探究平面图形高的本质，培育学生核心素养

“认识底和高”一课是北师大版教材五年级上册“多边形的面积”单元第二课时的内容，主要包括认识并会画梯形、平行四边形与三角形的高。教材为何将这三个图形的高编排在同一课时并且编排在“多边形的面积”单元呢？教材为何先学习梯形的高，再学习平行四边形与三角形的高？图形高的本质是什么？图形的高对研究图形性质或特征有哪些价值？教学时如何让学生真正通过探究来认识高的本质和价值？如何借助该内容的学习培养学生的空间观念和推理意识等核心素养？通过思考并回答这些问题，能更好地理解2022年版课标为何将“图形的认识”与“测量”整合为同一主题，也能更好地认识图形的哪些要素是探究图形度量公式的根本。

一、课前思考：图形高的数学本质及其价值

平面图形或立体图形的高刻画了两条平行线（两个平行平面）之间的距离，脱离平行线（平行平面）就不存在高的概念。在数学中通常将平行线（平行平面）称为底边（底面），与它们垂直的线段称为高，高与底是一对相对应的概念，它与日常生活中的高既有联系也有区别。

高有两方面的含义：一是高线，即与两条平行线（两个平行平面）都垂直的线段；二是高度，即高线的长度。高指前者时，会说两条平行线之间有“无数条高”；若指后者，则因为两条平行线（两个平行平面）之间的距离处处相等，即任意两条平行线（两个平行平面）之间只存在唯一一个数值刻画它们之间的距离，这个数值就叫作两条平行线（两个平行平面）之间的距离，也可以称之为两条平行线（两个平行平面）之间的高度。所以，小学阶段所研究图形的高，其本质是两条平行线（两个平行平面）之间的距离。之所以存在唯一一个数值，是因为对于两条平行线来说，“一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等”，或者高是“一条直线上一点与另一条直线上任意一点间所有线段中的最小值”。正是有了存在性、唯一性、最小性，才可以定义图形的高，才能刻画两条平行线（两个平行平面）的特征。反之，如果找不到这个处处相等的唯一值，就意味着两条直线不存在“平行关系”。因此，只有两条直线（两个平面）互相平行，才有研究高的可能性和必要性。

因此，北师大版教材不但将认识梯形、平行四边形和三角形的高编排在同一课时，而且先学习梯形的高（只有一组对边互相平行，所以只有一个高度值），然后学习平行四边形（两组对边分别平行，所以有两个高度值），最后学习三角形。“表面上”看，三角形中“不存在”平行线。难道三角形不存在高吗？这样认识图形的高就能自然而然地激发学生内在的探究兴趣和愿望。平行线之间的这个秘密可以由学生探究发现，从而理解高的本质，认识图形的本质特征。进而知道图形的高度是几，就意味着能够摆几行“小正方形（面积单位）”，发现平行四边形与长方形、正方形面积之间的本质联系，也就可以将未知图形的面积问题转化为已知图形的面积问题。图形边的长度、位置关系（用角度刻画）以及边与边或面与面之间的距离（也就是图形的高）问题是求解图形面积或体积的根本。因此，2022年版课标将这些内容整合为“图形的认识与测量”这一个主题。

小学阶段高的学习内容有明确的进阶：第一层级是平面上两点之间直线段的距离；第二层级是点到直线的距离（垂线段的长度），这是学习图形高的根本；第三层级是平行四边形、三角形、梯形这三个常见基本图形的底与高，在此阶段应该再回首感受长方形、正方形的长和宽也就是它们的底与高，类似地，直角三角形的两条直角边也可以分别看作它的底与高；第四层级是长方体、正方体、圆柱与圆锥的高。关于高的进阶还在延续，例如，初中要继续学习点到直线的距离、两条平行线间的距离，到高中则要学习空间两点之间的距离、点到平面的距离、直线与平面之间的距离、两个平行平面之间的距离等越来越抽象的内容，研究手段也更加多样，但其本质都是转化为垂线段的长度。研究距离问题并将其转化为长度问题，在直观操作的基础上学生更需要想象与推理等思维活动，因此更有利于培养学生的空间观念、几何直观与推理意识。

