明理通法，感悟数与运算的一致性

2022年版课标对小学阶段“数与运算”主题提出了明确要求：“初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。”基于此，青岛版新教材（依据2022年版课标编写的教材）力求在大单元统领下落实2022年版课标关于一致性的相关要求。

本文以“数与运算”主题为例，阐述青岛版新教材在编写过程中对数的概念的本质、数的运算的本质及运算之间的关系进行结构化整合，设计体现大单元特征的课程内容，进而培养学生的数感、符号意识、运算能力和推理意识等。

一、理解数与运算的本质和核心概念

（一）理解数的意义，感悟数的概念的一致性。

数是数出来的。感悟数的概念的一致性主要体现在两个方面：一方面，整数、小数和分数都是对数量或数量关系的抽象；另一方面，无论是整数、小数还是分数，都可以从计数单位和计数单位个数的角度来认识。因此，数的意义的核心概念是计数单位。实施数的意义整体性教学，旨在使学生看到数就能关注到计数单位和计数单位的个数，不断感悟一致性，体会计数单位及其个数的价值，发展数感和符号意识。

（二）理解数的运算的意义，感悟数的运算的一致性。

数的运算的本质是四则运算的意义及其关系。实施数的运算意义的整体性教学，一是让学生进一步体会加法是最基础的运算，减法是加法的逆运算，乘法是加法的简便运算，除法既是乘法的逆运算，又是减法的简便运算；二是让学生从整体上理解和掌握运算的算理和算法，如在加减法运算中，无论是整数的数位对齐、小数的小数点对齐，还是异分母分数要先通分再加减，都是把相同计数单位的数相加减，从而体会算理和算法的一致性。简言之，数的运算的意义，核心概念是计数单位，数的运算就是计数单位个数的运算。帮助学生体会运算的一致性，有助于学生体会知识间的本质联系，并促进有效迁移，提高运算能力和推理意识。

由此可见，不论是数的意义，还是数的运算的意义，大单元统领整个“数与运算”内容的核心概念是计数单位。

二、数的意义教材编写特点

关于数的意义，青岛版新教材在第一、二学段安排由万以内数的认识拓展到万以上数的认识，在第二、三学段安排小数和分数的认识，由小数、分数的初步认识到小数、分数意义的理解。无论是认识整数还是认识小数、认识分数的编写，均将学生置于真实的情境中，使学生经历“感性具体—感性一般—理性具体”这一数的抽象过程，促使学生关注计数单位和计数单位的个数，学会用符号对数进行表达，加深对数的概念一致性的体会和理解。

（一）整数的意义。

在一年级下册“丰收了——100以内数的认识”中，借助真实情境和小棒图、计数器及以十为单位的一盒鸡蛋、一包书等，凸显整数是对数量的抽象，并从计数单位和十进制的视角理解和表述100以内数的意义，初步呈现整数意义的本质是对整数计数单位和计数单位个数的表达。

青岛版新教材关于数的意义呈现的所有关键问题和问题分析，都紧扣数的意义的本质，凸显其核心概念——计数单位，如图1。

（二）分数的意义。

在三年级下册“今天我分餐——分数的初步认识”中，借助真实情境和直观图形，在认识分数是对数量或数量关系的抽象的基础上，细分单位“1”得到比1小的分数的计数单位，用分数单位和分数的结构规则继续理解和表述分数，理解分数的意义的本质是对分数计数单位和计数单位个数的表达。

（三）小数的意义。

在四年级上册“乘车中的学问——小数的初步认识”和五年级上册“校园小农场——小数的意义和性质”中，同样借助真实情境和直观图形，在继续凸显小数是对数量的抽象的基础上，细分单位“1”得到比1小的小数的计数单位，用小数的计数单位和十进制继续理解和表述小数，理解小数的意义的本质是对小数计数单位和计数单位个数的表达。

（四）数的意义的一致性回顾与整理。

通过小学阶段整数、小数和分数的意义的学习，学生对数的本质及数的概念的一致性有了一定的感悟。为了帮助学生进一步加深认识，在六年级下册总复习中，青岛版新教材抓住计数单位这个核心概念，引导学生对小学阶段学过的数进行全面回顾与梳理，鼓励学生从数的意义、计数单位、进位制、大小比较和性质多个方面进行整理与反思，进一步体会计数单位在数的认识和计数中的核心地位，感悟数的概念的一致性，加深理解数是计数单位个数的表达，从而发展数感和符号意识。

