巧方法应用，妙类比拓展：一道椭圆题的应用

圆锥曲线间由于其特殊的关系，往往在一些相关问题上具有一定的类比性与拓展性.借助其中某一圆锥曲线的相关性质、结论，进行深入分析、探究拓展，往往可以得到有效的类比与拓展，给深度学习与创新应用创造条件.

1 问题呈现

（2024年河南省信阳高级中学高考数学三模试卷）设F是椭圆C：x29+y25=1的左焦点，x轴上方的点P在椭圆C上.若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是（ ）.

A.15

B.3

C.23

D.2

本题主要结合椭圆图形，巧妙把圆锥曲线、平面几何、直线的方程与斜率、轨迹问题以及线段的距离问题等加以有机交汇与融合，利用题目条件与图形特点，根据三角形中位线定理来转化，或借助椭圆的定义法来处理，或借助点P的轨迹通过坐标法来处理，或借助焦半径公式通过坐标法来处理，都可以达到解决问题的目的.

本题结合椭圆的相关性质来确定相应直线的斜率，难度中等，通过深层次的分析与拓展，有效地进行类比与提升.此题综合考查化归与转化思想及运算求解能力，是一道很好的圆锥曲线综合问题.本文中在此题的基础上，从一般性椭圆问题角度类比到双曲线问题加以进一步的探究与拓展.

2 追根溯源

上述试题改编自以下对应的高考真题：

高考真题 （2019年浙江卷·15）已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是______.（15）

5 规律总结

其实，对于圆锥曲线中的一些相关问题，不同圆锥曲线之间往往有一定的可类比的相关性质或结论，只要认真分析，深入挖掘，就可很好地得以拓展，有所收获，真正有效培养学生的转向机智以及思维的应变能力，提升发散思维的变通性与拓展性，提高数学关键能力，培养数学核心素养.