际应用.

为了让学生更好地理解“最速降线”问题，教师引导学生观看运用费马原理推导最速降线是摆线的视频，了解费马原理的完整证明过程. 同时，教师举例指出“最速降线”在生活中的广泛运用. 例如，在过山车活动中，将下降曲线设计为“最速降线”可以使乘客在下落过程中获得更快的速度，得到更刺激的体验. 在古代建筑中，将屋顶设计为曲线，在暴雨时可以使屋顶上的雨水以更快的速度流走.

【设计意图】对“最速降线”的相关知识及其应用的学习加深了学生对数学建模的认识，体现了数学的实用性.

二、教学思考

1. 注重数学建模与学科知识的深度融合，提升数学建模素养

数学建模课程应该立足教材. 在相应的数学知识学习时，教师要配合数学应用来展开数学建模教学，从而更好地提升学生的数学建模素养. 数学建模问题情境的选取要贴近生活实际，尽可能地使建模案例真实、具体，让学生能真正地融入情境中. 问题源于生活，学生要善于用数学的眼光观察世界，发现问题和提出问题，要学会用数学的思维思考问题和解决问题.

2. 数学建模要注重学生的参与和经历

“海岸救生最快路径”问题的情境中蕴含着丰富的数学与物理知识. 从具体的情境出发，提出现实问题，既能激发学生的学习兴趣，又能促进学生主动思考. 学生从具体情境出发，经历了完整的数学建模过程，获得了数学建模的基本活动经验，有利于后续其他数学建模活动的开展. 在教学过程中，学生通过小组讨论，逐步打开思维，提出更多想法. 在师生互动中，学生逐步抓住问题的本质，厘清建模的思路. 虽然数学建模对学生而言比较困难，但是由于数学建模的过程是环环相扣的，降低了建模的难度，激发了学生的探索欲.

3. 有层次地生成高阶思维

随着“最速降线”、海岸救生最快路径、费马原理和“最速降线”的生活应用有层次地推进，学生不断接收新知识，并在新、旧知识之间建立联系. 不仅解决问题，还逐步建立知识之间的内在联系，即以一个现实问题为切入口，打开学生的思维，让学生找到知识的生长点，从而帮助学生有层次地生成高阶思维，促进学生深度学习.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］秦喜文，董小刚，刘铭，等. 数学建模（Python版）［M］. 北京：清华大学出版社，2024.

［3］杨亦逸. 最速降线问题的历史与一种巧解［J］. 物理通报，2021（8）：151-155.

［4］姚启钧. 光学教程（第六版）［M］. 北京：高等教育出版社，2019.

［5］张思宇，王伟. 费马原理之巧思应用［J］. 物理通报，2022（12）：86-89.