三、数的运算教材编写特点

数的运算的知识点分布在各册教材中，不论是整数的四则运算，还是小数的四则运算、分数的四则运算，在算理和算法的探究中，青岛版新教材凸显核心概念——计数单位，注重体现数的运算是对计数单位和计数单位个数的运算这一通性通法，凸显数的运算的一致性。

（一）整数、小数、分数的加减法运算。

青岛版新教材基于学生对数的意义本质的认识和理解，在整数、小数和分数加减法运算中均注重一致性的体现，即通过探究分别得出整数、小数、分数加减法运算都是相同计数单位的个数相加减，关注的视角和表达明确指向核心概念——计数单位。

1.整数加减法。

在二年级下册“红色教育进校园——多位数的加减法”中，基于学生对20以内加减法意义的认识和理解，引导学生探究“28＋35＝□”，理解整数加减法就是相同整数计数单位的个数相加减的算理，进而得出整数加减法是相同整数数位上的数相加减的算法。

2.小数加减法。

在五年级上册“校园体育节——小数加减法”中，基于学生对整数加减法算理和算法的认识和理解，引导学生探究“1.72＋0.3＝ ”，通过迁移理解小数加减法就是相同小数计数单位的个数相加减的算理，进而得出小数加减法是相同小数数位上的数相加减的算法。在探究和总结的过程中，学生体会整数加减法和小数加减法的本质是相通的，具有一致性。

3.分数加减法。

由于分数不是十进制的，所以学生在探究分数加减法运算时会感受到其与整数、小数加减法有所不同。学生此刻已经在学习整数、小数加减法时积累了关于加减法算理和算法的经验，这是学习分数加减法的重要基础。青岛版新教材先通过同分母分数加减法，引领学生感受不同背后的本质是相通的，其算理与整数、小数加减法的算理是一致的，再引领学生挑战异分母分数加减法。

在五年级下册“关注环境——分数加减法”中，在学生解决“[12]＋[25]＝？”和“[25]－[130]＝？”的过程中，引导学生通过迁移已有的算理和算法，自主想到异分母分数由于计数单位不同，不能直接相加减，需要先将异分母分数转化成同分母分数，转化后就与同分母分数及整数、小数加减法的核心概念一致了，再进行相同计数单位的数相加减的一致性操作。

（4）加减法运算一致性回顾与整理。

通过小学阶段加减法运算的学习，学生对加减法运算的意义及其关系有了一定的认识。为了帮助学生进一步认识加减法运算的一致性，在六年级下册总复习中，抓住计数单位的个数和计数单位，引导学生对小学阶段学过的整数、小数和分数加减法进行全面回顾与梳理，帮助学生体会加减法运算算理、算法的一致性。这样编排，有助于学生体会知识之间的本质联系，并促进有效迁移。

（二）整数、小数、分数的乘法运算。

青岛版新教材以数的意义和加减法运算的意义为基础，通过探究分别得出整数、小数、分数乘法运算都是计数单位的个数乘计数单位的个数，计数单位乘计数单位，得到的两个积再相乘，本质具有一致性。

1.整数乘法。

在三年级上册“富饶的大海——多位数乘一位数”和三年级下册“乡村新面貌——两位数乘两位数”中，用点子图、表格、竖式、推理等多种形式，探究出整数乘法的算理和算法，即整数计数单位的个数乘整数计数单位的个数，整数计数单位乘整数计数单位，得到的两个积再相乘。

2.小数乘法。

在五年级上册“今天我当家——小数乘法”中，顺承整数乘法，用乘法的意义、运算律、积的变化规律等进行推理，探究出小数乘法的算理和算法，即小数计数单位的个数乘小数计数单位的个数，小数计数单位乘小数计数单位，得到的两个积再相乘，如图2。

3.分数乘法。

在六年级上册“小手艺展示——分数乘法”中，继续用乘法的意义、运算律、面积模型等进行推理，探究出分数乘法的算理和算法，即分数计数单位的个数乘分数计数单位的个数，分数计数单位乘分数计数单位，得到的两个积再相乘，如图3。

4.乘法运算一致性回顾与整理。

为了帮助学生进一步认识乘法运算的一致性，在六年级下册总复习中，青岛版新教材同样抓住计数单位的个数和计数单位，引导学生对小学阶段学过的整数、小数和分数乘法进行全面回顾与梳理，帮助学生体会乘法运算算理、算法的一致性。

