借助三角函数求解平衡中的最值问题

【摘要】本文通过对具体实例的分析，阐述三角函数在解决这类问题中的应用方法．详细介绍构建三角函数模型求解平衡中最值问题的思路以及变式应用．研究表明，三角函数在解决平衡中的最值问题时具有重要的作用，能够提供简洁、有效的解题思路．

【关键词】三角函数；高中物理；解题技巧

在物理学中，平衡问题是一个常见且重要的研究领域．许多实际情况都涉及到物体在某种条件下的平衡状态，而在这些平衡状态中，往往需要求解相关物理量的最值．三角函数作为一种强大的数学工具，在解决这类问题时发挥着关键作用．

1 借助三角函数求解平衡中的最值问题

例1 如图1所示，质量为M、倾角为θ的木楔放置在水平地面上．有一质量为m的物块，放置在斜面上某处由静止释放时，物块恰好沿斜面匀速下滑．现若用一力F拉着物块能沿斜面匀速上升，且力F与斜面间的夹角为α，物块在斜面上运动时木楔始终处于静止状态．下列选项错误的是（ ）

（A）力F的最小值为mgsin2θ．

（B）当α=2θ时，F取得最小值．

（C）匀速下滑时，M受到地面给它向右的摩擦力作用．

（D）匀速上滑时，M受到地面给它向左的摩擦力作用．

解析 对物块分析，根据题意可得：没施加外力F时，物块做匀速直线运动，在沿斜面方向上有mgsinθ=μmgcosθ，施加外力F时，受到滑动摩擦力，重力，斜面的支持力，拉力F，做匀速运动，处于平衡状态，在沿斜面方向上有f+mgsinθ=Fcosα，在垂直斜面方向上N+Fsinα=mgcosθ，滑动摩擦力f=μN，联立可得F=2mgsinθcosα+μsinα，代入mgsinθ=μmgcosθ，则F=mgsin2θsin（π2－θ+α），所以当α=θ时，分母最大，F有最小值，最小值为Fmin=mgsin2θ，故（A）正确，（B）错误；将两者看做一个整体，设水平面对木楔M的摩擦力是f′，水平方向受力平衡，则有f′+Fmincosθ+α=0，摩擦力的方向向左，（C）错误，（D）正确．

点评 本题求解F的最小值时，根据物理规律，将F表示成关于α的三角函数，通过三角函数的最值求解F的最小值，巧妙地利用数学知识处理了物理最值问题，培养了学生应用数学处理物理问题的能力．

2 变式应用

例2 图2是固定在水平地面上倾角为30°的斜面体．现将一质量为m的滑块放在斜面上某处由静止释放，滑块正好沿斜面匀速下滑．现给滑块施加一竖直面内的拉力F使滑块沿斜面匀速上滑．已知重力加速度为g，下列选项正确的是（ ）

（A）若F沿斜面向上，那么F=mg．

（B）F的最小值为0.5mg．

（C）当斜面倾角为70°时，沿水平方向施加力F不能使滑块匀速上滑．

（D）当斜面倾角为50°时，沿水平方向施加力F不能使滑块匀速上滑．

解析 滑块开始匀速下滑，则有mgsinθ－μmgcosθ=0，可得μ=tanθ=33，摩擦力f0=μmgsinθ=0.5mg，若拉力平行于斜面向上，滑块匀速上滑，则F=f0+mgsinθ=mg，故（A）正确；

假设拉力与斜面的夹角为α，受力分析如图3，建立直角坐标系，x方向：Fcosα－f－mgsinθ=0，y方向：Fsinα+N－mgcosθ=0，f=μN，联立解得F=μmgcosθ+mgsinθcosα+μsinα

=μmgcosθ+mgsinθ1+μ211+μ2cosα+μ1+μ2sinα，

令tanβ=μ，即β=30°，

上式F=μmgcosθ+mgsinθ1+μ2cosβcosα+sinβsinα=μmgcosθ+mgsinθ1+μ2cosβ－α，可知α=β=30°时，F有最小值，Fmin=32mg，故（B）错误；

若施加的压力下沿水平方向分析滑块的受力情况如图4所示，则有N－mgcosθ－Fsinθ=0，又f=μN，又有Fcosθ<mgsinθ+f，则有Fcosθ≤mgsinθ+μmgcosθ+Fsinθ，变形得F－μmgcosθ≤mg+μFsinθ，解得tanθ≥F－μmgmg+μF=1－μmgFmgF+μ，当F为∞时，tanθ≥1μ=3，所以θ≥60°，即当斜面倾角为60°时，沿水平方向施加力F，无论F有多大都不能使滑块匀速上滑，故（C）正确，（D）错误．

点评 本题（B）选项中，求拉力F的最小值，先设出拉力的方向（拉力与斜面的夹角为α），再将拉力表示成关于α的三角函数，求其最值即可得到答案；（C）（D）选项中，根据物理规律得tanθ≥F－μmgmg+μF=1－μmgFmgF+μ，可知θ≥60°时，当F趋近于∞，进而可得结果．

3 结语

通过以上的理论阐述和实例分析，可以看出三角函数在求解平衡中的最值问题时具有显著的优势．它能够将复杂的物理关系转化为简洁的数学表达式，从而方便地求得最值．在实际应用中，需要学生深入理解问题的物理本质，准确构建三角函数模型，并熟练运用三角函数的性质和相关公式进行求解．随着科学技术的不断发展，平衡中的最值问题将在更多领域中出现，三角函数作为一种有效的解决工具，其应用前景将更加广阔．需要注意的是，在实际解题过程中，还需要结合具体问题的特点和条件，灵活运用其他数学知识和物理原理，以确保解题的准确性和完整性．同时，不断积累解题经验，提高解决实际问题的能力，将有助于学生更好地应对各种复杂的最值问题．

参考文献：

［1］朱贤贤.三角函数在物理情境中的应用［J］.中学生理科应试，2022（12）：28-29.

［2］毕国辉.三角函数在物理解题中的应用［J］.理科考试研究，2016，23（15）：45-46.

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