一咏三“探”：数学学习不断向本质漫溯

理念解析：

“分数的基本性质”是小学数学的核心内容，也是小学数学学科教学关键问题的研究内容。这一内容与已学的分数意义和分数与除法的关系相连，又是后续学习约分与通分的基础，且与“商不变的规律”“比的基本性质”具有内在一致性，是理解分数概念相关知识系统的重要环节。如何准确把握内容本质，明晰背后的数学思想方法，实现意义理解与自主迁移，逐步发展学生的核心素养，是一线教师实践性理解新课程、改进教学的关键问题。

为此，本教学设计着力体现如下几个方面的特点。

一、整体的建构

无论是数学学科的知识体系，还是学生数学学习的发展历程，原本都是一个完整的系统，但为了教学实施，往往会分割成一个个学期、一个个单元和一个个课时来组织进行。这样的分割，很容易造成课堂教学的封闭和认知结构的脱节，表现在具体的教学中，就是“只见树木，不见森林”。本课的教学，力求把“分数的基本性质”放在一个完整的知识体系之中，把学生的原始经验和可能性经验作为学习的“底色”，促进学生的主动建构、意义建构，进而又把所学新知与已学知识进行深度关联，从而建立有意义的、可迁移的知识网络。

二、本质的探寻

英国学者P.欧内斯特说过：“数学教学的问题并不在于寻找最好的教学方式，而在于明白数学是什么，如果不正视数学的本质问题，便永远解决不了教学上的争议。”分数的基本性质是“数与运算”主题的内容，其本质是让学生在“变与不变”中探寻规律，形成模型意识。在日常的教学中，学生往往停留在“同向同运算同倍数同大小”的浅表认知阶段，容易形成“分子和分母同时扩大了，为什么得到分数的大小反而不变呢”的模糊认知，导致对接下来的学习“依样画葫芦”，这不利于学生形成应有的数学理解，进而较难促进数学核心素养的发展。

三、儿童的真学

新课程倡导实践育人和学科育人，倡导学生“像数学家一样去思考”。儿童是天生的学习者，潜能无限，是教育教学中最重要的学习资源。对“分数的基本性质”的学习，学生并非一张白纸，而是有丰厚的经验土壤、丰盈的数学思维和丰富的数学想象，我们应以大问题引领，大任务驱动，大空间赋予，创设“复演经典”“重走数学家之路”的学习过程，让“儿童”这一宝贵的学习资源得以充分激活，让课堂焕发出蓬勃的生机和活力。

教学过程：

一、举例说明，感知本质

师：同学们，在三年级的新教材中即将出现一个新数学名词，叫“等值分数”，你知道什么是等值分数吗？

生：就是大小相等的分数。

生：就是数值相等的分数。

师：感觉可真好，完全正确！请打开草稿本，每人试着写一组等值分数。

（板书部分学生的例子，略）

师：老师这儿也带来了一个分数，你能根据自己的理解，试着写几个它的等值分数吗？

（板书：[14]=[28]=[416]=……）

【设计意图】有效的学习一定是建立在儿童的经验基础之上的。学生学习分数的基本性质之前有着丰富的经验基础，新教材在三年级下册专门安排了等值分数的学习内容，虽然目前五年级的学生没有学过等值分数，但在三年级初步认识分数的过程中，已经或多或少建立了等值分数的原始经验。本设计充分激活学生的已有认知基础，让学生在回忆、试探、想象的过程中，形成等值分数的感觉，为新课的学习提供了可供研究的素材。

二、多元思考，初探本质

师：能迅速写出这么多分数，说明大家的感觉是对的！想一想，这三个分数相等吗？怎样才能说明它们相等呢？你们有什么好办法吗？请大家拿出研究单，开始研究。

（自主研究，时间4分钟左右）

师：谁愿意给大家汇报一下？

生：我是用画图的方法说明的。

（学生用等圆的作品展示）

生：我是用数轴的方法看出来的。（作品略）

师：是的，数轴图和圆形图有异曲同工之妙，把数和图形结合在一起，真好！

（在作业纸上批注：数形结合）

生：分子在除法算式中相当于被除数，分母相当于除数，三个分数都等于0.25。

生：分数还可以用另外一种形式来表示，就是除法算式。[14]可以写成1÷4，[28]可以写成2÷8。四年级学过商不变定律，把1÷4中的被除数和除数同时乘2，就得到了2÷8，再同时乘2，又得到了4÷16，最后的商不变。

师：真好，善于抓住知识之间的联系。

（批注：联系）

……

师：刚才我们用不同的方法证明了三个分数大小相等。仔细观察这几个分数，从左往右看，再从右往左看，你有什么发现？

生：从左往右看，分子和分母同时乘2或同时乘4，分数的大小不变。

生：从右往左看，分子和分母同时除以2或同时除以4，分数的大小也不变。

生：可以把两句合起来说，就是分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数，分数的大小不变。

生：我有补充，应该加上“0除外”。

师：真好，大家发现了一个重要性质，那就是分数的基本性质。

［板书：分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变］

师：这句话有没有要特别强调的？小老师上来圈圈、画画、讲讲。

（学生回答略）

师：分数的基本性质，如果用含有字母的式子该怎么表示呢？新教材中是这样呈现的，你能把空缺的内容填上吗？（如图1）

【设计意图】概念是客观事物本质属性在人脑中的反映。“三个分数相等吗”这个问题是学生需要回应的核心问题。在以往的学习中，学生已经积累了丰富的知识和经验，完全放手让学生自行研究，合理且应然。学生运用画图（包括平面图形和数轴）、商不变的规律、化小数等方法，从多个维度对三个分数相等的理由给出一定程度的合理解释，并对分数的基本性质进行初步概括。在此环节，教师充分创造条件，鼓励学生全身心投入其中，开展自主的数学操作、观察、抽象概括等活动，使他们有机会经历分数的基本性质的形成过程，实现对数学本质的第一次探索。