二、课中实践：让学生“真探究”并感悟本质

对于高，学生有较为丰富的生活经验，例如测量身高、建筑物的高度、山峰的高度等，也积累了丰富的操作经验和心理表象，这为后续学习奠定了基础。但数学中图形的高和生活中的高既有相同点，也有不同点。相同点是它们都是线段的长度、都与垂直相关，例如，生活中所涉及的高都与地面垂直。但有时生活情境中的高可以是“最高点”到“最低点”间的距离，基本都与“水平方向”垂直，高是“看得见、摸得着”的实物的长度。学生的这些经验既有助于学习图形的高，也可能带来负面影响、负迁移。教学时要暴露学生关于高的迷思概念，利用变式图形对比分析迷思之处，在辩论、质疑与相互评价的过程中强化对高的本质的理解。

（一）由“生活经验”转向“数学概念”，初步感悟图形高的含义。

高在生活中比比皆是，利用学生已有的经验，将丰富的实例做比较，初步感悟高的本质。但是生活中对“底与高相对应”这一点感知较少，这也是生活中的高与几何图形的高的区别之一。因此教学时可以呈现日常生活中的高，例如：“公园免票限高1.1米，是什么意思？”（由学生最熟悉的身高抽象出对高的初步理解：1.1米是指从头顶到脚底的垂线段）“桥洞限高4.5米，又是什么意思？”（如果把桥洞抽象成一个梯形，它的高在哪里呢？有多少条？有什么特点）由对高的“生活关注”，过渡到对底与高之间的对应关系和高的本质特征上来。通过对不同情境中高的含义的理解，让学生体验由现实生活情境到图形的过程，通过设问激发学生的思维活力。

（二）画梯形的高，再次感知高的本质：平行线间的距离。

在前述“桥洞限高”环节，学生从实物中抽象出高，初步认识高是一条垂线段，初步感受高能够刻画两条平行线之间的距离，感悟垂直与平行互相依存。第二个环节是“画梯形的高”，学生主要有以下三种画法（如图1），课堂教学时讨论这三种画法的相同与不同之处，学生概括出高的概念，尤其强调怎么画，抓住学生的重要问题“从上面这条边上往下画，但是不能从斜边上往下画，那样就不是梯形的高了。上面的边和下面的边是平行的，得找准位置”。（学生研讨过程略）

（三）感悟“两条腰”之间不存在“高”，再次强化高的本质。

在前述研讨环节，生1说：“把你们的画法总结一下，就是找到它的最高点和最低点，用虚线连上就行了。”这个问题引发了全班学生的大讨论：什么是“最高点和最低点”？两条腰之间能否画出“高”？下面是重要的讨论环节。

生2：不对！不是找一个最高点和最低点。如果把图形转一下，这两条边（指梯形的两条腰）就不平行了，要想画图形的高，得保证下面的这条边和上面的边是平行的。如果是三角形的话，上面没有边只有点，就找点，但要是上面有边，上、下两条边就得是平行的。

师：你都联想到三角形了！（竖大拇指）我特别喜欢刚才那位同学（指生1）的发言，她会把前面的发言概括出来，提到一个最高点和最低点，而生2补充梯形画高时的最高点和最低点得从两条平行的边上找，画这两条边之间的垂线段。（学生纷纷点头同意）那下面两幅图（如图2）中的“虚线”是梯形的高吗？

