在结构化教学中发展儿童的数感

【研究缘由】

对学生问题解决能力的考查历来是小学数学教育测评的难点。在2024年1月进行的三年级上学期期末测试中，我命制了一组和当时热点话题“冰雪+”有关的题目，其中一道题主要测评学生“能够结合具体情境，选择恰当的策略进行乘法估算”的水平。

一个滑雪场为初学者赠送1小时教练教学服务，小亮一家4人作为初学者都享受了这样的服务。如果按照“一对一滑雪课”每小时388元来计算，4人节省的钱够买下面这套滑雪装备（如图1）吗？

通过对G区地处城市、农村的3个班级共154份样卷的分析，发现有17人（约11.04%）因不能正确运用四则运算的含义去分析具体情境中数量之间的关系导致列错算式，其余学生大致用以下方法来解决此问题。

为什么约一半的学生不用估算解决问题？而用估算策略解决问题的学生中，为什么多将388的近似数取为390呢？就此我们采访了部分学生和任课教师。

学生想法：就是要做对题。

想法一：感觉估算时，拿不准什么时候往大估、什么时候往小估，还是用精算更保险。

想法二：问题里用了“够买吗”，我就认为这道题应该估算。

想法三：“够不够买”就是要往大估，而把388看作400会不准确，因为390更接近388。

教师观点：不管黑猫、白猫，抓住老鼠就是好猫。

观点一：这道题没有要求必须用估算，所以估算、精算都是可以的。

观点二：不是要求算法多样化吗？对有些学生来说，精算更可靠。

如何提高学生的估算意识，促使其能在简单的真实情境中进行合理估算并做出判断呢？“万丈高楼平地起”，我们需要探寻其源头——对二年级“近似数”一课开展结构化教学，让其充分发挥培养学生数感的功能。

【教学实践】

（一）第一次关联：在真实情境中了解“近似数”和“准确数”的含义。

学生在一年级已经有了“多一些”“少一些”“多得多”“少得多”等刻画“非准确数”的认知经验。但本节课是学生第一次正式学习“近似数”，为了帮助其深入理解概念，我们精心创设了“新书《管城3600年》发布”的真实情境（如图2），通过一篇“数学日记”的修改，让“准确数”和“近似数”的概念整体嵌入学生的认知系统。

1.读修改前的数学日记，感受“数”的价值。

师：新书发布会当天，乐乐同学写了这样一篇数学日记，你认为他写得怎么样？有什么建议吗？

生1：写得不好，因为里面有好几个“许多”，读了日记也不知道有多少本书、城墙有多长。

生2：既然是“数学日记”，就应该把“许多”换成一个个具体的数，这样我们就会更清楚地了解新书发布会的现场情况。

2.品修改后的数学日记，初步辨析“近似数”和“准确数”。

师：按照大家的建议，乐乐开始修改数学日记。他先调查新书的总本数，这是“会务组搬运图书的场景”（图略），猜一猜，这次共向管城区各校捐赠了多少本新书？

生1：可能有3000多本。

生2：应该是10000本。

师：到底是多少本呢？它就是用下面的计数器表示出来的数（如图3）。

生：原来是6782本，这次捐赠的书可真多！

师：乐乐就这样一个数据、一个数据地调查和落实，终于把数学日记改好了（如图4）。

师：认真观察，数学日记中出现的4个数有什么不同点吗？先独立思考，再同桌轻声交流。

生1：前两个数的每一个数位上都有数字；后两个数的末尾有0，并且前面有“近”和“大约”。

生2：前两个数可以在计数器上拨出来，后两个数不好拨珠子表示。

生3：“大约7000米长”，我不清楚有多长，可能比7000大，也可能比7000小。

师：像6782这样，一个不多一个不少，非常精确的数称为“精确数”，而像“大约7000”这样的数不止一个，就可以说7000是这些数的近似数。“大约7000”这样的数可以画图表示吗？

