基底几何坐标，破解向量问题三要素

摘要：平面向量数量积的求值或最值（或取值范围）问题是平面向量模块知识中的重点与难点之一，破解此类问题有一定的基本策略与规律可循.结合一道高考真题，通过平面几何图形，结合平面向量数量积的常规技巧方法加以展开与应用，归纳总结解题策略与规律，指导数学教学与复习备考.

关键词：正方形；向量；最值；基底；几何；坐标

平面向量数量积成为近年高考试卷中常考常新的基本考点之一.在实际求解平面向量数量积的综合问题时，借助平面向量“数”与“形”的双重属性，抓住数量积自身或“数”的应用，或“形”的特征，并结合不同的应用场景，选择行之有效的方法来处理对应的平面向量数量积，使得数量积求解问题的解决更加合理、有效、可行、正确、快捷，达到“数”与“形”的紧密结合，知识与能力的有效融合.

1 真题呈现

高考真题 （2024年高天津卷·14）在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE=12DE，BE=λBA+μBC，则λ+μ=______；若F为线段BE上的动点，G为AF中点，则AF·DG的最小值为______.

涉及平面向量的线性运算与数量积问题，通常是平面向量模块的一大基本考点.常见的思维方法，或通过“数”的基本属性进行基底法运算，或通过“形”的几何结构进行直观化处理，或通过“数形结合”的综合应用进行坐标法求解等，很好地考查“四能”与关键能力等.

4 教学启示

在实际解决平面向量数量积的求值与最值等综合问题时，借助代数思维或几何思维，通过不同思维下的代数法与几何法的应用，合理构建成一幅完美和谐统一的“画卷”，成为新高考数学试卷命题中的一个创新点与热点.

解此类问题时，往往借助平面向量“数”与“形”的双重属性，抓住数量积自身“数”的属性应用或“形”的几何特征，并结合不同的应用场景，选择行之有效的方法与解题策略来处理对应的平面向量数量积问题.

“数”与“形”的不同视角，使得数量积综合问题的求解与应用更加合理、有效、可行、正确、快捷，或通过“数”来代数运算，或通过“形”来直观想象，也可以实现“数”与“形”的紧密结合，有效实现知识与能力的有效融合.

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