生3：我觉得①号图形不是，因为它没有从最上面画到最底边，像他那样画是画不出梯形的高的。一般高都是竖的，不是斜的。

生4：我给你补充，他找的两条边不是平行的，怎么可能画出梯形的高？

生5：我觉得他画的不是垂线段。

生6：不是，他画的是垂线段，但是是斜着的，和竖直的肯定不一样，是有误差的。

师：那我把它转过来（如图3），这样呢？是从最高点到最低点画的虚线吧，但它是梯形的高吗？

暴露学生的迷思之处。有一部分学生认为是，一部分认为不是。

生7：我认为不是。你们看，如果像他这样画，另一个角和这个高度是没有关系的，如果把它补上，就成三角形了，但又影响了平行边之间的高。（该生“直觉”是对的，但表达不清楚）

生8：老师您看，这条线是高，但不是梯形的高，是三角形的高。（该生仍然“脑补”出了一个三角形）

师：我明白你的意思，我们一起观察一下，这条线是和对边垂直的，但它是这个点到对边的距离，和梯形的高一样吗？

生9：图形转一下不还是梯形吗？它应该是梯形的高呀！

生4：它不是！我们可以算一下，梯形的面积计算公式是“（上底+下底）×高[÷]2”，你把它当高求得的面积和根据刚才大家那样画的高求出的面积肯定不一样啊！

师：上底和下底，我们还没明确学这样的概念，但是你用这样的知识储备解释，是你的优势！我们汇总一下大家的观点，不管梯形怎么转，这两条边是它的“腰”，画在两腰之间的垂线段，我们还能找到多少条？（用手比画后，出示图4）

生：（齐）很多！很多条！

生7：我明白了，它们的长度都不一样，不可能是梯形的高！

师：没错！就像刚才大家说的，梯形的高得画在哪两条边之间？

生：（齐）平行的两条边！

师：这两条平行的边，就叫作梯形的底，较短的称为上底，较长的称为下底。在上底和下底之间，才有无数条高，但是长短一样。那图2中的②号图形呢？

绝大多数学生异口同声：是！

生1：是！因为把它转过来，不就是刚才第二位同学画的高（指图1中的图）吗？

生2：可是它不是竖直的，怪别扭的！

师：它不竖直，那它是不是高？

绝大多数学生：是！

师：你们最坚定的理由是什么？

生3：它是在两条平行边之间画的。

师：你能用刚才学过的名词说一说吗？

生3：它是梯形的上底和下底之间的垂线段，所以它是梯形的高。

课堂教学中充分利用学生关于高的迷思概念，能够促进学生深度思考，让深度学习真实发生。学生经历了独立思考、小组讨论、全班呈现三个阶段，把想法暴露出来了。在生生互动质疑、评价反思的过程中，每一个学生都进行了思维上的辨析和修正。数学中的高与生活情境中的高的不同点也是此环节要解决的问题之一，没有学生独立的想法，课堂目标的实现就没有支撑。尤其是一个学生提到的“把它当高求得的面积和根据刚才大家那样画的高求出的面积肯定不一样”，说明学生对平行线间的高可以作为图形转化的工具，利用它可以计算面积这一点有了初步的体验，为后续在图形度量中感受底和高的作用积累了经验。

（四）认识平行四边形的高“水到渠成”。

“由此及彼”，学生很容易画出平行四边形的高，并能够解释平行四边形肯定有两组“底、高”，为后续推导平行四边形的面积计算公式奠定基础：一定是底边的长度与对应高的乘积才是平行四边形的面积。

（五）三角形到底有几条高？

有学生提出：如果没有平行线，还会有高吗？三角形没有平行线，三角形就没有对应的底和高吗？这个学生的问题一提出就激发了全班学生的思考：三角形有高呀，面积计算公式是“底乘高除以2”，但确实三角形中没有平行线呀？三角形有无数条高、有三条高，还是没有高？等等。在真问题引领下，每个学生都成了探究发现高之奥秘的高手。