（三）整数、小数、分数的除法运算。

青岛版新教材关于除法运算的编写思路与加减法和乘法略有不同。鉴于除法运算较加减法和乘法运算有一定难度，考虑到小学阶段学生的知识基础和理解水平，青岛版新教材分两个阶段实现除法运算的一致性。

第一阶段，除法运算的新授阶段。围绕除法运算是不断细分计数单位的基本思想和表达，凸显核心概念——计数单位。

1.整数除法。

在三年级上册“探访果蔬博览会——多位数除以一位数”和其他整数除法中，继续结合真实的生活情境和除法运算的本质，凸显除法以计数单位为核心，不断细分计数单位的本质属性。如图4，根据真实的生活情境进行单位的细分，先分4个十元，分掉3个十元，再将剩余的1个十元细分成10个一元，与5个一元合成15个一元，继续分；如图5，脱离具体情境，根据整数的意义和位值，抽象出算式的数学意义，先分4个十，分掉3个十，再将剩余的1个十细分为10个一，与个位上的5个一合成15个一，继续分，得到最后的商。

2.小数除法。

在五年级下册“点亮低碳生活——小数除法”中，随着数域的扩大，曾经在整数除法中因不能继续细分而以余数方式存在的数又可以转化为低一级的小数的计数单位继续细分。学生在单元整体视角下前后勾连，进一步理解和巩固除法以计数单位为核心，不断细分计数单位的本质，如图6。

3.分数除法。

这是小学计算教学的收官内容，也是运算中的一块硬骨头。在现行教材中，学生往往“得其法，而不得其意”，既不明白为什么“除以一个数等于乘这个数的倒数”，也不明白之前一直在不断细分计数单位的除法，到分数除法时为什么就不“分”了，甚至有的教师会认为“分数除法不是‘分’出来的”。由于分数的计数单位之间不是固定的几进制，古往今来，计算分数除法的思路更加多样化。分析中外数学史资料可以看出，虽然有的思路转化后符合细分的思路，但每种思路对学生来说都有一定的难度，这也是分数除法被称为硬骨头的客观原因。青岛版新教材按照整体架构和一致性的思维，将分数除法顺承前面整数除法和小数除法的思路，继续细分计数单位。

在六年级上册“走进乡村看小康——分数除法”中，顺承前面的整数除法和小数除法的思路，结合真实情境，用“归一法”探究算理和算法，并借助商的变化规律加以推理，形成除以一个数等于乘这个数的倒数的基本算理和算法，也体现了分数除法依然是可以“分”出来的，如图7。

第二阶段，除法运算的总复习阶段。以计数单位为核心概念，凸显除法运算意义的一致性及其与其他运算算理、算法的一致性。

在学生对数与运算有了全面的认知和理解的基础上，青岛版新教材在六年级下册总复习中，引领学生用整体性和一致性的思维，以计数单位为核心，顺承加减法运算、乘法运算本质上具有一致性的思想，根据整数、小数、分数四则混合运算的顺序进行推理分析，得出：无论是整数除法，还是小数除法、分数除法，其运算的算理和算法都是一致的，即计数单位的个数除以计数单位的个数，计数单位除以计数单位，得到的两个商再相乘，并进一步认识到数的运算是计数单位个数的运算，如图8。

关于运算的一致性，史宁中教授指出：2022年版课标中提出的数的认识和运算一致性的目标是可以实现的，至少在小学六年级总复习阶段，设计大约四个课时，以计数单位为核心概念，帮助学生梳理整数、分数和小数的认识与运算，启发学生思考，引导学生在经历数学化的过程中理解数学的本质，培养符号意识、运算能力和推理意识，建立数学的好奇心和学习兴趣[1]。如上所述，青岛版新教材在六年级下册总复习中就较好地实现了史宁中教授关于运算一致性的学习目标和要求。

综上所述，青岛版新教材“数与运算”内容的编写，旨在用核心概念统领整个“数与运算”内容，期待学生能在明理通法、感悟一致性的过程中，长出优良的数学“种子”，给思维以生长的力量，形成属于自己的数学学习必备品格和关键能力，进而高效率、高质量地发展核心素养。

参考文献：

[1]赵莉，吴正宪，史宁中.小学数学教学数的认识与运算一致性的研究与实践：以“数与运算”总复习为例[J].课程·教材·教法，2022，42（8）：122-129.

（作者单位：山东烟台市芝罘区教育科学研究中心，山东省教育科学研究院） Y