三、鼓励质疑，再探本质

师：一个真正的学习者，此时一定不会满足和轻易相信书本。五（3）班小勇同学学到这儿，勇敢地提出问题：老师，要使分数的大小不变，难道分子和分母只能这样变吗？除了乘除，加减行不行？他的视角非常独特！他的意思是，要使分数的大小不变，分子和分母还可以怎么变化呢？拿出学习单，四人小组里研究研究。

（学生小组研究）

师：还真有同学找到了！我们一起来看一下。

（教师展示2个代表作品：[15]=[1+45+20]，[14]=[1÷0.254×4]）

师：同学们，既然存在这么多变化的情况，为什么分数的基本性质只说“同乘或同除以一个相同的数（0除外）”？

生：这样的变化可以调整，与分数的基本性质还是一回事儿。+4就是加了4个1，+20就是加了4个5，转化一下还是1乘5，5乘5。除以0.25就等于×4。

生：对，是一回事！所有的变化都可以转化到“同向同运算同倍数”上来！

师：万变不离其宗，最后还是回归到本质，这就是数学的精妙啊！

【设计意图】虽然概括出了分数的基本性质，但学生对它的本质理解还不深入，对“同向同运算同倍数同值”特点必然性的认识，大多还停留在浅表的阶段。此环节独具匠心、另辟蹊径，放手让学生质疑，得到了大量反例，把学生置于“山重水复疑无路”的“愤悱”之中。留出大量时间对典型反例进行深度追问，得到“虽有反例，本质一致”的理解后，让学生在“柳暗花明又一村”的感觉中，体会数学的联系与美妙。

四、文化溯源，深探本质

师：关于分数的基本性质，其实我们的祖先早在1700多年前就已经有了相关的论述。让我们回到图形当中，仔细体会1下分子、分母同步变化的过程。再看当分母4乘2的时候，每一份都乘了2，分子1是其中的1份，它也同时乘了2。（课件出示）从[14]到[28]，大家看，分子、分母同时乘2，4份散开，变成8份，分子1份也同时散开，变成2份。继续乘2，8份散开变成16份，分子也由2份散开变成4份。像这样继续乘下去，散开得越来越多，我国古代数学家刘徽这样形容——“乘以散之”。

师：反过来，怎么说？

生：除以聚之。

师：太棒了！你和数学家说的几乎一样！（出示：约以聚之）像这样约着、约着，约到不能再约。

师：再来研究研究“乘以散之”，看看能不能有新的发现。这是[14]，分数单位是什么？有几个这样的分数单位？这是[416]，分数单位是什么？有几个这样的分数单位？

生：[14]的分数单位是[14]，有1个这样的分数单位。

生：[416]的分数单位是[116]，有4个这样的分数单位。

师：分数单位由[14]变成了[116]，是怎么变化的？

生：除以4。

师：分数单位的个数由1变成了4，又是怎么变化的？

生：乘4。

师：乘4与除以4，这一乘一除，就实现了分数大小的补偿关系。（如图2）

生：哇！怪不得它们的大小是相等的。

【设计意图】培养学生的数学思维，努力让学生“像数学家一样去思考”是新课程赋予各科教学的要求。分数的基本性质的教学，如果只是满足于在观察的基础上进行浅表的抽象和概括，满足于线性的单向度的推进，对学生核心素养的提升是有限的。此环节从数学史的相关内容介入，借助“乘以散之，约以聚之”的内容理解，对分数的基本性质的内在机理进行深度追问，让学生深度理解等值分数之所以等值，是因为计数单位与计数单位的个数之间形成了一种补偿关系，从计数原理的角度，对分数的基本性质进行深度的探寻。这样的设计深刻、通透且具有原创性。

五、多维应用，内化本质

师：接下来做个练习“小题多变”。（如图3）

（练习过程略）

师：再来看一个小明吃饼的故事。小明说“我想吃一块大于[13]块且小于[12]块的饼”，想一想，他到底吃了多少块饼呢？

生：我们可以利用分数的基本性质，把[13]与[12]都变成分母一样的分数，这样就能找到中间的分数了。

师：大家赶紧试试吧！

……

【设计意图】本环节的练习，一是突出变式性，从分数的基本性质的不同侧面、不同层次、不同形式深化本质；二是突出探究性，在生活与数学的融通处、在当下与未来的接榫处设计好问题，让学生“跳一跳，摘果子”，从而深化知识的理解，涵育思维的品质，提升学习能力。

六、回顾整理，融通本质

师：今天我们学习的是分数的基本性质，和以前学过的什么规律超级相似？它们有联系吗？让我们来梳理一下相关的学习内容吧。

生：与分数的意义有联系。

生：与商不变的规律有联系。

生：与小数的基本性质有联系。

生：还与六年级的比的基本性质有联系。

师：真好！学习的内容不断在变，我们追寻的不变是什么？

师：数学就是这么神奇，每一个数学知识都是数学这个网络中的一个组件，今后，我们还将学习这个网络中的其他知识，一起领略数学的神奇！

【设计意图】“编筐编篓，重在收口。”此环节中，让学生回顾与展望，进一步深化对新知的认识，优化了学生的认知结构，同时真正体现了数学学科“严谨性”的特点，有效落实了2022年版课标所倡导的“一致性”“结构性”“整体性”等教学要求。

（作者单位：南京师范大学附属小学） [WH]