生1：如果是等边三角形，就有三条高；如果是不等边的，就有一条高。

生2：其实可以有延长线。你看这个三角形（如图5），是不是觉得它只有一条高？其实可以这样延长，它是有无数条高的。

生3：我认为三角形有三条高。从上面的这个顶点向对边作垂线，垂线段是一条高。把这个三角形转一下，再从这个顶点向底边作垂线，就又得到一条高。再转一下，从第三个顶点向底边画垂线段，就是第三条高。

生4：我觉得不对，三角形没有高，因为平行线消失了！没有平行线就没有高！

生3：不是！看起来没有平行线，是因为平行线变成了一个点，那这个点到对边的垂线段就是三角形的高。

生4：其实是有平行线的。我认为三角形和平行四边形是一样的，都有无数条高。第一种就像刚才有同学说的，画延长线，但也可以这样，变成一个平行四边形，不是能画出无数条高吗（如图6）？

生5：我们画的是单个三角形的高，你把两个三角形拼起来，就不是三角形而是平行四边形了！

师：那这些线（指平行线之间的垂线段）有什么特点？都和这一条高（指三角形的高）是什么关系？

生：（齐）平行且相等！

师：可以说，它们都和三角形的这一条高相等，等高！但是哪条才是这个三角形的高？

生：（齐）只有这一条！

师：没错！就像这位同学（指生3）所说，三角形的高，是它的顶点到对边的垂线段。同样的道理，三角形有几条高？

生：（齐）三条！

师：但是，同学们能够通过联系和想象，发现有无数条和过三角形顶点的高都相等的高，在后面的学习中，会大有用处！

三、课后反思：有高阶思维参与才能有效培育核心素养

小学阶段虽然没有给出点和线之间、线和线之间、点和面之间、面和面之间距离的定义，但图形高的本质就是更为抽象的“距离”问题，比之前学过的测量实物或线段长度更有困惑点、迷思之处。教师在把握高的本质基础上，可以将这些“真问题”充分暴露出来，使之成为学生研究高的载体。有真问题学生才能调动高阶思维。

理解并掌握平面图形底和高的概念，并不只是记忆概念的定义，而是基于学生已有知识基础和生活经验，在真问题（揭示数学本质的问题）引领下，学生才能真正有辨析、有相互评价、有概括归纳等高阶思维参与到探究过程中，才能不但理解图形高的本质、感悟高对于认识图形与度量图形的价值，而且逐步提升空间观念与推理意识的水平。教师只有把握了数学概念的本质，才能让学生的数学探究活动真正成为“再创造”活动。

例如，本课设计“梯形的两条腰之间是否存在高”这个任务让学生思考时，有学生“创造性”地画从一条腰上一点到另一腰的垂线段，这些垂线段的长度都不相等，把哪个长度定义为两条腰之间的距离呢？显然不能确定，因此两条腰不能作底，也不存在对应的高，又从“不存在”的角度强化高的本质。这些探究活动既为研究与运用梯形面积计算公式积累了活动经验，有利于感悟数学概念的确定性与价值性，更为学生“再创造数学”提供了机会，使其对数学探究充满了兴趣。

又如，在探索三角形有几条高时，以某条边为底，它对应的高有多少条呢？说“无数条”的学生虽然答案不对，但他的思维水平较高、空间观念较强，因为他能够想象出“三角形的一条底边不变，过对应的顶点存在一条与底边平行的直线”。这一想象过程意义重大，既培养了学生的空间想象能力，更相当于该学生自主发现了欧几里得《几何原本》中著名的第五公设“过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行”，也相当于学生自发、直觉地感悟“等底等高的所有三角形面积都相等”这一命题。这些探究活动中积累的如何发现和提出数学问题、分析并解决问题的经验为单元后续推导面积计算公式、运用等积变形思想解决较复杂的面积问题做了孕伏。学生带着兴趣和思考下课，高阶思维活动贯穿始终，空间观念与推理意识才能有效发展。

（作者单位：北京教育学院数学与科学教育学院，北京第二实验小学） H