（二）第二次关联：借助数轴理解“近似数”是一个区间。

数数，是一一对应的。学生从开始数数，就认为每一个数都对应一个具体的物象，或者是实物，或者是小棒、第纳斯方块，抑或是数轴上的一个点。随着学生思维水平的提升，认数范围的扩大，数轴在帮助学生理解数的意义、认识数的顺序、厘清数的大小关系等方面的优势日渐凸显，因为它是一条带有原点、正方向和单位长度的直线。本节课继续以半直观、半抽象的“数轴”为支架，通过让学生在上面点一点、画一画、写一写，促使其体会到：精确数对应数轴上的一个“点”，近似数对应数轴上的一个“区间”（一条“线段”）。

1.在数形结合中理解“近似数”的含义。

师：商代古城墙大约7000米长，到底有多长呢？请大家把自己的想法表示在数轴上。

学生作品如图5所示：

师：通过展示可以发现，有的同学认为“大约7000”就是7000附近的一个点，有的认为是两个点，有的认为是许多个点并且离7000比较近。大家觉得“古城墙大约7000米长”，最小到哪里合适？最大到哪里合适？

经过小组交流、讨论，学生们发现“大约7000”在数轴上不再是一个点，而是6500到7500之间的一条线，这个区域内所有的数的近似数都是7000。

学生作品如图6所示：

生：我明白了，一个数的近似数就是它接近的整千数。

师：6500到7500之间的准确数很多，它们的近似数只能是7000吗？

2.同一个数可以有不同的近似程度。

师：前几天，老师查阅资料时发现这样一条信息：商代古城墙的长度约是7132米。读了这条信息，你有什么感受？

生1：考古学家们的工作真细致，能准确测量出古城墙的长度。

生2：7132米也不是古城墙的准确长度，因为这个数的前面还有个“约”字。

师：是的，在测量时，由于城墙不是直的、测量工具精确度不同等原因，所以测量结果会出现误差，7132也不是精确数。但大家需要考古学家在网上公布信息“商代古城墙的长度约是7132米几分米”吗？

生：不需要，这样的数太麻烦了，不好记。

师：生活中有时没必要或没办法用准确数表示，这时就可以用近似数。如果你是一位“小小考古学家”，还会怎样介绍商代古城墙的长度呢？说说你的理由。

生1：商代古城墙历经多年的风雨洗礼，现在大约长7100米。因为“132”的十位上是“3”，所以“132”接近“100”。

生2：今天的商代古城墙大约长7130米，因为7132中的“32”接近“30”。

生3：我更喜欢乐乐日记中的“管城区依然保留着大约7000米长的商代古城墙”。

出示图7：

师：为了方便、好记，一个数的近似数通常选择整千、整百、整十数表示。

（三）第三次关联：通过选择“最佳近似数”进行合理估算。

2022年版课标明确指出：在日常生活中，许多问题并不需要精确的结果，要让学生了解在什么样的情境下需要估算，认识到能结合具体情境选择适当的单位是估算的关键。因此在儿童以“数轴”为支架，切实看到一个数的近似数不止一个后，教师还要从数学角度转向生活的需要，设计出好问题，以引导学生在真实情境中合理选择“最佳近似数”，从而会用估算解决相关的实际问题。

1.再次辨析“近似数”和“准确数”。

商都遗址博物院“小小讲解员”正在紧张训练，谁的讲解稿（如图8）更长呢？

学生在“比较讲解稿长短”的问题中，既形成了辨别近似数的“内涵模型”——“接近准确数的整千、整百、整十数，是这个数的近似数”，也收获了判断近似数的“形式模型”——近似数通常和“接近”“大约”“大概”这类词同时出现。

2.在实际问题中合理选择“最佳近似数”。

（1）学校到商都遗址博物院的距离是482米，同学们往返约走（ ）米。

（2）一台<E：＼小教数学＼24年7-8月小教数学＼202478-13-003.jpg>的售价是482元，学校食堂要买2台，准备（ ）元钱合适。

此组任务特意设置了两个不同的问题情境，但使用的是同一个精确数。让儿童分析出在任务（2）中，为了所带“费用宽裕”且“好算”，可以把482的近似数取为500；但为了符合“至少”“够买”的双重要求，可以把482的近似数取为490。

【本文系河南省教育科学“十三五”规划2017年度一般课题“指向儿童数学核心素养发展的问题情境创设的研究与实践”（编号：2017—JKGHYB—0485）的研究成果】

（作者单位：河南郑州市管城回族区教育教学研究中心） Ｌ